두 개의 재귀 호출을 포함하는 재귀 방정식 해결

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다음 되풀이 방정식에 대한 바운드 를 찾으려고합니다 . $\Theta$

T (n) = 2 T (n / 2) + T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42$

하위 정리와 사단의 수가 다르기 때문에 마스터 정리가 부적절하다고 생각합니다. 또한 재귀 트리는 또는 이 없으므로 작동하지 않습니다 . $T(1)$ $T(0)$

asymptotics recurrence-relation master-theorem

— 로라
소스

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해당 양식이 되풀이되는 경우, 기본 케이스가 있어야합니다 : 모든 대해 . 그렇지 않다면, 재발이 어떻게 해결 될지에 대한 언급은 없습니다 : 아마도 모든 대해 아마도 입니다 . 여기서 은 원래 문제의 크기입니다! (원래 요소의 모든 하위 집합에 대해 반복되는 항목의 상수 수를 비교하여 끝나는 재귀를 상상해보십시오.) 즉, 기본 사례는 재발을 해결하기에 충분한 정보를 의미하지 않습니다.

T (n) \leq 42

$T(n) \leq 42$

n < 100

$n < 100$

T (n) = 2^{m}

$T(n) = 2^m$

n < 100

$n < 100$

m

$m$

— Alex ten Brink

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예, 재귀 트리는 여전히 작동합니다! 기본 사례가 또는 또는 또는 심지어 에서 발생하는지는 중요하지 않습니다 . 또한 기본 사례의 실제 가치가 무엇인지는 중요하지 않습니다. 그 값이 무엇이든 상수입니다. $T(0)$ $T(1)$ $T(2)$ $T(10^{100})$

빅 세타 안경을 통해 볼 때 재발은 입니다. $T(n) = 2T(n/2)+T(n/3)+n^2$

재귀 트리의 루트 값은 입니다. $n^2$
근은 값이 , 및 세 개의 자식을 갖습니다 . 따라서 모든 어린이의 총 가치는 입니다. $(n/2)^2$ $(n/2)^2$ $(n/3)^2$ $(11/18) n^2$
정신 검사 : 루트에는 9 개의 손자가 있습니다. 4는 값 , 4는 값 , 하나는 값 입니다. 이러한 값의 합은 입니다. $(n/4)^2$ $(n/6)^2$ $(n/9)^2$ $(11/18)^2 n^2$
쉽게 유도 증거 함축 대한 정수 의 레벨에서 노드 합계치가 . $\ell\ge 0$ $3^\ell$ $\ell$ $(11/18)^\ell n^2$
레벨 합계는 내림차순 기하학적 계열을 형성하므로 가장 큰 항인 중요합니다. $\ell=0$
우리는 입니다. $T(n) = \Theta(n^2)$

— JeffE
소스

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더 일반적인 Akra-Bazzi 방법을 사용할 수 있습니다 .

귀하의 경우, 우리는 를 찾아야 합니다. $p$

\frac{1}{2^{p - 1}} + \frac{1}{3^{p}} = 1

$\frac{1}{2^{p-1}} + \frac{1}{3^p} = 1$

( ) $p \approx 1.364$

그리고 우리는

T (x) = Θ (x^{p} + x^{p} \int_{1}^{x} t^{1 - p} d t) = Θ (x^{2})

$T(x) = \Theta(x^p + x^p\int_{1}^{x} t^{1-p} \text{d}t) = \Theta(x^2)$

를 풀 필요가 없습니다 . 당신이 알아야 할 것은 입니다. $p$ $1 \lt p \lt 2$

더 간단한 방법은 를 설정하고 가 경계 임을 증명하는 것 입니다. $T(x) = x^2 g(x)$ $g(x)$

— 아리 아바타
소스

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하자 재발의 우측에 대한 속기. 를 사용하여 의 하한과 상한을 찾습니다 . $f(n) = 2T(n/2) + T(n/3) + 2n^2 + 5n + 42$ $f$ $T(n/3) \leq T(n/2)$

3 T (n / 3) + 2 n^{2} + 5 n + 42 \leq f (n) \leq 3 T (n / 2) + 2 n^{2} + 5 n + 42

$3 T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 \quad \le\quad f(n) \quad\leq \quad 3 T(n/2) + 2n^2+ 5n + 42 \quad$

우리가 하단을 사용하면. 상단 재발의 오른쪽으로 바인딩, 우리가 얻을 마스터 정리에 의해 두 경우 모두에서. 따라서, 이상에서 묶여 와 아래의 행 , 또는 등가 적으로, . $T'(n) \in \Theta(n^2)$ $T(n)$ $O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $T(n) \in \Theta(n^2)$

완전한 증거를 얻으려면 가 증가하는 기능 임을 증명해야 합니다. $T$

— 라파엘
소스

채팅으로이 토론을 계속

— Raphael

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이 트릭은 재귀 트리로 해결할 수있는

와 같은 유사한 반복에 대해서는 작동하지 않습니다 . (그러나 재귀 트리조차도

에서는 작동하지 않으며 Akra-Bazzi로 해결할 수 있습니다.

T (n) = 2 T (n / 2) + 3 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 3T(n/3) + n^2$

T (n) = 2 T (n / 2) + 4 T (n / 3) + n^{2}

$T(n) = 2T(n/2) + 4T(n/3) + n^2$

— JeffE