재발 관계의 점근 적 근사 (Akra-Bazzi는 적용되지 않는 것 같습니다)

알고리즘에 런타임 반복 관계가 있다고 가정하십시오.

$T(n) = \left\{ \begin{array}{lr} g(n)+T(n-1) + T(\lfloor\delta n\rfloor ) & : n \ge n_0\\ f(n) & : n < n_0 \end{array} \right.$

일부 상수 . 가 다항식 , 아마도 2 차 라고 가정합니다 . 아마도 는 지수입니다 . $0 < \delta < 1$ $g$ $n$ $f$ $n$

런타임을 분석하는 방법은 무엇입니까 ( 는 우수 할 것입니까)? 마스터 정리와 더 일반적인 Akra-Bazzi 방법은 적용되지 않는 것 같습니다. $\Theta$

asymptotics recurrence-relation

— 오스틴 뷰캐넌
소스

좋은 하한을 찾는 것은 쉽지만 좋은 상한을 찾는 것은 어렵지만 대략 말하면

가까운 것 같습니다 .

T (n) = a \cdot T (n / a) + g (n)

$T(n) = a\cdot T(n/a) + g(n)$

그래도 답을 찾고 있다면 Graham, Knuth, Patashnik, "Concrete Mathematics"를 확인하십시오.

— Kaveh

가정하면

일정, 우리의 모든 가정이 필요하지 않습니다

, 또는 우리가 할?

n_{0}

$n_0$

f

$f$

— Raphael

파라미터

은 인스턴스마다 다를 수있다. 런타임이

에 어떻게 의존하는지 보는 것이 좋을 것 입니다.

n_{0}

$n_0$

n_{0}

$n_0$

— 오스틴 뷰캐넌

나는 지금까지 이런 종류의 재발에 대한 일반적인 정리를 제시하지 않은 관련 질문을 했다.

— Raphael

하나의 가능한 접근법은 미분 방정식과 유사 할 수 있습니다. 하자 . 여기서 은 의 1 차 도함수의 이산 유사체입니다 . 우리는 $T'(n) = T(n)-T(n-1)$ $T'(n)$ $T(n)$

T^{'} (n) = T (⌊ δ n ⌋) + g (n) .

$T'(n) = T(\lfloor \delta n \rfloor) + g(n).$ 이러한 연속적인 아날로그 차동 방정식

: 또는, 그것을 다르게 작성되는 것을 선호한다면

티^{'} (엑스) = 티 (δ 엑스) + 지 (엑스),

$t'(x) = t(\delta x) + g(x),$

그것은 미분 방정식입니다.

\frac{디}{디 엑스} 티 (엑스) = 티 (δ 엑스) + 지 (엑스) .

${d \over dx} t(x) = t(\delta x) + g(x).$

$t(x)$

나는 미분 방정식에 대해 한 번 알고 있던 모든 것을 잊어 버렸으므로 미분 방정식의 해를 알지 못하지만 미분 방정식을 해결하는 모든 기술을 검토하여 해결할 수 있습니다.

— DW
소스

Donald J Newman은이 기술을 자주 사용하여 훌륭한 결과를 얻은 것으로 보입니다.

— Aryabhata

t (x)

$t(x)$