마스터 정리가 적용되지 않습니까?

다음과 같은 재귀 방정식이 주어지면

티 (엔) = 2 티 (\frac{엔}{2}) + 엔 로그 엔

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$ 우리는 마스터 정리를 적용하고

엔^{{로그}_{2} (2)} = 엔 .

$n^{\log_2(2)} = n.$

이제 우리는 대한 처음 두 경우를 확인 $\varepsilon > 0$ 합니다.

$n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$ 또는
$n\log n \in \Theta(n)$ .

두 경우는 만족스럽지 않습니다. 세 번째 경우를 확인해야합니다.

$n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$ .

세 번째 조건도 만족스럽지 않다고 생각합니다. 그런데 왜? 이 경우에 마스터 정리를 적용 할 수없는 이유에 대한 좋은 설명은 무엇입니까?

— 요아킴
소스

위키에서 사례 2 일반 양식을 참조하십시오 .

이

대해

이 아니기 때문에 사례 3이 만족 되지 않습니다 . 한계

에 l' Hôpital의 규칙 사용

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— sdcvvc

어떤 경우에도 해당되지 않음을 보여 주면, 그것은 언급 된대로 마스터 정리를 적용 할 수 없다는 증거 입니다.

— Raphael

누가 마스터 정리가 필요합니까? 재귀 트리를 사용하십시오.

— JeffE

math.SE와 비슷한 질문입니다 .

— Raphael

언급 한 마스터 정리의 세 가지 사례는 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest 및 Clifford Stein (2001 년 2 판)의 알고리즘 소개 에서 증명됩니다 .

올바르게 문제의 반복 인 경우 (2)와 케이스 (3) 사이에 떨어지는 것을 관찰 보다 빠르게 성장 하지만보다 느린 모든 대 . $f(n) = n \log n$ $n$ $n^{1+\varepsilon}$ $\varepsilon > 0$

그러나이 재귀를 다루기 위해 정리를 일반화 할 수 있습니다. 치다

사례 2A : 일부 대해 를 고려하십시오 . $f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ $k\geq 0$

이 경우는 일 때 사례 2로 줄어 듭니다 . 반복 트리 의 각 분기를 따라 가 추가되고 있음을 직관적으로 알 수 있습니다. 보다 공식적인 증거의 스케치는 아래에서 찾을 수 있습니다. 최종 결과는 $k = 0$ $f(x)$ $\Theta (\log_b n)$

티 (엔) = Θ (엔^{{로그}_{비} ㅏ} {로그}_{비}^{케이 + 1} 엔)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$

에서 알고리즘 소개 이 문은 연습으로 남아 있습니다.

문제의 재발에이 문장을 적용하면

티 (엔) = Θ (엔 \cdot {로그}^{2} 엔) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

마스터 정리에 대한 자세한 내용은 우수한 위키 백과 페이지를 참조하십시오 .

@sdcvvc가 사례 3이 적용되지 않음을 입증하기 위해 의견에서 지적한 것처럼 라는 L' Hospital의 규칙을 호출 할 수 있습니다 임의의 함수와의 근방에서 미분. 이 적용및하나가 보여줄 수있는

\underset{엑스 \to 씨}{임} \frac{에프 (엑스)}{지 (엑스)} = \underset{엑스 \to 씨}{임} \frac{{에프}^{'} (엑스)}{지^{'} (엑스)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

c

$c$

f (n) = n \log n

$f(n) = n \log n$

g (n) = n^{1 + ε}

$g(n) = n^{1+\varepsilon}$

\log n \notin Θ (n^{1 + ε}) .

$\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

사례 2A에 대한 마스터 정리 증명 스케치.

이것은 필요한 수정을 통해 소개 서에서 알고리즘으로 증거의 일부를 재현 한 것입니다 .

먼저 우리는 다음의 Lemma를 증명합니다.

렘마 A :

함수 고려 여기서 그런 다음

지 (엔) = \sum_{제이 = 0}^{{로그}_{비} 엔 - 1} ㅏ^{제이} h (엔 / 비^{제이})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

h (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n .

$h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

$h(n)$ $g(n)$

지 (엔) = 엔^{{로그}_{비} ㅏ} {로그}_{비}^{케이} 엔 \sum_{제이 = 0}^{{로그}_{비} 엔 - 1} {(\frac{ㅏ}{비^{{로그}_{비} ㅏ}})}^{제이} = 엔^{{로그}_{비} ㅏ} {로그}_{비}^{케이 + 1} 엔 .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

QED

$n$ $b$

티 (엔) = ㅏ 티 (엔 / 비) + 에프 (엔), 티 (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

티 (엔) = Θ (엔^{{로그}_{비} ㅏ}) + \sum_{제이 = 0}^{{로그}_{비} 엔 - 1} ㅏ^{제이} 티 (엔 / 비^{제이}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j T(n/b^j).$

f (n)

$f(n)$

Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n)

$\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$

Θ

$\Theta$

티 (엔) = Θ (엔^{{로그}_{비} ㅏ} {로그}_{비}^{케이 + 1} 엔) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

$n$ $b$

— 드미트리 추 바로 프
소스

Akra-Bazzi 정리는 마스터 정리의 엄격한 일반화입니다. 보너스로서 그 증거는 당신의 머리를 회전시키는 정수의 눈보라입니다 ;-)

$T(n) \sim g(n)$

— 폰 브란트
소스