새끼 고양이 입양 문제의 복잡성

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이것은 Wiring Length Minimization 에서이 질문에 대답하려고하는 동안 나타났습니다 . 나는 이것을 "일부 다처제 결혼"문제라고 부르려고했지만 인터넷은 새끼 고양이였습니다. 예이!

명이 채택해야하는 고양이 , 이 있다고 가정 합니다. 각각의 고양이, 및 각 사람 ( )에 대해 비용 . 모든 새끼 고양이를 입양시키는 데 드는 총 비용을 최소화하고 싶습니다. 제약 조건도 있습니다. 각 사람 는 새끼 고양이 만 입양 할 수 있습니다. $M$ $N$ $M > N$ $i$ $j$ $c_{ij}$ $j$ $u_j$

제약이 없다면 문제는 쉽다. 각 고양이 인물 어울려 되는 최소이다. 제약 조건 으로이 문제에 대한 효율적인 알고리즘이 있습니까, 아니면 NP-hard입니까? $i$ $j$ $c_{ij}$

algorithms complexity-theory

— 방황 논리
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이것은 최소 비용 최대 흐름 문제입니다.

그래프 . 여기서 는 새끼 고양이 세트이고 는 사람들 세트입니다. $G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$ $A$ $B$

하자 는 모서리의 용량이고 는 모서리의 비용입니다. 우리는 확인 $C:E\to \mathbb{R}^+$ $c:E\to \mathbb{R^+}$

사이에 에지가 , 및 , 및 , . $a_i,b_j$ $a_i\in A$ $b_j\in B$ $C(a_i,b_j)=1$ $c(a_i,b_j)=c_{i,j}$
이들 사이의 에지 인 와 , 및 , . $s$ $a_i\in A$ $C(s,a_i)=1$ $c(s,a_i)=0$
와 사이의 모서리가 있으며 , 입니다. $b_j\in B$ $t$ $C(b_j,t)=u_j$ $c(b_j,t)=0$

최대 흐름이 이면 해결책이 있음을 알 수 있습니다. 최소 비용 최대 흐름에서 최소 비용 솔루션을 구성 할 수 있습니다. $M$

— 차오 쉬
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이것은 다항식 인 최소 가중치 완벽 일치 문제입니다. 완전한 이분 그래프 고려 되는, 노드 포함 각 새끼 용 , 구성 노드 사본 각각의 사람에 대한 및 에지 사이 과 각 복사 무게, . $(L , R , E)$ $L$ $l_i$ $i$ $R$ $u_j$ $r_{j}$ $j$ $e_{ij} \in E$ $l_i$ $r_{j}$ $c_{ij}$

우리는 그것을 알고 그렇지 않으면 모든 새끼 고양이를 사람에게 할당 할 수있는 것은 아닙니다. $|L| \leq |R|$

완벽한 일치는 모든 노드와 일치해야하므로 더미 노드를 에 추가하고 ( 를 얻기 위해 ) 가중치가 0 인 가장자리를 모든 노드에 연결해야합니다 . $L$ $|L| = |R|$ $R$

— 파햄
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파티션을이 문제의 변형으로 줄일 수 있다는 관찰이 흥미로울 것입니다. 감안할 요소와 파티션의 인스턴스입니다 와 우리가 부분 집합의 선택에도있는 로를 와 같이 $\{x_1,\dots,x_q\}$ $q$ $S \subseteq \{1,\dots,q\}$ $|S|=q/2$ $\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$ . (요소의 정확히 절반을 선택해야하는 요구 사항은 일반적인 형태는 아니지만이 형태는 여전히 NP-hard입니다.) 각 고양이는 세트의 요소가되어야합니다. 두 사람이있게하십시오. 가중치하자 및 ; 이라고하자 . 이어서 고양이 채택 인스턴스가 갖는 최대 의 파티션의 인스턴스가 솔루션을 IFF에. $c_{i1} = x_i$ $c_{i2} = -x_i$ $u_1 = u_2 = q/2$ $0$

$C$ $Cq$

나는 이것이 원래 문제의 복잡성에 대해 무엇을 말하는지 확신하지 못하지만 조합 최적화 문제에 대해 자주 나타나는 "최소화 / 최대화 중 하나는 NP-hard이고 다른 하나는 P에 있습니다"라는 설정을 고려할 때 효율적인 알고리즘.

— 안드라 살 라몬
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