경우 문맥 자유이고, 일반이며, 다음 문맥 자유입니까?

다음 연습 문제를 해결해야합니다.

만약 에 문맥이없고 이 규칙적이라면 (즉, 오른쪽 몫 )은 문맥이 없습니다.$L$$R$$L / R = \{ w \mid \exists x \in R \;\text{s.t}\; wx \in L\}$

을 허용하는 PDA 와 을 허용하는 DFA 가 있어야 함을 알고 있습니다. 나는 이제 이러한 오토마타를 올바른 몫을 받아들이는 PDA에 결합하려고합니다. 내가 그것을 구축 할 수 있다면 에 컨텍스트가 없음을 증명했습니다 . 그러나 나는이 PDA를 구축하고 있습니다.$L$$R$$L/R$

이것이 내가 한 거리입니다.

결합 된 PDA에서 상태는 분리 된 오토마타 상태의 직교 곱이다. 그리고 가장자리는 DFA의 가장자리이지만 앞으로 L의 원래 PDA의 최종 상태에 도달 할 수있는 것만 DFA의 가장자리입니다. 그러나 공식적으로 작성하는 방법을 모릅니다.

힌트는 다음과 같습니다.

처음에는 의 단어 일부를 받아들이고 테이프를 소비하면서 기계가 필요합니다 . 그런 다음 아무 것도 소비하지 않으면 에서 기계를 최종 상태로 밀어 넣을 단어를 찾아야 합니다. 에서 선택한 단어 는 계산의 후반부에 입력 단어의 역할을합니다.$L$$R$$R$

분명히, 비결정론은 두 기계 사이의 제품과 마찬가지로 역할을 수행 할 것입니다. 이를 공식화하는 비결은 입력이 입력이 아니라 에서 발생한다는 사실을 처리하도록 제품을 조정하는 것 입니다.$R$

Cartesian 제품으로 무엇을 얻고 있는지 잘 모르겠습니다. 이것은 두 오토마타를 동시에 시뮬레이트하여 교차점을 제공합니다. 그러나 당신은 모든 단어를 식별 할 에서 접미사가 ! 즉, 직관적 인 수준입니다.$L$$R$

입력이 가정하십시오 . 분명히, 우리는 가능한 모든 연속을 확인할 수는 없지만 ( 멤버십의 경우) 유한 한 수만 확인할 수 있습니다. Artem의 의견 이 여기에 가장 도움이됩니다. 우리 는 접미사 가 무엇인지 추측 하고 두 automata를 실행합니다.$w \in \Sigma^*$$R$$x$

하자 및 위해 PDA를 및 NFA 각각. 다음과 같이 오토 마톤 를 구성하십시오. 입력 에서 시뮬레이션 . 가 소비 된 후 상태를 에서 유지하면서 과 의 수정 된 교차로 로 . 이제 모든 전환에 대해 가상 입력에서 다음에 어떤 심볼이 있는지 결정적으로 결정하십시오. 수락 IF 및 두 구성 요소에만 경우에 동시에 최종 상태에 도달$A_L$$A_R$$L$$R$$A$$w \in \Sigma^*$$A_L$$w$$A_{L,R}$$A_L$$A_R$$A_L$$w$$A_{L,R}$$w$연속 있으므로 및 입니다.$x$$wx \in L$$x \in R$

공식적인 문법을 사용할 수도 있습니다. 두 개의 문법으로 동시에 파생 할 수있는 방법을 알고 있습니까? 일반적으로 어떻게 적응시키는 지 명확하지 않으므로 접미사를 처리 할 수 ​​있습니다. 사용 촘스키 정규형하는 데 도움이됩니다.$G_L$

과 이 모두 Chomsky 일반 형식으로 제공 되었다고 가정합니다 . 가장 오른쪽에있는 비 터미널이 구별되도록 수정 하고 시작 기호를 새 시작 기호로 만드십시오. 과 에서 병렬로 파생되는 문법으로 이어지는 비 터미널의 새 버전의 구별 된 버전을 소개합니다 (비 터미널은 비 터미널의 쌍입니다). 두 문법이 모두 터미널 기호에 동의하면 복합 비 터미널을 삭제하십시오. 이러한 방식에서, 접미사 그것이 유도 될 수있는 경우와있는 경우에만 삭제 이상에서 그것은 남아 .$G_L$$G_R$$G_L$$G_L$$G_R$$G_L$$G_L$$G_R$$w \in L/R$

Raphael의 대답을 사용하는 것이 훨씬 쉽지만 여기에는 automata 대신 클로저 속성을 사용하는 대안이 있습니다.

하자 언어합니다. 우리는 단어를 읽고 싶지만 가 언어로되어 있는지 에게 묻습니다 . 그래서 우리 는 "삭제" 된 에서 새로운 언어를 만들고 싶습니다 . 우리는 동질성을 사용하여 그것을 할 수 있지만 에서 문자를 제거 할 수 있습니다. 해결 방법 : 알파벳을 2로 나누고 와 다른 문자를 사용하십시오 .$L \subseteq A^{\ast}$$w$$L$$w x$$L$$x$$w$$w$$x$

더 공식적으로 :

1) 만들기 에서 단어의 각 문자로는 0 또는 1 태그 2) 일반 언어와 교차 그것 입니다. 이렇게하면 모든 0이 1보다 먼저 나오고 두 번째 부분은 에서 나옵니다 . 의 정확한 의미 는 독자에게 남아 있습니다. 3) 와 . 사용 된 폐쇄 특성 : 동형 이미지, 사전 이미지, 일반 언어와의 교차. 장점 :이 증명은 다른 가족에 적용됩니다 (예 : 문맥이없는 것을 일반으로 대체).$L' \subseteq (A \times \{0,1\})^{\ast}$$L$
$(A \times {0})^{\ast} (R \times 1)$$R$$\times$
$(a,0) \to a$$(a,1) \to \varepsilon$