다시 방문한 Landau 용어 합

나는 이전 에 Landau 항의 합계에 대해 (씨앗) 질문을 했으며, 산술에서 무증상 표기법을 학대하는 위험을 혼합 성공으로 측정하려고했습니다.

자, 여기 재귀 전문가 인 JeffE 는 본질적으로 다음과 같이합니다.

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

최종 결과는 정확하지만 이것이 잘못되었다고 생각합니다. 왜? 묵시적 상수의 존재를 모두 추가하면 (상한 만)

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n$ .

이제 우리는 어떻게 계산합니까 $c$ 에서 $c_1, \dots, c_n$ ? 대답은 우리가 할 수 없다는 것입니다 : $c$ 는 모든 에 바인딩되어야 $n$ 하지만 이 자라 면서 더 많은 $c_i$ 를 얻습니다 . 우리는 그들에 대해 아무것도 모른다. 잘에 따라 달라질 수 있습니다 유한 : 우리는 바인딩 가정 할 수 있도록, 존재하지 않을 수 있습니다. $n$ $c_i$ $i$ $c$

또한 왼쪽에서 무한대로 변하는 미묘한 문제가 있습니다 $i$ 또는 $n$ ? 양자 모두? 경우 $n$ (호환성을 위해)의 의미는 무엇 $\Theta(1/i)$ 이 알고, $1 \leq i \leq n$ ? 만을 의미합니까 $\Theta(1)$ ? 그렇다면 합을 보다 더 잘 묶을 수 없습니다 $\Theta(n)$ .

그렇다면 어디로 우리를 떠나나요? 끔찍한 실수입니까? 미묘한 사람? 아니면 표기법의 단지 보통의 남용이며, 우리가 보지해야 문맥이 같은 징후? 우리는 Landau 항의 합계를 (확실히) 합산하기 위해 (엄격한) 올바른 규칙을 공식화 할 수 있습니까? $=$

나는 주된 질문은 : 무엇인가? 우리는 상수 (가로 고려하는 경우 입니다 우리가 쉽게 반례를 구축 할 수있는 금액의 범위 내에서). 그것이 일정하지 않다면 그것을 읽는 방법을 모른다. $i$

terminology asymptotics landau-notation

— 라파엘
소스

math.SE에 대한이 질문 은 일반적으로 Landau 용어를 사용한 산술에 대해 잘 읽습니다.

— 라파엘

\in

$\in$

Θ

$\Theta$

c = min (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$c = \min(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

C = max (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$C = \max(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

기다려요, 버키 나는 Theta와의 요약을 쓰지 않았습니다. 나는 세타와 함께 재발을 썼다. 재발 " "이외의 다른 것으로 " 와 같이 "?

t (n) = Θ (1 / n) + t (n - 1)

$t(n) = \Theta(1/n) + t(n-1)$

f \in Θ_{x \to \infty} (x \mapsto 1 / x)

$f \in \Theta_{x\to \infty}(x\mapsto 1/x)$

t (n) = f (n) + t (n - 1)

$t(n) = f(n) + t(n-1)$

— JeffE

@Raphael 아니요, 반복은 정확하게 설명하는 이유 때문에 수학적으로 합계와 동일 하지 않습니다 ! 재발에는 정확히 하나의 Theta 항이 있으며, 이는 단일 기능을 분명하게 나타냅니다.

— JeffE

그것은 매우 직관적이지 않습니다 – 나는 매우 동의하지 않지만, 그것은 맛과 경험의 문제라고 생각합니다.

— JeffE

답변:

다음 컨벤션에서 나에게 잘 보입니다.

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \Theta(1/k)$ 는 다음과 같이 편리한 표기법입니다.

가 (AS 해당) 등 $f(x) \in \Theta(1/x)$ $x \to \infty$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)$ 입니다.

따라서 (또는이 답변 표기법이 )는 실제로 의존하지 않습니다 . $c_i$ $c_k$ $k$

이 해석에서 실제로 입니다. $S_n = \Theta(H_n)$

실제로 Jeff의 대답에서 그는 여기서 이므로 위의 해석과 일치합니다. $T(k+1) = f(k) + T(k)$ $f \in \Theta(1/k)$

혼란은 을 정신적으로 "풀림"하고 각 발생에 대해 다른 기능을 가정 하여 발생하는 것 같습니다 ... $\sum$ $\Theta$

— 아리 아바타
소스

up, 그러나 모든 는 자체 기능과 상수를 가질 수 있습니다. 따라서이 규칙은 문맥에서만 작동합니다. 즉, Landau 용어가 소환사의 다소 "균일 한" 정의 ( 및 )에서 나온다는 것을 알고 있다면 말입니다 .

Θ

$\Theta$

k

$k$

n

$n$

— 라파엘

@Raphael : 롤을 풀고 다른 를 허용하는 것은 의미가없는 것 같습니다 . 상수는 변수에 따라 달라집니다! 그리고 잘못된 사용된다 가정 변수는 (또는 않음 위에서). 변수가 이라고 가정하더라도 여전히 의미가 없습니다.

f_{i}

$f_i$

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

i

$i$

k

$k$

n

$n$

— Aryabhata

원칙적으로 모든 는 자체 상수를 가질 수 있지만 설명하는 특정 컨텍스트에서 모든 는 자체 상수를 가지고 있지 않습니다 .

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

— JeffE

@JeffE : 그렇습니다. 상수가 실제로 일정한 한, 우리는 자신의 상수를 가진 여러 개의 를 가질 수 있습니다 :-)

Θ

$\Theta$

— Aryabhata

@JeffE 그렇다면 왜 당신이 의미하는 것을 쓰지 않고 모호하고 잘못된 것을 선호합니까? 내 업데이트 된 답변은 이제 그렇게 할 수있는 방법을 제안합니다. 그것에 대한 의견을 부탁드립니다. 이유가없는 다운 보트는 사람들이 내 요지를 거부하는 이유를 이해하는 데 도움이되지 않습니다.

— 라파엘

문제를 해결했다고 생각합니다. 본질적으로 : Landau 항을 사용하면 summand 함수의 변수가 합계의 실행 변수에서 분리됩니다. 우리는 여전히 동일한 것으로 읽고 싶기 때문에 혼란 스럽습니다.

공식적으로 개발하기 위해 무엇을

$\qquad \displaystyle S_n \in \sum_{i=1}^n \Theta(f(i)) \qquad \qquad\qquad (1)$

정말? 지금은 이러한 가정 하자 -하지 - 무한대; 만약 우리가 하게한다면 , 그러한 모든 합은 (소환자가 과 독립 적이고 따라서 상수 인 경우)로 평가되는데, 이것은 분명히 잘못입니다. 여기에 우리가 조잡하게 할 첫 번째 공짜가 있습니다 : 합계 안에 묶여 있고 일정하지만, 우리는 여전히 그것을 무한대로 놔 두었습니까? $\Theta$ $i$ $n$ $n \to \infty$ $\Theta(n)$ $n$ $i$

번역 (상한에 대해서는 하한이 비슷하게 작동합니다) $(1)$

$\qquad \displaystyle \exists f_1, \dots, f_n \in \Theta(f).\ S_n \leq \sum_{i=1}^n f_i(i)$

지금은이 sum- 것이 분명하다 하고 파라미터 유효 우리가 쉽게 정의 할 수 있습니다 : 분리되는 그들이 사용하는 그래서 상수로. 질문의 예에서 를 정의 할 수 있습니다. $i$ $i$ $f_i$ $i$ $f_i(j) = i \cdot \frac{1}{j} \in \Theta(1/j)$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(i) "=" \sum_{i=0}^n \Theta(1/j) = \sum_{i=0}^n \Theta(1/i)$

그러나 원래 합계는 무언가로 명확하게 평가되지 않습니다 . 이제 교환 에 대한 에서 - 단지 이름 변경입니다 - 하기 때문에 이상한 느낄 수 의 독립적이지 RESP. 합계, 그러나 우리가 지금 그것에 반대한다면 , 우리는 처음 에 내부에서 사용해서는 안됩니다 (같은 이상한 점이 있음). $\Theta(H_n) = \Theta(\log n)$ $j$ $i$ $\Theta$ $i$ $n$ $i$ $\Theta$

우리는 가 의존 할 수도 있다는 것을 악용하지도 않았다 . $f_i$ $n$

결론적으로, 제안 된 정체성은 가짜입니다. 물론 우리는 엄격한 계산의 약어와 같은 합계를 읽는 방법에 관한 협약에 동의 할 수 있습니다. 그러나 그러한 관습은 Landau 용어의 정의 (일반적인 학대와 함께)와 호환되지 않으며, 최소한 상황과 오해의 소지가없는 (초보자에게는) 정확하게 이해하는 것은 불가능하지만 궁극적으로 맛과 무의미한 문제입니다. ?).

우리가 의미 하는 바를 정확하게 작성 하고 Landau 용어의 편의를 여전히 이용할 수 있다는 것이 나에게 일어났다 . 우리 는 모든 summand가 하나의 공통 함수에서 나온다는 점을 알고 있습니다. 이는 점근 적 경계가 동일한 상수를 사용한다는 것을 의미합니다. 를 합계에 넣으면 손실됩니다 . 거기에 넣고 쓰지 말자 $\Theta$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{2i - 1}{i(i+1)} \in \Theta\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

대신에. 합계 이외의 넣으면 $\Theta$

수학적으로 올바른 진술과
우리가 쉽게 다룰 수 있는 내부 의 간단한 용어 (여기서 원하는 것입니까?). $\Theta$

올바른 둘 다 나에게 보인다 그래서 하고 문제의 아래를 작성하는 유용한 방법, 따라서 랜도 기호를 사용하여 선호한다 안에 우리가 그들을 의미 할 때 합 외부 그것의.

— 라파엘
소스

고려하십시오 . ( 를 상수로 사용 정의 할 수 있습니다 . 따라서 당신의 추론에 따라 맞습니까? 그러나이 합계는 입니다.

\sum_{i}^{n} i

$\sum_i^n i$

f_{i} (n) = i

$f_i(n)=i$

i

$i$

\sum_{i}^{n} i = \sum_{i}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_i^n i = \sum_i^n O(1) = O(n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Xodarap

@ Xodarap : 내 추론에 따르면 내부 Thetas ( 및 연결되지 않은 )를 결합 하면 의미 가 변경 되기 때문에 이와 같은 합계를 접을 수 없습니다 .

Θ

$\Theta$

i

$i$

n

$n$

n

$n$

— 라파엘

나는 그것들을 연결하지 않고 단지 라는 사실을 사용하고 있습니다. (그리고 나는 또한 라는 사실을 가정합니다 .)

n

$n$

\sum_{i}^{n} k = n k

$\sum_i^n k = nk$

n O (f) = O (n f)

$nO(f)=O(nf)$

— Xodarap

@ Xodarap : 그러나 당신 은 하나의 가 없지만 summand 당 하나의 있습니다. 기본 기능 경우 사용 , 당신은 (일정한 요인으로는) 그를 확장하고 올바른 되 고 합 종료합니다. 그래서, 분명히, 당신이 제안한 합산 규칙은 당신이 쓴대로 작동하지 않습니다.

f

$f$

f_{i}

$f_i$

f_{i}

$f_i$

i

$i$

— 라파엘

시퀀스 가 있으면 각각 (시리즈가 진행됨에 따라 증가하지 않는 경우). 을 추가 하면 합계 이 생성 된다고 말할 수 있습니까? 상수 대신 상수 함수 로 설명하면 차이점은 무엇입니까 ?

5, 1, 3, 2, \dots

$5,1,3,2,\dots$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

f_{1} (x) = 5, f_{2} (x) = 1, \dots

$f_1(x)=5,f_2(x)=1,\dots$

— Xodarap

-1

각각의 경우 상수, 다음 몇 가지가 등이 . 따라서 작은 아이디어 영형. $c_i$ $c_{max}$ $\forall c_i: c_i\leq c_{max}$

\sum c_{i} f (i) \leq \sum c_{m a x} f (i) = c_{m a x} \sum f (i) = O (\sum f (i))

$\sum c_i f(i) \leq \sum c_{max} f(i) = c_{max} \sum f(i) = O\left(\sum f(i)\right)$

여기서 문제는 입니다. 그것의 (있기 때문에 더 되도록 )의 전체 합이 될 수 있도록 . 없다 그리고 각 항은 이므로 전체 합은 입니다. 따라서이 방법으로는 단단한 경계를 찾을 수 없습니다. $1/i\not=\Theta(1)$ $o(1/n)$ $\epsilon$ $\forall i: 1/i>\epsilon$ $no(1/n)=o(1)$ $O(1)$ $O(n)$

귀하의 질문은 다음과 같습니다.

바운딩된다 각 장기의 작은 출력 각 용어는 다음에 의해 승산 큰 O 수행하여 으로 허용을? (답 : 예) $\sum_i^n f(i)$ $n$
더 좋은 방법이 있습니까? (답 : 내가 아는 바는 없습니다.)

다른 사람이 # 2를 더 명확하게 대답 할 수 있기를 바랍니다.

편집 : 귀하의 질문을 다시 보면서, 나는 당신이 묻는 것 같아요

$\sum_i^n \Theta(f(n)) = \Theta(nf(n))$ ?

대답은 '그렇다'입니다. 그러나이 경우 각 용어는 가 아니므로 접근 방식이 무너집니다. $\Theta$

편집 2 : " 고려 " 가 없습니다 . 틀림없이 사실입니다. 가 일정하지 않은 함수 라고 말하면 , 그것은 정의에 따라 일정하지 않습니다. $c_i=i$ $c_{max}$ $c_i$ $i$

당신이이 방법을 정의하는 경우 해당 주 아니다 , 그것의 . 당신이 "의 기능을 의미하는"일정 "을 정의하면 사실, "다음의 두 가지 기능 에 "일정"차이! $c_i i$ $\Theta(i)$ $\Theta(i^2)$ $i$ $i$

아마도 이것은 생각하기 쉬운 방법 일 것입니다. 시퀀스 있습니다. 이 순서에서 가장 작은 용어는 무엇입니까? 음, 그것은 달려 있습니다 . 따라서 용어를 상수로 간주 할 수 없습니다. $1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n}$ $n$

(컴퓨터 과학자들은 종종 big-O에 대해 더 잘 알고 있기 때문에 이 지속적으로 가장 큰 용어를 갖는지 묻는 것이 더 직관적 일 수 있습니다 .) $1,\dots,n$

증거를 제공하려면 범위에서 의 가장 작은 값으로 설정 하십시오 . 그런 다음 $f(i_{min})$ $f(i)$ $1,\dots,n$

\sum_{i}^{n} f (i) \geq \sum_{i}^{n} f (i_{m i n}) = n f (i_{m i n}) = n o (f (n))

$\sum_i^n f(i) \geq \sum_i^n f(i_{min}) = n f(i_{min}) = n o(f(n))$

상한에 대해 유사한 증거를 만들 수 있습니다.

마지막으로, 이라고 쓰고 증거로 합니다. 이것은 실제로 반 증명입니다. 이 보다 "더 큰"경우 , 보다 "작을 수"없습니다 . 이는 합니다. 따라서 일 수 없습니다 . $H_n = o(n)$ $H_n = \Theta(\log n)$ $H_n$ $n$ $\log n$ $\Theta(\log n)$ $o(n)$

— 소다 랩
소스

1) ".. 그런데 어떤 가 있습니다 ..."-아뇨, 없습니다. 고려 와 . 2) " 이라고 생각하지 않습니다 " 3) . 그것은 -그것은 틀 렸습니다. 마찬가지로 , . 4) "(답 : 예)"-그 사실에 대한 공식적인 증거가 보이지 않는 한, 나는 그것을 믿지 않습니다. 게다가, " 곱하는 것 "은 전시 된 사례에서 일어난 것이 아니다.

c_{m a x}

$c_{max}$

(c_{i})_{i \in N}

$(c_i)_{i \in \mathbb{N}}$

c_{i} = i

$c_i = i$

H_{n} = o (n)

$H_n=o(n)$

H_{n} \in Θ (\ln n)

$H_n \in \Theta(\ln n)$

1 / i \neq Θ (1)

$1/i\not=\Theta(1)$

o (1 / n)

$o(1/n)$

1 / i \geq 1 / n

$1/i \geq 1/n$

1 / i \in Ω (1 / n)

$1/i \in \Omega(1/n)$

n

$n$

— 라파엘

나는 당신이 요점을 놓치고 있다고 생각합니다. 모든 소환장에서 가 같지 않고 동일한 소환장에서 동일하지는 않지만 다르기 때문에 증명이 작동하지 않습니다 . 나는 그것을 쓰러 뜨렸다 고 생각한다. 곧 답변을 드리겠습니다.

f

$f$

n

$n$

— 라파엘

나는 아직도 당신이 무슨 말을하는지 이해하지 못합니다. 그래서 당신이 그것을 이해하게 된 것을 기쁘게 생각합니다 :-)

— Xodarap