랜덤 그래프의 클릭 횟수

노드를 갖는 랜덤 그래프 패밀리가 있습니다 ( Gilbert 때문에 ). 각각의 가능한 모서리는 확률 로 독립적으로 삽입됩니다 . 를 단위의 크기 의 하자 . $G(n, p)$ $n$ $G(n, p)$ $p$ $X_k$ $k$ $G(n, p)$

나도 알아 $\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ ,하지만 난 그것을 어떻게 증명합니까?

어떻게 것을 보여주기 위해 $\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1$ 에 대한 $n\to\infty$ ? 그리고 어떻게 보여 $\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0$ 위한 $n\to\infty$ 및 고정 된 임의의 상수 $c>1$ ?

— 사용자 1374864
소스

기본적으로 세 가지 질문이 있습니다.

것을 나는 알고있다 $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ ,하지만 난 그것을 어떻게 증명합니까?

당신은 기대의 선형성과 일부 재 작성을 사용합니다. 우선, 이제 기대할 때 간단히 선형성으로 인해 합계를 빼고 합계를 계산하여 노드 하위 집합 간의 모든 가능한 종속성을 제거했습니다. 그러므로, 가 클릭 일 확률 은 얼마입니까? 무엇을 구성 하든 모든 엣지 확률은 같습니다. 따라서

X_{k} = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 [T is clique] .

$X_k = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathbb{1}[T \text{ is clique}].$

X_{k}

$X_k$

E (X_{k}) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} E (1 [T is clique]) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} P r [T is clique]

$\mathrm{E}(X_k) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{E}(\mathbb{1}[T \text{ is clique}]) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{Pr}[T \text{ is clique}]$

T

$T$

T

$T$

P r [T is clique] = p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{Pr}[T \text{ is clique}] = p^{k \choose 2}$ 이 하위 그래프의 모든 모서리가 있어야하므로 그런 다음 합계의 내부 항은 더 이상 의존하지 않으므로 입니다.

T

$T$

E (X_{k}) = p^{(\binom{k}{2})} \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 = (\binom{n}{k}) \cdot p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{E}(X_k) = p^{k \choose 2} \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} 1 = {n \choose k} \cdot p^{k \choose 2}$

대해 표시하는 방법 : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$

이것이 올바른지 확실하지 않습니다. 이항 계수에 바운드 를 적용하면

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n} = {(\frac{n e \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n})}^{\log n} .

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n} = \left(\frac{ne \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n}\right)^{\log n}.$ (참고 I 대략 상부 경계 것을 가 ). 단, 지금 바로 선택할 수 , 그 구 이므로 큰 경우 전체 항이 됩니다 . 에 대한 몇 가지 가정이 누락 되었습니까?

p^{\frac{- 1 + \log n}{2}}

$p^\frac{-1 + \log n}{2}$

p^{\frac{\log n}{4}}

$p^\frac{\log n}{4}$

p = 0.001

$p = 0.001$

\log_{2} 0.001 \approx - 9.96

$\log_2 0.001 \approx -9.96$

0

$0$

n

$n$

p

$p$

— HdM
소스

맞습니까? . 그럴 필요하지 않습니다 하지만 이제는 진행 방법을 모릅니다

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n}$

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log_{2} n}) \cdot p^{(\binom{\log_{2} n}{2})} \leq {(\frac{n e}{\log_{2} n})}^{\log n} \cdot p^{\frac{(\log_{2} (n) \cdot e)^{2}}{4}}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log_2 n} \cdot p^{\log_2 n \choose 2} \leq \left(\frac{n e}{\log_2 n}\right)^{\log n}\cdot p^\frac{(\log_2 (n)\cdot e)^2}{4}$

— user1374864

나는 에 대해서만 경계를 적용했습니다 . 를 들어 , 당신은 그 관찰 할 수있다 . 이제 이기 때문에 지수를 작게 만들고 싶습니다 (자신을 설득하십시오). 합리적으로 큰 은 입니다. 따라서 위의 계산은 정확해야합니다 ...

(\binom{n}{\log n})

${n \choose \log n}$

p

$p$

(\binom{\log n}{2}) = (\log n) (\log n - 1) / 2

${\log n \choose 2} = (\log n) (\log n -1)/2$

p \leq 1

$p \leq 1$

n

$n$

(\log n) (\log n - 1) / 2 > (\log n)^{2} / 4

$(\log n) (\log n -1)/2 > (\log n)^2 / 4$

— HdM

세 번째 질문은 무엇입니까?

— 큐

두 번째 질문과 같은 문제가 있습니다. 죄송합니다.

— HdM

랜덤 그래프의 클릭 횟수

것을 나는 알고있다 E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}} ,하지만 난 그것을 어떻게 증명합니까?

대해 표시하는 방법 :n→∞n→∞n\rightarrow\inftyE(Xlog2n)≥1E(Xlog2⁡n)≥1E(X_{\log_2n})\ge1

것을 나는 알고있다 $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$ ,하지만 난 그것을 어떻게 증명합니까?

대해 표시하는 방법 : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$