모드 복용의 복잡성

이것은 쉬운 대답이 필요한 질문처럼 보이지만 결정적인 질문은 없습니다.

두 개의 $n$ 비트 숫자 $a, p$ 가 있으면 a \ bmod p 계산의 복잡성은 무엇 $a\bmod p$입니까?

단순히 분할 의해 p는 시간 걸릴 O (M (N))를 여기서 M은 (n)에 승산의 복잡도는이다. 그러나 \ bmod를 약간 빠르게 수행 할 수 있습니까?$a$$p$ $O(M(n))$$M(n)$$\bmod$

Shoup (3.3.5 절, 정리 3.3, p. 62)은 시간 O (n \ log q) 에서 a = q \ cdot p + r 및 \ log a = n 인 잔차 r 을 계산하기위한 경계를 제공합니다 .$r$$O(n\log q)$$a = q\cdot p +r$$\log a = n$

그 경우 추측 $p$ 및 $a$ 거의 모두 $n$ 비트 수 후 $q$ (따라서 $\log q$ )주기보다는 작아야 $O(n)$ .

경우 $a$ 인 $n$ 비트 번호 및 $p$ 상대적으로 작고, 그 승산 방법은 신속해야한다.