움직이는 목표를 쫓는 알고리즘

쿼리하고 재설정 할 수 있는 블랙 박스 가 있다고 가정합니다 $f$ . 우리가 재설정하면 $f$ , 상태 $f_S$ 의 $f$ 집합에서 항상 임의로 선택된 요소에 설정되는 고정 주어진 알려져 . 질의에 , 원소 에서 (추측)

{0, 1, . . ., 엔 - 1}

$\{0, 1, ..., n - 1\}$

n

$n$

f

$f$

f

$f$

x

$x$

{0, 1, . . ., 엔 - 1}

$\{0, 1, ..., n - 1\}$ 제공되며 반환되는 값은 입니다. 또한, 의 상태 는

값으로 설정되며 , 여기서

는

(f_{S} - x) \mod n

$(f_S - x) \mod n$

f_{S}

$f_S$

f

$f$

f_{S}^{'} = f_{S} \pm k

$f_S' = f_S \pm k$

k

$k$

{0, 1, 2, . . ., ⌊ 엔 / 2 ⌋ - (({에프}_{에스} - 엑스) 모드 엔)}

$\{0, 1, 2, ..., \lfloor n/2 \rfloor - ((f_S - x) \mod n)\}$

각 쿼리마다 균일하게 임의의 추측을함으로써 를 얻기 전에 분산 (증거없이 명시 됨)으로 $n$ 추측을해야 합니다. $f_S = x$ $n^2 - n$

알고리즘을 더 잘 수행하도록 설계 할 수 있습니까 (예 : 추측 횟수가 적을수록 추측 횟수가 적을 수 있음)? 얼마나 더 잘할 수 있습니까 (즉, 최적의 알고리즘이 무엇이며 성능이 무엇입니까)?

이 문제에 대한 효율적인 해결책은 어두운 방에서 토끼 (원형 트랙에 홉핑하는 것)에서 촬영할 때 중요한 비용 절감 효과를 가져올 수 있습니다.

algorithms probability-theory randomized-algorithms

— 패트릭 87
소스

토끼를 쏘는 것이 컴퓨터 과학인지 잘 모르겠습니다.

— Dave Clarke

@DaveClarke 그러나 토끼를 쏠 수 있다면 토끼의 정지 문제를 해결 한 것입니다.

— Patrick87

@DaveClarke 위성을 우주로 발사하는 것은 아니지만 위성의 위치를 계산하는 것입니다. 이 질문은 암호화 분석과 전혀 다릅니다.

— Gilles 'SO- 악마 그만'

우선, 나는

또한, 의 상태 는 값으로 설정되며 , 여기서 는 $f_S$ $f$ $f_S' = f_S \pm k$ $k$
${0, 1, 2, . . ., ⌊ n / 2 ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n)}$ $\{0, 1, 2, ..., \lfloor n/2 \rfloor - ((f_S - x) \mod n)\}$

당신은 실제로 의미

또한, 상태 의 값으로 설정된다 , 여기서 행 임의로 선택 $f_S$ $f$ $f_S' = f_S + k \mod n$ $k$
${- | ⌊ \frac{n}{2} ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n) |, \dots, - 1, 0, 1, 2, \dots, | ⌊ \frac{n}{2} ⌋ - ((f_{S} - x) \mod n) |}$ $\left\{- \left| \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor - ((f_S - x) \mod n) \right|, \ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots, \left| \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor - ((f_S - x) \mod n) \right|\right\}$

그렇지 않으면 항상 유지되고 정확히 어떻게 동작하는지 명확하지 않습니다 . $f_S \in \{ 0, ..., n-1\}$ $f_S \pm k$

이것을 사용하면, 문제는 기본적으로 "가능한 한 많이 놓치게됩니다". 토끼를 가까이 쏠수록 더 큰 홉이 나옵니다. 극단적 인 경우에는 있습니다. 결과적으로 과 사이의 균일 한 홉이 발생하며 기본적으로 토끼의 위치를 완전히 무작위로 지정합니다. 한편, 우리는 가능한 한 몹시 그리워 -의 오프셋에 의해 , 토끼가 실제로 전혀 움직이지 않는 (!) 와 블랙 박스가 실제로 우리를 업데이트 이 사실에. 따라서 우리는 그냥 돌아 서서 토끼를 쏠 수 있습니다. $f_S - x = \pm 1 \mod n$ $-(\lfloor n/2 \rfloor \pm 1)$ $(\lfloor n/2 \rfloor \pm 1)$ $f_S - x \mod n = \lfloor n/2 \rfloor$

우리는 각 샷에서 점점 더 누락되는 절차를 찾는 것으로 남아 있습니다. 간단한 "이진 검색"을 제안합니다. (반올림을 편리하게 생략합니다.) 대략 다음과 같이 진행됩니다.

블랙 박스에서 응답 을 얻을 때까지 임의의 위치에서 재설정 및 촬영이 과정에는 일정한 단계가 필요합니다. $(f_S - x \mod n) \in \{ \frac{1}{4}n, ..., \frac{3}{4}n\}.$
이제 토끼의 과거 위치 가 어느 방향으로 단계 이상 이동하지 않았 음 을 알 수 있습니다. 토끼는 위치에 하므로 기본적으로 다음 반복에서 검색 공간이 절반으로 $f_S$ $\frac{1}{4}n$ $f_S' \in \{ (f_S - \frac{1}{4}n) \mod n, ..., f_S, ..., (f_S + \frac{1}{4}n) \mod n \}$
: 위치에서 촬영하십시오 . 확률로 , 1 & 2 단계에서 토끼가 점프 한 위치 는 . 이 경우 검색 공간을 한 번 더 반으로 줄였습니다. 확률이 이면, 토끼는 그 범위에서 뛰어 내리지 않았지만, , 2 단계와 동일한 가정이 있습니다. 따라서 아무것도 잃지 않습니다. $f_S - n/2 \mod n$ $1/2$ $f_S'$ $\{ f_S - \frac{1}{8}n, ..., f_S, ..., f_S + \frac{1}{8}n \}$ $1/2$ $f_S' - x \mod n = f_S' - f_S + n/2 \mod n \in \{ \frac{1}{2}n - \frac{1}{4}n, ..., \frac{1}{2}n + \frac{1}{4}n \}$

각 단계에는 예상 시간이 필요하고 검색 공간이 반으로 줄어 전체 예상 단계 수가 생성됩니다. $2 = \mathcal{O}(1)$ $\mathcal{O}(\log n)$

— HdM
소스