논리적 Min-Cut NP-Complete입니까?

LMC (Logical Min Cut) 문제 정의

가 가중이 아닌 그래프이고 및 가 두 꼭짓점 이고 가 에서 도달 할 수 있다고 가정합니다 . 우리가 할 수있는 방법을 LMC 문제 연구 에서 도달 할 수 일부 가장자리의 제거에 의해 다음과 같은 제약 다음s t V t s t $G = (V, E)$$s$$t$$V$$t$$s$$t$$s$$G$

1. 제거 된 모서리의 수는 최소 여야합니다.
2. 꼭지점의 모든 출구 모서리를 제거 할 수는 없습니다 (즉, 나가는 모서리가있는 꼭지점이 모든 나가는 모서리를 제거 할 수 없음).$G$

이 두 번째 제약 조건을 논리적 제거라고합니다. 우리가 찾아 그래서 논리적, 최소한의 제거 의 일부 가장자리의 있도록 에서 도달 할 수없는 것 .$G$$t$$s$

솔루션 시도

LMC 문제의 논리적 제거 제약 조건을 무시하면 가중치가없는 di 그래프 에서 최소 자르기 문제가 되므로 다항식으로 해결할 수 있습니다 (최대 흐름 최소 자르기 정리).$G$

우리는 LMC 문제의 최소한의 제거 제약 조건을 무시하면, 그것은 DAG에 다시 풀 수 다항식 될 것입니다 : 정점 찾을 등이 에서 연결할 수있는 와 에서 도달 할 수없는 . 그런 다음 에서 까지 임의의 경로 인 경로 를 고려하십시오 . 이제 경로 를 의 하위 그래프로 고려하십시오 . 답은 하위 그래프 의 모든 종료 가장자리가 됩니다. 정점 는 다항식 시간 으로 DFS에 의해 발견 될 수 있음 이 명백하다 . 불행히도이 알고리즘 은 일반적으로 작동하지 않습니다k s t k p s k p G p k $k$$k$$s$$t$$k$$p$$s$$k$$p$$G$$p$$k$$G$ 임의의 방향 그래프.

동적 프로그래밍 기술로 LMC 문제를 해결하려고 시도했지만 문제를 해결하는 데 필요한 상태 수가 기하 급수적으로 증가했습니다. 또한 3-SAT, max2Sat, max-cut 및 LMC 문제와 같은 NP-Complete 문제를 줄이기 위해 노력했지만 축소를 찾지 못했습니다.

나는 개인적으로 가 이진 DAG (즉, 노드가 2보다 크지 않은 DAG) 인 경우에도 LMC 문제가 NP-Complete이라고 생각합니다 .$G$

질문

1. LMC 문제가 임의의 그래프 에서 NP-Complete 입니까? (주된 질문)$G$
2. LMC 문제가 임의의 DAG 에서 NP-Complete 입니까?$G$
3. LMC 문제가 임의의 이진 DAG 에서 NP-Complete 입니까?$G$

G = (V, E)를 가중 DAG로, s 및 t를 G의 두 꼭짓점으로하고, LSTMC = (G, s, t)를 논리적 st min-cut 문제의 인스턴스로 둡니다. LSTMC 문제가 NP라는 것은 명백하지만 이제 LSTMC가 NP-Hard임을 보여 주어야합니다. 타격 세트 문제를 LSTMC 문제로 줄입니다. S = {s1, s2, ..., sn}을 주어진 세트로하고 {a1, a2, ..., am}을 모든 세트의 합집합이라고합니다. 수 k1이 주어지면, 타격 세트 문제의 결정 문제는 k의 원소를 갖는 세트 A가 존재하는지 여부를 나타내며, 따라서 S의 모든 원소 (모든 세트 si st i = 1..n)는 적어도 하나의 원소 A를 포함한다. 타격 세트 문제를 HS (S)로 나타냅니다. 알고리즘 HS2LSTMC에 의해 세트 S로부터 가중 된 DAG G '를 구성한다. 이 알고리즘은 s를 DAG G '의 소스 정점으로 간주합니다. HS st i = 1..n의 각 집합에 대해 알고리즘은 해당 정점을 고려합니다. si이며 s에서 각 si까지 무한 가중치를 가진 모서리를 추가합니다. 그런 다음 입력 집합의 합집합 st j = 1..m의 각 요소 aj에 대해 알고리즘은 해당 정점 aj를 고려하고 각 si의 가중치가 0 인 모서리를 HS의 aj st aj ∈si에 추가합니다. 마지막으로, 알고리즘은 t와 k라는 두 개의 최종 정점을 고려하고 각 정점에서 두 정점에 두 개의 모서리를 추가합니다. G '는 다항식 시간으로 만들어 질 수 있음이 분명하다.

이제 LSTMC = (G ', s, t)에 논리적으로 제거 된 모서리에 대한 답이 있고 제거 된 모서리의 가중치의 합이 다음과 같은 경우에만 HS (S)에 k1 요소에 대한 답이 있음을 증명해야합니다. k1.

간단하게하기 위해 예제를 제공하여이 증명 부분을 수행합니다.

다음 그림에서 s1 = {1, 2, 3}, s2 = {1, 4} 및 s3 = {2, 5}가되도록 S = {s1, s2, s3}이라고 가정하십시오. 도 2는 타격 설정 문제 HS (S)에 대응하는 LSTMC 문제의 가중 DAG G '를 도시한다. 이 예에서 집합 A, 즉 S의 모든 요소의 합집합은 A = {1, 2, 3, 4, 5}입니다. 우리는 | S | = 3 및 | A | = 5.이 예는 가중 DAG에서 논리적 st min-cut 문제의 특정 인스턴스의 도움으로 적중 세트 문제의 임의 인스턴스를 해결하는 방법을 보여줍니다. LSTMC = (G ', s, t)에 대한 답을 계산하고 E1 (1 ≤ j ≤ m)이라고하는 (aj, t) 형태의 답의 제거 된 모서리를 고려하면 꼬리 세트는 E1은 HS (S)에 대한 답변입니다. LSTMC 문제에 대한 답은 에지 세트 E1 = {(s1, 2), (s1, 3), (s2, 4), (s3, 5), (1, t), (2, t)}입니다. 따라서 부분 집합 E2 = {(1, t), (2,

다음은 임의의 이진 DAG 에 대한 LMC에 대한 다항식 시간 알고리즘입니다 .$G$

질문 3 번에 답합니다. (미묘한 글쓰기는 미리 죄송합니다. :))

시작하려면 에서 도달 할 수없는 정점을 "영구적으로"버립니다 . 그들이 어떤의 일부가 아닌 것 때문에 우리는이에 대해 걱정하지 않는다 S - t의 경로.$s$$s$$t$

그런 다음 처음에는 비어있는 하위 DAG 및 B를 정의하십시오 . 그런 다음 모든 정점에 대해 v ∈ G − { s , t } ,$A$$B$$v \in G-\{s, t\}$

에서 t 까지의 경로가 있는지 테스트하십시오 . 그렇다면 v 를 A에 추가하십시오 . 그렇지 않은 경우 v 를 B에 추가하십시오 .$v$$t$$v$$A$$v$$B$

가장자리하자 및 B는 어떠한 가장자리 무시 지금 각 세트 내의 버텍스에 의해 유도 된 것들을 (BE 들 에 를 으로부터 에 t 및 발 에 B ;도로부터 에지가없는 유의 B가 로 t 하여 구성).$A$$B$$s$$A$$A$$t$$A$$B$$B$$t$

그런 다음 의 전이 폐쇄를 계산하십시오 . 즉, 하위 DAG A 의 "잎"인 정점 { a * } 집합을 찾는 데 관심 이 있습니다 .$A$$\{a^*\}$$A$

이러한 수정 . 에서 지시 가장자리가 있어야한다는 관찰 * 에 t . 구조에 의해, (I)의 존재 때문이다 (S) - (T)를 통해 경로 * (II)로부터 경로가없는 * 를 통해 B 및 이후 (ⅲ) A가 자체 DAG이고 *는 잎은 의 에서 어떠한 경로도 없다 * 다른 정점 통해 에 t는 .$a^*$$a^*$$t$$s$$t$$a^*$$a^*$$B$$A$$a^*$$A$$a^*$$A$$t$

이제 각 꼭짓점에서 B의 일부 꼭짓점 으로 향하는 가장자리가 있거나, { a * } 의 일부는 t에 대한 단일 가장자리를 갖습니다 . 두 경우 모두 a * → t 모서리 를 삭제할 수 있습니다.$\{a^*\}$$B$$\{a^*\}$$t$$a^*\rightarrow t$

경우 = 1, 다음 중 하나를 우리는 독특한에서 가장자리를 삭제해야합니다 * → t , 또는에서 이전 정점이 의 - t의 포함 경로 * 에 두 개의 경로가 t을 통해 한 - * 직접 하나. 후자의 힘 홀드, 우리는 기록이 경우 * → t을 "이전 버전과 탐욕"(이하이에 대한 자세한 내용을)하고 진행합니다.$|\{a^*\}|$$a^*\rightarrow t$$s$$t$$a^*$$t$$a^*$$a^*\rightarrow t$

$|\{a^*\}|$$\{a^*\}\rightarrow t$$k < |\{a^*\}|$$A$$s$$\{a^*\}$$t$

$G$

$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$B$

$\{a^*\}$$\{a^*\}$$t$$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$t$$s$

$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$t$$\{a^*\}$$t$$s$$t$$s$

$A$

$O(|E|)$$O(|E|^2)$$O(|E|)$.

$O(|V|\cdot(|V|+|E|))$$O(|V|^3)$$O(|E|^2)$$O(|V|^2+|E||V|+|V|^3+|E|^2) = {\bf O(|V|^3+|E|^2)}$

$s$$t$