Landau 용어를 합하면 무엇이 잘못됩니까?

나는 썼다

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

그러나 내 친구는 이것이 잘못되었다고 말합니다. TCS 치트 시트에서 나는이 합이 이라고도 $H_n$ 알려져 있는데, 이는 에서 로그 성장을 $n$ 합니다. 따라서 내 경계는 매우 선명하지 않지만 필요한 분석에 충분합니다.

내가 뭘 잘못 했어?

편집 : 내 친구는 같은 추론으로 그것을 증명할 수 있다고 말합니다.

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

이제 이것은 분명히 잘못입니다! 무슨 일이야?

asymptotics landau-notation

— 라파엘
소스

이 질문의 태그에 대한 토론은 여기를 참조 하십시오 .

— Raphael

태그 알고리즘 에 대한 메타 토론 .

— Kaveh

일반적인 예에 대한보다 구체적인 처리를 참조하십시오. 이 중첩 루프의 점근 적 런타임은 무엇입니까?

— Gilles 'SO- 악의를 멈춰라'

답변:

당신이하고있는 일은 매우 편리한 표기법 남용입니다.

가 집합을 나타내며 수행중인 방식으로 산술 연산을 수행 할 수 없기 때문에 일부 교육생은 작성하는 내용이 넌센스라고 말합니다 . $\mathcal{O}(f)$

그러나 이러한 pedants를 무시하고 가 세트의 일부 멤버를 나타내는 것으로 가정하는 것이 좋습니다 . 그래서 우리가 말할 때 , 우리 정말 평균 경우 그 . (참고 : 일부 pedants는이 진술에서도 가 숫자이고 $\mathcal{O}(f)$ $f(n) = g(n) + \mathcal{O}(n)$ $f(n) - g(n) \in \mathcal{O}(n)$ $f(n)$ $f$ 기능입니다!)

이것은 다음과 같은 표현식을 작성하는 것이 매우 편리합니다.

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + O (n^{1 / 3})

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + \mathcal{O}(n^{1/3})$

이것이 의미하는 바는 어떤 있다는 것입니다. $f \in \mathcal{O}(n^{1/3})$

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + f (n)

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + f(n)$

당신의 경우

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)$

당신은 그것을 더 학대하고 조심해야합니다.

여기에는 두 가지 가능한 해석이 있습니다. 은 의 함수 또는 의 함수를 나타 니까? $\mathcal{O}(1)$ $n$ $k$

나는 올바른 해석이 그것을 의 함수로 해석하는 것이라고 믿는다 . $k$

당신의 함수로 생각을하려고하면 , 그것은 생각처럼, 잠재적 착오로 이어질 수있는 잘못된하지 생각 것입니다 와 쓰기를 시도 $n$ $k$ $\mathcal{O}(1)$ $\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1)$

의 함수로 생각 하면 (인수가 )이고 가 이 아닌 경우 , $k$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$ $g$ $0$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (k)) = O (\sum_{k = 1}^{n} | g (k) |)

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(k)) = \mathcal{O}(\sum_{k=1}^{n} |g(k)|)$

중간에, 우리는 표기의 편리 남용 사용한 유의 을 의미하는 몇몇 함수 합인 . 내부의 최종 함수는 의 함수를 나타냅니다 . 그 증거는 그렇게 어렵지는 않지만, 점근 적 상한 (즉, 충분히 큰 인수의 경우)을 다루고 있다는 사실을 수용해야하지만 합계는 에서 시작합니다 . $\mathcal{O}(g(k))$ $h \in \mathcal{O}(g)$ $\sum_{k=1}^{n} h(k)$ $\mathcal{O}$ $n$ $1$

그것을 의 함수로 생각 하면 (인수가 )이면 $n$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (n)) = O (n g (n))

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(n)) = \mathcal{O}(n g(n))$

따라서 당신의 증거는 본질적으로 어느 해석이든 정확합니다.

— 아리 아바타
소스

결론 : 모든 Landau 심볼 은 고유 한 상수를 가지고 있음을 알고 있어야 합니다.

— Raphael

당신이 쓴 것은 완벽합니다. 고조파 번째 숫자는 설정에 참 . $n$ $O(n)$

증명 : . $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \le \ln n + 1 \le 2n = O(n)$ $\square$

상한 은 단단 하지 않지만 정확합니다. $O(n)$

— JeffE
소스

좋아 : 1 / i ≤ 1 = O (1).

— JeffE

우려는 두 번째 등호에 관한 것이다. 이를 어떻게 확인합니까?

— Raphael

그러나 그것은 또한 맞습니다. 각각 O (1) 인 n 개의 항의 합은 실제로 O (n)입니다.

— Suresh

상수 인 경우에만 @Suresh

의해 내포 된 가 합산 변수와 무관하고 그 점이 여기 (종자 질문) 인 .

O

$\cal{O}$

— Raphael

버그는 두 번째 평등이 아닙니다. 두 번째 표현에서 버그는 그 요약을 얻는 방법에 있습니다.

에서 나오는 것이 정확합니다.

가 잘못 되었다고 주장합니다 . 나는 이것이 모든 관련자들에게 명백하다는 것을 알고 있지만 이것이 '파종'질문의 문제라고 생각합니다 :)

\sum_{i} O (1) = O (n)

$\sum_i O(1) = O(n)$

i = O (1)

$i = O(1)$

— Suresh

두 번째 예에서는 라고 주장 할 수 없습니다

i = O (1)

$i = O(1)$

따라 달라 지기 때문에 . 몇 단계를 거치면 됩니다. 더 적절한 방법은 실제로 이라고 말하면 , 합산 전체에서 는 절대 초과하지 않기 때문 입니다. 이러한 추론에 의해, $i$ $n$ $i>n/2$ $i = O(n)$ $i$ $1\cdot n$

\sum_{i = 1}^{n} i = \sum_{i = 1}^{n} O (n) = n O (n) = O (n^{2})

$\sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n O(n)= nO(n) = O(n^2)$

그러나 옳은 일은 실제로 마지막에만 big-O 표기법을 사용하는 것입니다. 당신이 할 수있는 한 당신의 요약은 꽉 꽉 찼으며, 이러한 함정을 피하기 위해 점근 표기법을 사용할 때만 가능합니다.

— 란 G.
소스