레이블이없는 나무의 효율적인 압축

레이블이없는 뿌리 이진 트리를 고려하십시오. 우리는 할 수 있습니다 압축 하위 트리에 대한 포인터있을 때마다 : 같은 나무를 $T$ 와 와 (해석 구조 평등), 우리는 저장 (wlog) 및 모든 포인터 대신 가리키는 포인터와 . 예를 들어 uli의 답변 을 참조하십시오 . T = T ' = T T '$T'$$T = T'$$=$$T$$T'$$T$

위의 의미에서 트리를 입력으로 사용하고 압축 후에 남아있는 (최소) 노드 수를 계산하는 알고리즘을 제공하십시오. 이 알고리즘은 시간에 실행해야합니다 와 (유니폼 비용 모델) 입력 노드의 수.$\cal{O}(n\log n)$$n$

이것은 시험 문제이며 좋은 해결책을 찾지 못했으며 하나도 보지 못했습니다.

예, 시간 에이 압축을 수행 할 수 는 있지만 쉽지는 않습니다. :) 먼저 몇 가지 관찰을 한 다음 알고리즘을 제시합니다. 트리가 처음에 압축되지 않았다고 가정합니다. 실제로 필요하지는 않지만 분석이 더 쉬워집니다.$O(n \log n)$

첫째, 우리는 '구조적 평등'을 귀납적으로 특징 짓는다. 와 T ' 를 두 개의 (서브 트리) 트리 라고 하자 . 경우 T 와 T가 ' (전혀 정점이없는) 널 나무는 모두, 그들은 구조적으로 동일합니다. 경우 T 와 T는 ' 모두 null이 아닌 나무입니다, 그들은 자신의 왼쪽 아이들이 구조적으로 동일하고 권리 아이들이 구조적으로 동일 IFF에 구조적으로 동일합니다. '구조적 동등성'은 이러한 정의에 대한 최소한의 고정 점입니다.$T$$T'$$T$$T'$$T$$T'$

예를 들어, 두 개의 리프 노드는 둘 다 하위 트리로 널 트리를 가지므로 구조적으로 동일합니다.

'그들의 왼쪽 아이들은 구조적으로 동등하고 그들의 오른쪽 아이들도 마찬가지입니다'라고 말하는 것이 오히려 성가 시므로, 우리는 종종 '자녀들이 구조적으로 동일하다'고 말하고 같은 것을 의도합니다. 또한 '이 꼭짓점에 뿌리를 둔 하위 트리'를 의미 할 때 때때로 '이 꼭짓점'이라고 말합니다.

위의 정의는 압축을 수행하는 방법에 대한 힌트를 즉시 제공합니다. 깊이가 최대 인 모든 하위 트리의 구조적 동등성을 알고 있으면 깊이 d + 1 인 하위 트리의 구조적 동등성을 쉽게 계산할 수 있습니다 . 우리는 O ( n 2 ) 실행 시간 을 피하기 위해 현명한 방법으로이 계산을 수행해야합니다 .$d$$d+1$$O(n^2)$

알고리즘은 실행 중에 모든 정점에 식별자를 할당합니다. 식별자는 집합 의 숫자입니다 . 식별자는 고유하며 절대 변경되지 않습니다. 따라서 알고리즘 시작시 일부 (전역) 변수를 1로 설정하고 일부 정점에 식별자를 할당 할 때마다 해당 변수의 현재 값을 정점에 할당하고 증분합니다 해당 변수의 값$\{ 1, 2, 3, \dots, n \}$

먼저 입력 트리를 부모에 대한 포인터와 함께 같은 깊이의 정점을 포함하는 (최대 ) 목록 으로 변환합니다 . 이것은 O ( n ) 시간 안에 쉽게 수행됩니다 .$n$$O(n)$

먼저 모든 나뭇잎을 압축합니다 (이 나뭇잎을 깊이 0의 정점으로 목록에서 찾을 수 있음)를 단일 꼭지점으로 압축합니다. 이 정점에 식별자를 할당합니다. 두 정점의 압축은 한 정점의 부모를 대신 다른 정점을 가리 키도록 리디렉션하여 수행됩니다.

우리는 두 가지 관찰을합니다 : 첫째, 모든 정점은 깊이가 더 작은 자식을 가지며, 두 번째로, 보다 작은 모든 깊이의 정점에 대해 압축을 수행 한 경우 (그리고 식별자를 부여한 경우), 깊이 d 의 두 정점 이 구조적으로 동일합니다. 자녀의 식별자가 일치하면 압축 될 수 있습니다. 이 마지막 관찰은 다음과 같은 논증에서 비롯됩니다. 두 정점이 자녀가 구조적으로 동등한 경우 구조적으로 동일하며 압축 후 포인터가 동일한 자식을 가리키고 있음을 의미하며, 이는 자식의 식별자가 동일 함을 의미합니다.$d$$d$

우리는 작은 깊이에서 큰 깊이까지 같은 깊이의 노드로 모든 목록을 반복합니다. 모든 레벨에 대해 정수 쌍의 목록을 작성합니다. 여기서 모든 쌍은 해당 레벨에서 일부 정점의 자식 식별자에 해당합니다. 해당 수준의 두 정점이 해당 정수 쌍이 같으면 구조적으로 동일합니다. 사전 식 순서를 사용하여이를 정렬하고 동일한 정수 쌍 세트를 얻을 수 있습니다. 위와 같이 이러한 집합을 단일 정점으로 압축하고 식별자를 제공합니다.

위의 관찰은이 접근 방식이 작동하고 압축 트리를 생성 함을 증명합니다. 총 실행 시간은 에 우리가 만든 목록을 정렬하는 데 필요한 시간을 더한 것입니다. 우리가 생성하는 정수 쌍의 총 개수는 n 이므로, 필요한 총 실행 시간은 O ( n log n ) 입니다. 프로 시저 마지막에 남은 노드 수를 계산하는 것은 쉽지 않습니다 (유인한 식별자 수를 살펴보십시오).$O(n)$$n$$O(n \log n)$

구조적으로 동일한 하위 용어를 복제하지 않도록 변경할 수없는 데이터 구조를 압축하는 것을 해시 consing이라고 합니다. 이것은 함수형 프로그래밍에서 메모리 관리에 중요한 기술입니다. 해시 정리는 데이터 구조에 대한 일종의 체계적인 메모입니다.

우리는 트리를 해시 컨 시닝하고 해시 컨싱 후 노드를 계산합니다. 크기 의 데이터 구조를 구성하는 해시 는 항상 O ( $n$ 연산; 끝에서 노드 수를 계산하는 것은 노드 수에서 선형입니다.$O(n\:\mathrm{lg}(n))$

나는 나무가 다음과 같은 구조를 갖는 것으로 간주 할 것이다 (여기서는 Haskell 구문으로 작성 됨).

data Tree = Leaf
          | Node Tree Tree

각 생성자에 대해 가능한 인수에서 이러한 인수에 생성자를 적용한 결과에 대한 매핑을 유지해야합니다. 잎은 사소합니다. 노드를 위해, 우리는 한정된 부분 맵 유지 T는 트리 식별자들의 세트이고, N은 노드 식별자들의 집합이다; T = N $\mathtt{nodes} : T \times T \to N$$T$$N$ 여기서 ℓ 는 유일한 리프 식별자입니다. 구체적인 용어로 식별자는 메모리 블록에 대한 포인터입니다.$T = N \uplus \{\ell\}$$\ell$

nodes균형 이진 검색 트리와 같은에 대해 로그 시간 데이터 구조를 사용할 수 있습니다 . 아래 lookup nodes에서는 nodes데이터 구조 에서 키를 찾는 insert nodes작업과 새 키 아래에 값을 추가하고 해당 키를 반환하는 작업을 호출 합니다 .

이제 우리는 트리를 통과하고 노드를 추가합니다. 하스켈 유사 의사 코드로 작성하고 있지만 nodes전역 가변 변수로 취급 합니다. 우리는 단지 그것에 추가 할 것이지만 삽입은 전체적으로 스레드되어야합니다. 이 add함수는 트리에서 반복하여 하위 트리를 nodes맵에 추가하고 루트의 식별자를 반환합니다.

insert (p1,p2) =
add Leaf = $\ell$
add (Node t1 t2) =
    let p1 = add t1
    let p2 = add t2
    case lookup nodes (p1,p2) of
      Nothing -> insert nodes (p1,p2)
      Just p -> p

수가 insert또한 최종 크기 통화, nodes데이터 구조, 최대 압축 후 노드의 수이다. (필요한 경우 빈 트리에 하나를 추가하십시오.)

여기 나무의 구조를 임의로 라벨링하는 것이 아니라 숫자로 (주입 적으로) 인코딩하는 것을 목표로하는 또 다른 아이디어가 있습니다. 이를 위해 우리는 어떤 수의 소인수 분해도 고유하다는 것을 사용합니다.

우리의 목적을 위해 는 트리에서 빈 위치를 나타내고, 왼쪽 하위 트리 l 및 오른쪽 하위 트리 r을 가진 노드를 N ( l , r ) 로 지정하십시오 . N ( E , E ) 는 잎이됩니다. 자 이제$E$$N(l,r)$$l$$r$$N(E,E)$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} f(E) &= 0 \\ f(N(l,r)) &= 2^{f(l)}\cdot 3^{f(r)} \end{align*}$

사용$f$ 트리 상향식에 포함 된 모든 하위 트리 세트를 계산할 수 있습니다. 모든 노드에서 우리는 자식에서 얻은 인코딩 세트를 병합하고 새로운 숫자를 추가합니다 (어린이의 인코딩에서 일정한 시간에 계산할 수 있음).

이 마지막 가정은 실제 기계에 대한 확장입니다. 이 경우 지수 대신 Cantor의 페어링 기능 과 유사한 것을 사용하는 것이 좋습니다.

$\cal{O}(n \log n)$$\cal{O}(n \log n)$

의견에는 사진이 허용되지 않으므로 :

왼쪽 상단 : 입력 트리

오른쪽 위 : 노드 5와 7에 뿌리를 둔 하위 트리도 동형입니다.

왼쪽 아래 : 압축 된 트리가 고유하게 정의되지 않았습니다.

$7+5|T|$$6+|T|$

편집 : 나는 T와 T '가 같은 부모의 자녀라는 질문을 읽었습니다. 압축 정의도 재귀 적이라고 생각했습니다. 즉, 이전에 압축 된 두 개의 하위 트리를 압축 할 수 있습니다. 그것이 실제 질문이 아니면 내 대답이 효과가 없을 수 있습니다.

$O(n \log n)$$T(n) = 2T(n/2) + cn$

def Comp(T):
   if T == null:
     return 0
   leftCount = Comp(T.left)
   rightCount = Comp(T.right)
   if leftCount == rightCount:
     if hasSameStructure(T.left, T.right):
       T.right = T.left
       return leftCount + 1
     else
       return leftCount + rightCount + 1    

hasSameStructure()두 개의 압축 된 하위 트리를 선형 시간으로 비교하여 정확히 동일한 구조인지 확인하는 함수는 어디에 있습니까 ? 각각을 순회하고 하나의 하위 트리에 다른 자식이있을 때마다 왼쪽 자식이 있는지 확인하는 선형 시간 재귀 함수 작성은 어렵지 않아야합니다.

$n_\ell$$n_r$