BFS / DFS를 사용하여 나무의 지름을 찾는 알고리즘. 왜 작동합니까?

이 링크는 BFS / DFS를 사용하여 방향이없는 트리의 직경을 찾기위한 알고리즘을 제공합니다 . 요약 :

그래프에서 임의의 노드에서 BFS를 실행하고 마지막으로 발견 한 노드 u를 기억하십시오. 마지막으로 발견 된 노드 v를 기억하면서 u에서 BFS를 실행하십시오. d (u, v)는 나무의 지름입니다.

왜 작동합니까?

이 중 2 페이지 는 추론을 제공하지만 혼란 스럽습니다. 증거의 초기 부분을 인용하고 있습니다.

그래프에서 임의의 노드에서 BFS를 실행하고 마지막으로 발견 한 노드 u를 기억하십시오. 마지막으로 발견 된 노드 v를 기억하면서 u에서 BFS를 실행하십시오. d (u, v)는 나무의 지름입니다.

정확성 : d (a, b)가 나무의 지름이되도록 a와 b를 두 개의 노드로 둡니다. a에서 b까지의 고유 한 경로가 있습니다. BFS가 발견 한 경로의 첫 번째 노드가되게하십시오. s에서 u 로의 경로 와 a에서 b 로의 경로가 모서리를 공유하지 않으면 t에서 u까지의 경로에 s가 포함됩니다. 그래서$p_1$$p_2$

$d(t,u) \ge d(s,u)$

$d(t,u) \ge d(s,a)$

.... (더 많은 불평등은 다음과 같습니다 ..)

불평등은 나에게 이해가되지 않습니다.

주장을 입증하는 모든 부분은 방향이없는 가장자리가있는 나무의 두 가지 중요한 속성에 달려 있습니다.

• 1- 연결성 (예 : 트리의 두 노드 사이에 정확히 하나의 경로가 있음)
• 모든 노드는 트리의 루트 역할을 할 수 있습니다.

임의의 트리 노드 선택 . 가 노드라고 가정합니다 . 알고리즘이 먼저 에서 시작 하는 노드 찾고 다음 에 에서 시작하는 일부 노드 찾는다고 가정하십시오 . wlog . 참고 알고리즘의 첫 번째 단계는에서 끝나지하지 않는 한, 보유해야합니다 . 우리가 볼 .u , v ∈ V ( G ) d ( u , v ) = d i a m ( G ) x s y x d ( s , u ) ≥ d ( s , v ) d ( s , x ) ≥ d ( s , y ) x d ( x , y ) $s$$u, v \in V(G)$$d(u,v) = diam(G)$$x$$s$$y$$x$$d(s,u) \geq d(s,v)$$d(s,x) \geq d(s,y)$$x$$d(x,y) = d(u,v)$

관련된 모든 노드의 가장 일반적인 구성은 다음 의사 그래픽에서 볼 수 있습니다 ( 또는 또는 둘 다). s = z x $s = z_{uv}$$s = z_{xy}$

(u)                                            (x)
  \                                            /
   \                                          /
    \                                        /
     ( z_uv )---------( s )----------( z_xy )
    /                                        \
   /                                          \
  /                                            \
(v)                                            (y)

우리는 그것을 알고 있습니다 :

1. d ( u , v ) < d i a m ( G $d(z_{uv},y) \leq d(z_{uv},v)$ . 그렇지 않으면 는 가정과 모순됩니다.$d(u,v) < diam(G)$
2. d ( u , v ) < d i a m ( G $d(z_{uv},x) \leq d(z_{uv},u)$ . 그렇지 않으면 는 가정과 모순됩니다.$d(u,v) < diam(G)$
3. $d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u)$ , 그렇지 않으면 알고리즘의 1 단계가되지 않습니다. 에서 멈췄습니다 .$x$
4. $d(z_{xy},y) \geq d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy})$ , 그렇지 않으면 알고리즘의 2 단계가 에서 중지되지 않았을 것 입니다.$y$

1) 및 2) .$\, \\ d(u,v) = d(z_{uv},v) + d(z_{uv},u) \\ \qquad\geq d(z_{uv},x) + d(z_{uv},y) = d(x,y) + 2\, d(z_{uv}, z_{xy}) \\ \qquad\qquad\geq d(x,y)$

3) 및 4) 해당 ~ .$\, \\ d(z_{xy},y) + d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u) + d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy}) \qquad\qquad\qquad\qquad \\ \,$$\, \\ d(x,y) = d(z_{xy},y) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq 2*\,d(s,z_{uv}) + d(v,z_{uv}) + d(u,z_{uv}) \\ \qquad\qquad\geq d(u,v)$

따라서 입니다.$d(u,v) = d(x,y)$

대체 구성을위한 아날로그 증거 보유

                 (u)                          (x)
                   \                          /
                    \                        /
                     \                      /
     ( s )---------( z_uv )----------( z_xy )
                     /                      \
                    /                        \
                   /                          \
                 (v)                          (y)

과

                          (x)        (u)  
                          /            \  
                         /              \ 
                        /                \
     ( s )---------( z_xy )----------( z_uv )
                        \                /          
                         \              /           
                          \            /            
                          (y)        (v)            

이것들은 모두 가능한 구성입니다. 특히, 알고리즘의 1 단계의 결과로 인한 , 2 단계로 인해$x \not\in path(s,u), x \not\in path(s,v)$$y \not\in path(x,u), y \not\in path(x,v)$

직관은 이해하기 매우 쉽습니다. 주어진 트리의 두 노드 사이에 존재하는 가장 긴 경로를 찾아야한다고 가정하십시오.

일부 다이어그램을 그린 후에는 가장 긴 경로가 항상 두 개의 리프 노드 (한 가장자리 만 연결된 노드) 사이에서 발생한다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 가장 긴 경로가 두 노드 사이에 있고 두 노드 중 하나 또는 둘 다가 리프 노드가 아닌 경우 경로를 확장하여 더 긴 경로를 얻을 수 있음을 증명할 수도 있습니다.

따라서 한 가지 방법은 먼저 어떤 노드가 리프 노드인지 확인한 다음 리프 노드 중 하나에서 BFS를 시작하여 노드를 가장 멀리 가져옵니다.

먼저 어떤 노드가 리프 노드인지를 찾는 대신 임의 노드에서 BFS를 시작한 다음 어느 노드가 가장 노드인지 확인합니다. 가장 먼 노드를 x로 설정하십시오. x가 리프 노드라는 것이 분명합니다. 이제 x에서 BFS를 시작하고 가장 먼 노드를 확인하면 답을 얻습니다.

그러나 x가 최대 경로의 끝 점이된다는 보장은 무엇입니까?

예를 보자 :-

       1   
    / /\ \
   6 2  4 8
         \ \
          5 9
           \
            7

6에서 BFS를 시작했다고 가정합니다. 6에서 최대 거리에있는 노드는 노드 7입니다. BFS를 사용하여이 노드를 얻을 수 있습니다. 이제 노드 7에서 BFS를 별표로하여 최대 거리에서 노드 9를 얻습니다. 노드 7에서 노드 9까지의 경로는 분명히 가장 긴 경로입니다.

노드 6에서 시작한 BFS가 최대 거리에서 노드로 2를 제공 한 경우 어떻게됩니까? 그런 다음 2에서 BFS를 할 때 최대 거리에서 노드로 7을 얻고 가장 긴 경로는 길이가 4 인 2-> 1-> 4-> 5-> 7이됩니다. 그러나 실제 가장 긴 경로 길이는 5입니다. 노드 6의 BFS는 노드 2를 최대 거리에서 노드로 제공하지 않기 때문에 발생합니다.

희망이 도움이됩니다.

다음은 원래 질문에 더 연결된 MIT 솔루션 세트를 따르는 증거입니다. 명확하게하기 위해, 나는 그들이 사용하는 것과 동일한 표기법을 사용하여 비교를보다 쉽게 ​​할 수 있습니다.

우리는 두 정점 있다고 가정 및 간 거리되도록 와 경로에 예를 들어 거리, 직경이고 트리 내의 임의의 두 지점 사이의 최대 가능한 거리이다. 또한 노드 ( 이면 첫 번째 BFS가 얻고 두 번째가 a로 돌아 가기 때문에 체계가 작동하는 것이 분명합니다 )를 가정하십시오. 와 같은 노드 가 있다고 가정 합니다.$a$$b$$a$$b$$p(a, b)$$d(a, b)$$s \neq a, b$$s = a$$b$$u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$

Lemma 0 : 와 는 모두 리프 노드입니다.$a$$b$

증명 :가 리프 노드가 아니라면, 우리가 증가 할 수 리프 노드 끝점을 연장함으로써 모순 의 직경을 주도한다.$d(a,b)$$d(a, b)$

렘마 1 : .$\max [d(s,a), d(s, b)] = d(s, u)$

증명 : 모순을 위해 와 둘 다 보다 엄격히 작았다고 가정하십시오 . 우리는 두 가지 경우를 봅니다.$d(s, a)$$d(s,b)$$d(s, u)$

사례 1 : 경로 않는다 하지 정점 포함 . 이 경우 는 직경이 될 수 없습니다. 이유를 보려면, 가 가장 작은 에서 고유 한 꼭짓점이되도록하십시오 . 그러면 , 사람 . 마찬가지로 있습니다. 이것은 가 직경 모순된다 .$p(a, b)$$s$$d(a, b)$$t$$p(a, b)$$s$$d(a, u) = d(a, t) + d(t, s) + d(s, u) > d(a, b) = d(a, t) + d(t, b)$$d(s, u) > d(s, b) = d(s, t) + d(t, b) > d(t, b)$$d(b, u) > d(a, b)$$d(a, b)$

사례 2 : 경로 정점 포함 . 이 경우에, 다시 일부 정점 때문에, 직경 수없는 되도록 두 및 는 보다 큽니다 .$p(a, b)$$s$$d(a, b)$ $u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$$d(a, u)$$d(b, u)$$d(a, b)$

Lemma 1은 우리 가 첫 번째 BFS 의 마지막으로 발견 된 정점 에서 두 번째 너비 우선 검색을 시작하는 이유를 제공합니다 . 가 에서 가능한 최대 거리를 갖는 고유 한 정점 인 경우 Lemma 1에 의해 직경과 동일한 거리를 가진 경로의 끝점 중 하나 여야 하며, 따라서 루트가 명확하게 가있는 를 가진 두 번째 BFS가 직경. 반면에 와 같은 다른 정점 하나 이상 있으면 직경이 임을 알 수 있습니다. 또는 에서 두 번째 BFS를 시작하는지 여부는 중요하지 않습니다 .$u$$u$$s$$u$$v$$d(s, v) = d(s, u)$$d(a, b) = 2d(s, u)$$u$$v$

먼저 임의의 노드에서 DFS를 실행 한 다음 트리의 직경은 DFS 하위 트리에서 노드의 가장 깊은 잎 사이의 경로입니다.

BFS의 정의에 따라, 탐색 된 각 노드의 거리 (시작 노드로부터의 거리)는 탐색 된 이전 노드의 거리와 같거나 1 이상입니다. 따라서 BFS가 탐색 한 마지막 노드는 시작에서 가장 먼 노드 중 하나입니다. 마디.

따라서,에 BFS에게 배 양을 사용하는 알고리즘은 "임의의 노드 선택 . 찾기 노드 먼로부터 (마지막 노드부터 BFS 발견 ). 노드 찾기 로부터 먼 BFS부터 출발하여 실측치 (마지막 노드 ). "따라서 서로에서 최대 거리의 두 노드를 발견한다.$x$$a$$x$$x$$b$$a$$a$

알아야 할 한 가지 중요한 점은 나무가 항상 평면이라는 것입니다. 즉, 평평한 나무 위에 놓을 수 있으므로 평범한 2 차원 사고가 가능합니다. 이 경우 알고리즘은 어디서나 시작한다고 할 수 있습니다. 그 지점에서 그 지점으로부터 멀어 질 수있는 거리는 나무에서 가장 긴 거리이므로 지름입니다.

이 방법은 섬을 완전히 둘러싸는 가장 작은 원의 직경으로 정의한 경우 실제 물리적 섬의 직경을 찾는데도 효과적입니다.

@op, 사례가 PDF에서 정의되는 방식이 약간 다를 수 있습니다.

두 경우는 다음과 같아야한다고 생각합니다.

1. $p_1$ 은 와 교차하지 않습니다 . 즉, 경로 과 사이에 공통 정점이 없습니다 . 이 경우, 를 에서 시작하여 첫 번째 BFS가 감지 한 의 첫 번째 노드로 정의 하십시오 .$p_2$$p_1$$p_2$$t$$p_2$$s$

2. $p_1$ 및 에는 하나 이상의 공통 정점이 있습니다. 이 경우, 또한 에있는 첫 번째 BFS에서 감지 한 의 첫 번째 노드가되도록 를 정의 하십시오 .$p_2$$t$$p_2$$p_1$

PDF의 나머지 증거는 다음과 같아야합니다.

이 정의에서 OP로 표시된 수치는 사례 2에 해당합니다.