확률이 더 빠른 무작위 알고리즘의 P 문제

$\mathsf{P}$$k$$\mathsf{DTIME}(n^k) \subsetneq \mathsf{PTIME}(n^k)$$\mathsf{PTIME}(f(n))$$f(n)$

무작위성이 \ mathsf {P} 내부에서 우리를 사나요$\mathsf{P}$ ?

분명히하기 위해, 나는 단지 상수가 아니라 차이점이 점근 적 인 것이 좋습니다 (바람직하게 다항식이지만 다항식에 정착 할 것입니다).

최악의 경우 무의식적으로 알고리즘을 찾고 있습니다. 더 나은 기대 복잡도를 가진 알고리즘은 내가 찾고있는 것이 아닙니다. ZPP가 아닌 RP 또는 BPP에서와 같이 무작위 알고리즘을 의미합니다.

다항식 아이덴티티 테스트 는 무작위 다항식 시간 알고리즘 ( Schwartz-Zippel lemma 참조 )을 허용하며 현재 결정 론적 다항식 시간 또는 하위 지수 시간 알고리즘이 없습니다.

게임 트리 평가 각각 0/1 값을 저장하는리프 노드가있는 완전한 이진 트리를 고려하십시오. 내부 노드에는 대체 레벨의 OR / AND 게이트가 있습니다. 모든 결정 론적 알고리즘이최악의 경우리프 노드를 검사해야한다는 적대적인 주장을 사용하여 증명할 수 있습니다. 그러나의 실행 시간을 예상 하는 간단한 무작위 알고리즘이 있습니다. 대화의 슬라이드 14-27을 보십시오.$n$$\Omega{(n)}$$O(n^{0.793})$

하이퍼 큐브에서의 명백한 라우팅버텍스를포함하는차원 의 큐브를 고려하십시오. 각 정점에는 데이터 패킷과 최종적으로 패킷을 전달할 대상이 있습니다. 모든 패킷의 대상이 다릅니다. 그럼에도 불구하고 결정 론적 라우팅 전략은단계를 거치는것으로 입증되었습니다. 그러나 확률이 높은 예상단계에서 완료되는 간단한 무작위 전략이있습니다.$n$$N=2^n$$\Omega{\big(\sqrt{\frac{N}{n}}\big)}$ $O(n)$

랜덤 알고리즘에서 예상 확률 은 확률이 높습니다 (예 : )는 실제로 최악의 경우와 같습니다.$E(F(n))$ $Pr[F(n) > 10 \cdot E(F(n))] < \frac{1}{n^2}$

무작위 알고리즘의 경우 최악의 상황을 조사하는 것은 의미가 없습니다. 최악의 런타임은 종종 무한 할뿐만 아니라 해당 메트릭에서 결정 론적 알고리즘을 능가 할 수 없습니다 .

임의의 알고리즘 고려하십시오 . 의 임의 테이프 를 로 수정하여 결정 론적 알고리즘 를 얻습니다 . 그런 다음 모든 대해 입니다 .$A$$B$$A$$0^\infty$$T_B(n) \leq T_A(n)$$n$

효율적인 무작위 알고리즘에 대해 많은 문제가 있으며, 우리가 효율적으로 증명할 수있는 결정 론적 알고리즘을 모릅니다. 그러나 이것은 근본적인 차이가 아니라 복잡성에 대한 것들을 증명할 수있는 능력의 단점을 반영 할 수 있습니다.

귀하의 의견을 바탕으로 효율적인 무작위 알고리즘이있는 곳에 문제가 있는지 여부를 묻는 것으로 보이며, 비슷한 효율의 결정 론적 알고리즘이 없음을 증명할 수 있습니다 . 나는 그런 문제를 모른다.

실제로 그러한 문제가 존재하지 않을 수 있다고 의심 할만한 근거가 있습니다. 경험적으로 이러한 문제가 존재한다는 것은 안전한 암호화가 불가능하다는 것을 의미합니다. 다소 믿기 어려운 결과처럼 보입니다.

연결이 무엇입니까? 문제를 효율적으로 해결 하는 무작위 알고리즘 를 고려하십시오 . 랜덤 코인에 의존합니다 : 진정한 랜덤 소스에서 얻은 랜덤 비트. 이제 암호화 품질의 의사 난수 생성기를 가져 와서 실제 난수 소스를 의사 난수 생성기의 출력으로 바꿉니다. 결과 알고리즘 호출하십시오 . 참고 결정 론적 알고리즘과 그 실행 시간은 약과 동일 .$A$$A'$$A'$$A$

또한, 암호화 PRNG가 안전하다면, 경험적으로 는 다음과 같은 경우 가 좋은 알고리즘이 될 것으로 기대해야합니다 .$A'$$A$

• 예를 들어, 가 Las Vegas 알고리즘 인 경우 (항상 정답을 출력하고 높은 확률로 빠르게 종료되는 경우) 는 상당히 좋은 결정 론적 알고리즘입니다 (항상 정답을 출력하고 대부분의 입력에 대해 빠르게 종료 됨) .$A$$A'$

• 다른 예로, 가 Monte Carlo 알고리즘 (결정적 실행 시간이고 확률이 이상인 정답을 출력하는 경우 ) 인 경우 는 상당히 좋은 결정적 알고리즘 (결정적 실행 시간이며 올바른 출력)이됩니다. 모든 입력의 에 대한 답 ).$A'$$1-\varepsilon$$A$$1-\varepsilon$

따라서 암호화 PRNG가 안전하고 효율적인 무작위 알고리즘이 있으면 결정 론적 알고리즘을 얻을 수 있습니다. 이제 특정 암호화 가정이 유지되는 경우 보안이 보장되는 많은 암호화 PRNG 구성이 있습니다. 실제로, 이러한 암호화 가정은 널리 알려져 있습니다. 최소한 안전한 상거래와 거래는 그것이 진실한 것에 의존하기 때문에 안전한 암호화가 존재하는 많은 돈을 베팅 할 것입니다. 이 변환이 실패 할 수있는 유일한 방법은 암호화 PRNG가 없으면 안전한 암호화가 불가능하다는 것입니다. 우리는 이것이 사실이 아니라는 증거는 없지만, 가능성이 거의없는 것 같습니다.

구성 세부 사항 : 작동 방식은 다음과 같습니다 . 입력 , 그것은 암호화 PRNG에 대한 시드를 의 함수로서 (예를 들어, 해싱 의해 ) 유도 한 다음 , 암호화 PRNG의 출력을 대한 코인으로 사용하여 를 시뮬레이션 합니다. 예를 들어, 특정 인스턴스화는 을 설정 한 다음 카운터 모드에서 AES256의 시드 또는 일부 다른 암호화 PRNG로 를 사용 합니다. 랜덤 오라클 모델에서 위의 진술을 증명할 수 있습니다.$A'$$x$$x$$x$$A(x)$$A$$k=\text{SHA256}(x)$$k$

가 일부 입력에 대해 잘못된 결과를 출력 할 수 있다는 생각에 불만이 있다면 ,이를 해결할 수 있습니다. 여러 번 반복 하고 과반수 표를 받으면 반복 횟수가 오류 확률이 기하 급수적으로 줄어 듭니다. 따라서 일정한 횟수의 반복을 수행하면 오류 확률 이 미만이 될 수 있습니다. 즉 , 알고리즘이 잘못된 답변을 출력 하는 입력 가로 질러 실행될 확률 은 거의 작습니다. (연속으로 여러 번 번개를 맞았을 가능성이 적음). 또한, 내가 위에서 준 구성으로, 적이 입력을 찾을 수있는 기회$A'$$A'$$\varepsilon$$1/2^{256}$$x$$x$ 여기서 즉 SHA256 해시의 보안을 깨는 필요로 오답을 제공은 매우 작게 할 수있다. (기술적으로, 이것은 랜덤 오라클 모델이 정당화 할 것을 요구하므로, SHA256과 관련된 계산에서 하드 코딩이 아니라 SHA256의 "독립적"으로 를 선택해야하지만, 거의 모든 실제 알고리즘은이 요구 사항을 충족시킬 것입니다. .)$A'$$A$

더 강력한 이론적 기초를 원한다면 시간을 반복 하고 오류 확률이 미만이 될 수 있습니다 . 여기서 은 입력 의 길이입니다 . 이제 가 잘못된 답을 제공하는 비트 입력 의 비율 은 엄격하게 보다 작습니다 . 그러나 가능한 비트 입력이 있으며 각 에 대해 는 정확하거나 부정확하므로 가 올바르지 않은 입력이 없습니다 는 모든 입력에 대해 정확하며 조건없이 유지됩니다 . 만약$A$ $\Theta(n)$$1/2^n$$n$$x$$n$$A'$$1/2^n$$2^n$$n$$A$$A'$$A'$$A$시간 에서 실행되고 는 시간 에서 실행되므로 는 보다 약간 느리지 만 너무 느리지는 않습니다. 이것은 BPP가 P / poly에 포함되어 있다는 Adleman의 증거 내용입니다. 실제적인 목적으로 이것은 과잉 일 수 있지만 암호화 가정을 피하는 깨끗한 증거를 좋아하거나 이론가의 관점에서 접근하면이 버전이 더 좋을 것입니다.$t(n)$$A'$$\Theta(n \cdot t(n))$$A'$$A$

후자의 이론적 고려 사항과 효율적인 무작위 알고리즘을 알고 있지만 효율적인 것으로 판단 할 수있는 결정적 알고리즘을 모르는 추가 문제에 대한 자세한 내용은 /cstheory//q/31195를 참조 하십시오. / 5038

요약 : 효율적인 무작위 알고리즘을 알고있는 모든 문제에 대해 실제로는 효율적일 것으로 보이는 결정 론적 알고리즘도 알고 있지만 현재는 이를 효율적 으로 증명 하는 방법을 모릅니다 . 가능한 한 가지 해석은 우리가 알고리즘에 대한 것을 입증하는 데 능숙하지 않다는 것입니다.