NP에서이 결정 불가능한 문제가 아닌 이유는 무엇입니까?

분명히 NP에는 결정 불가능한 문제가 없습니다. 그러나 Wikipedia 에 따르면 :

NP는 응답이 "예"인 경우 결정 론적 튜링 머신에 의해 다항식 시간으로 검증 할 수있는 [.. 증명]을 갖는 모든 결정 문제의 집합입니다.

[...]

다항식 시간으로 실행되는 문제에 대한 검증자가있는 경우에만 문제가 NP에 있다고합니다.

이제 다음 문제를 고려하십시오.

Diophantine 방정식이 주어지면 정수 솔루션이 있습니까?

솔루션을 감안할 때, 그것은 정말 다항식 시간에 확인하기 쉽습니다 입니다 단지 방정식에 숫자를 연결 : 해결책은. 따라서 문제는 NP에 있습니다. 그러나이 문제를 해결 하는 것은 결정 불가능한 것으로 유명합니다 !

유사하게, "이 프로그램이 N 번째 단계에서 정지됨"의 "예"솔루션이 N 단계로 검증 될 수 있기 때문에 정지 문제는 NP에 있어야하는 것 같습니다.

분명히 내 이해에 문제가 있지만 무엇입니까?

NP의 동등한 정의 는 비 결정적 튜링 머신에 의해 다항식 시간으로 결정될 수있는 (단지 검증 할 수 없는) 모든 문제로 구성된다는 것 입니다. NTM은 NTM에 의해 결정될 수있는 일련의 문제가 TM에 의해 결정될 수있는 일련의 문제와 동일하다는 점에서 TM보다 강력하지 않은 것으로 알려져있다.

결정 론적 검증자가 존재함에 따라 NP의 두 가지 정의가 동등하다는 것을 입증하기 위해 비결정론 적 결정자가 존재 함을 입증 할 수 있으며 그 반대도 마찬가지입니다.

결정적 다항식 검증 기가 있다고 가정 해보십시오. 그런 다음이 문제 / 검증 자의 바운드 인증서 크기에 해당하는 다항식에 의해 바운드 된 길이의 인증서를 비 결정적으로 추측하여 검증기를 실행하는 기계도 있습니다. 알파벳이 유한하기 때문에 주어진 입력에 대한 인증서는 유한하며 (그리고 입력 크기의 최대 다항식) 검증기는 다항식 시간에 실행되며, 기계는 모든 입력에 대해 모든 분기에서 정지하고 결정 론적) 다항식 시간. 따라서 모든 결정 론적 검증 자에 대해 비결정론 적 결정자가 있습니다.

비 결정적 결정자가있는 경우 모든 수락 계산에 대해 결정자가 수락 상태에 도달하기 위해 선택한 선택 경로를 기록 할 수 있습니다. 결정자가 다항식 시간으로 실행되므로이 ​​경로는 최대 다항식 길이입니다. 그리고 결정 론적 TM이 그러한 경로 가 NTM을 통해 수락 상태까지의 유효한 경로 인지 검증하는 것은 쉽습니다 . 따라서 이러한 경로는 문제에 대한 다항식 시간 검증기의 인증서를 형성합니다. 따라서 모든 비 결정적 결정자에 대한 결정적 검증자가 있습니다.

따라서 결정 불가능한 문제 는 다항식 크기의 인증서에서 작동하는 검증기를 가질 수 없습니다 (그렇지 않으면 검증 자의 존재는 결정자의 존재를 암시합니다).

정지 문제에 대한 검증자가 존재한다고 주장 할 때, 말하는 인증서는 (TM, I, N)의 인코딩이며, TM은 입력 I에서 N 단계로 정지합니다. 이것은 실제로 N 단계로 검증 될 수 있지만, 인증서의 크기는 원래 문제에 대한 (TM, I) 입력의 크기 (정지 문제)에서 다항식이 아닙니다. N은 (인코딩에 관계없이) 임의로 클 수 있습니다. 그러한 검증자를 비 결정적 결정자로 변환하려고하면 다소 흥미로운 기계가 생깁니다. 그렇지 않은 TM에 대해 (TM, I)을 실행할 때이를 입증 할 수 있어야합니다.입력시 정지 I 기계를 통한 정지하지 않는 경로는 존재하지 않지만 정지 상태로 이어지는 경로의 경우 항상 더 긴 경로 (더 큰 N의 추측에 해당)가 있으므로 유한 경계가 없습니다. 실행 시간 본질적으로 이것은 초기 비 결정적 추측으로 탐색해야 할 무한한 공간이 있기 때문입니다. 이러한 NTM을 결정적 TM으로 변환 하면 일부 입력에서 루프되거나 정지되지 않는 기계 중 하나가 생성됩니다. 실제로 중지 문제를 결정할 수있는 NTM이 없으므로 제한된 크기의 인증서에서 작동하는 검증 기가 없습니다.

나는 Diophantine 방정식에 익숙하지 않지만 본질적으로 동일한 문제가 거기의 주장에 적용되는 것처럼 보입니다.

이러한 이유로 NP의 NTM 정의에 대해 추론하기가 더 쉽다는 것을 알게되었습니다. 결정 불가능한 문제에 대한 검증자가 있습니다 (원래 문제에 대한 입력 크기에 다항식 크기가있는 인증서에서는 작동하지 않습니다). 실제로 일부 언어 를 인식 하지만 결정 하지 않은 TM 은 동일한 언어의 검증기로 쉽게 변환 될 수 있습니다.

검증 자에 대해 생각 하면 인증서 크기가 아닌 원래 문제 입력 의 크기로 시간을 제한해야한다고 가정합니다 . 인증서 크기와 관련하여 검증 기가 더 낮은 시간 내에 실행되도록 인증서 크기를 임의로 부 풀릴 수 있습니다.

나는 당신이 디오 판틴 방정식과 Matiyasevich의 결정 불가능 성 이론 을 푸는 것이 무엇을 의미하는지 오해했다고 생각합니다 .

Matiyasevich마다 RE 세트의 입증 diophentine 방정식가 F ( N , X 1 , . . . , X K ) 되도록 n은 ∈ S 계수 정수가 존재하는 경우에만 , X 1 , ..., X (K) 등 그 F ( N , X 1 , . . . , X (K) ) = $S$$f(n;x_1,...,x_k)$$n \in S$$x_1$$x_k$$f(n;x_1,...,x_k) = 0$. 특히, 정지 문제는 전형적인 RE 세트이므로, 상기 문제를 해결하는 것은 결정 불가능하다.

참고 크기는 제한되지 않으며 일반적으로 임의로 클 수 있으므로이 문제에서 명백한 "다항식 크기의 인증서"는 없습니다.$x_1, ... x_k$

확장하려면 : 정수는 는 이진수로 작성되어 인증서가되어야합니다. 이 정수는 임의적으로 클 수 있기 때문에 ( n과 상관없이 ) 인증서는 로그 n 에서 다항식이 아니 거나 더 중요하지 않으며 계산 가능 함수에 의해 제한되지 않습니다.$x_1, ... , x_k$$n$$\log n$

모든 문제에 하지만, 일부 다항식에 의해 경계 된 인증서 갖는 P ( N ) ( N은 입력의 크기이다). 따라서 N P 질문은 가능한 모든 비트 문자열을 길이 p ( N ) 까지 열거 할 수 있고 입력을 인증하는 것이 없으면 false를 반환 하므로 사소하게 결정 가능합니다 . 일부는 true를 반환합니다.$\mathsf{NP}$$p(N)$$N$$\mathsf{NP}$$p(N)$

공식적인 정의 로 아래로 스크롤해야합니다 .

$L$$p$$q$$M$

• $x$$M$$p(|x|)$$(x,y)$
• $x \in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 1$
• $x \not\in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 0$

즉, 검증자는 비 솔루션에서도 작동해야합니다. 어딘가에, 더 명확한 정의 에 의해 명백한 것처럼 결정 불가능한 문제는 실패합니다 (귀하의 경우 솔루션 후보의 길이 제한이 충족되지 않았을 것입니다) .

NP는 다항식 시간으로 실행되는 비 결정적 튜링 머신에 의해 결정 가능한 일련의 결정 문제입니다.

위의 답변에 대한 자세한 내용을 제공하려고합니다.

실제로이 질문은 딜레마 문제입니다.

한편, Diophantine Equation Problem (DEP)은 Matiyesevich의 정리 (Matiyesevich의 정리는 Hilbert의 10 번째 문제에 답하고 Turing의 Halting 문제는 힐버트의 10 번째 문제 즉 Entscheidungsproblem)의 일반화에 따라 결정될 수 없다. 그러나 다른 한편으로 NP의 정의 (결정 가능하고 검증 가능)에 따라 NP에는 결정 불가능한 문제가 없습니다.

즉, DEP가 NP에 없거나 DEP가 NP에 있습니다. 둘 다 NP의 정의와 관련이 있습니다.

DEP가 NP에 없으면 NP (NDTM = 비결 정성 튜링 머신)의 문제가 결정 가능하고 검증 가능하다는 것을 의미합니다. 즉, P = NP (NDTM)를 수락합니다.

DEP가 NP에있는 경우 NP (NTM = Non Turing Machine)에 결정 가능하고 결정 불가능하며, 명백하게 결정 가능하므로 문제는 결정 불가능한가? 실제로, 그것은 P 대 NP의 유명한 문제입니다. 확실히, 결정 불가는 확인할 수 없으므로 NP는 NDTM (NonDeterminstic Turing Machine) 대신 NTM (Non Turing Machine)에 해당합니다.

DEP의 전제는 NP (NTM)에 있으며 NP (NTM)는 결정 불가능한 문제 (결정 불가능)이며 NP (NDTM, 결정 가능 및 검증 가능)의 현재 정의는이 결정 불가 (결정 불가능)를 잃어 버렸습니다. 우리는 그것이 의문을 가질 필요가 있다고 생각합니다.

우리는 Diophantine 방정식에 대해 제기 한 딜레마가 NP의 현재 정의에서 비정상적인 것을 나타 내기 때문에 매우 중요하다고 생각합니다.-다항식에서 실행되는 문제에 대한 검증자가있는 경우에만 문제가 NP에 있다고합니다. 시각.

NP의 정의와 관련하여 다항식 시간에 풀 수있는 문제에서 이러한 문제를 인식하기 위해 다항식 알고리즘을 찾을 수없는 많은 적용 가능하고 중요한 문제가 발견 된 60 년대로 추적 될 수 있습니다. (P), NP의 개념이 제시되었다.

그러나 다항식 시간으로 검증 할 수있는 것으로 정의 된 NP의 현재 정의는 NP와 P를 혼동합니다. P의 문제는 다항식 시간에서도 검증 할 수 있기 때문입니다. 다시 말해서, 그러한 정의는 NP의 본질,«nondeterminisme»의 상실로 이어진다. 결과적으로 그것은 NP를 이해하는데 심각한 모호성을 야기한다. 예를 들어, 당신의 딜레마 : 본질적으로 디오 판틴 방정식의 문제는 결정 불가능하다; 그러나 NP의 정의에 의해 결정될 수있다.…

우리의 의견으로는«P 대 NP»를 해결하는 데 어려움이 먼저인지 수준에 있으므로«P 대 NP»에 대한 통찰력을 얻으려면 먼저 질문해야합니다. NP 란 무엇입니까?