자연수 집합의 최대 쌍별 GCD를 효율적으로 찾기

다음 문제를 고려하십시오.

허락하다 $S = \{ s_1, s_2, ... s_n \}$ 자연수의 유한 부분 집합이어야합니다.

허락하다 $G = \{$ $gcd(s_i, s_j)$ | $s_i, s_j \in S,$ $s_i \neq s_j \}$ 어디 $gcd(x,y)$ 가장 큰 제수입니다 $x$ 과 $y$

최대 요소 찾기 $G$.

이 문제는 Euclid의 알고리즘을 사용하여 각 쌍의 최대 공약수를 취하고 가장 큰 알고리즘을 추적하여 해결할 수 있습니다.

이것을 해결하는 더 효율적인 방법이 있습니까?

다음은 효율적인 알고리즘입니다 ( Python ). 아래 설명을 찾으십시오.

def max_gcd_pair(S):
    # Assumption 1: S is the list of numbers
    # Assumption 2: There are no duplicates in S

    s = set(S)
    m = max(S)

    res = 0
    i = m

    while(i > 0):
        a = i
        cnt = 0
        while (a<=m): # a maxed at max of the list
            if a in s:   
               cnt += 1
            a += i

        if cnt >= 2:  # we have found the result
            res = i
            break

        i = i -1 

    return res

위의 코드 스 니펫에 대한 설명 :

이 문제에서 다음을 관찰합니다.

1. 결과는 더 이상 될 수 없습니다 max(S)
2. 결과는이 목록에 2 개 이상의 배수가있는 숫자입니다. S
3. 실제로 결과는 max위에서 언급 한 속성을 가진 모든 숫자입니다.

이러한 관찰을 통해 프로그램은 다음을 수행합니다.

1. set목록을 만드십시오 . 세트를 효율적으로 검색 할 수 있으므로O(log(n))
2. 목록의 최대 값을 찾아 변수에 저장하십시오 m.
3. m까지 시작 1하여 세트에 둘 이상의 배수가있는 첫 번째 숫자를 찾으십시오. 처음 발견 된 숫자는 결과입니다.

이것이 분명하기를 바랍니다. 더 자세한 설명이 필요하면 알려주십시오.