경로 유도는 건설적인가?

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나는 HoTT 책을 읽고 있는데 경로 유도에 어려움을 겪고 있습니다.

I는 항목의 유형을 보면 1.12.1 : 그 의미가 무엇인지 이해하는 데 아무런 문제가 없습니다 (단지 메모리에서 유형을 작성하여 확인했습니다).

{ind}_{=_{A}} : \prod_{C : \prod_{x, y : A} (x =_{A} y) \to U} ((\prod_{x : A} C (x, x, {refl}_{x})) \to \prod_{x, y : A} \prod_{p : x =_{A} y} C (x, y, p)),

$\text{ind}_{=_A}:\prod_{C:\prod\limits_{x,y:A}(x=_Ay)\to \mathcal{U}} \left( \left(\prod_{x:A}C(x,x,\text{refl}_x)\right) \to \prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p) \right),$

내가 문제로하는 것은 다음 문장입니다 : 내 첫 인상이 마지막 발현하지 않는 것이었다 정의 얻어진 함수 그러나 단지 상태의 속성 .

with the equality {ind}_{=_{A}} (C, c, x, x, {refl}_{x}) :\equiv c (x)

$\text{with the equality}\quad \text{ind}_{=_A}(C,c,x,x,\text{refl}_x):\equiv c(x)$

f : \prod_{x, y : A} \prod_{p : x =_{A} y} C (x, y, p),

$f:\prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p),$

즉 유도 원리 이전 실시 예와 대조적이다 , 또는 - 거기 하는 식 정의 하는 요소를 - 우리가 실제로 구내 주어진 결과 기능을 구성하는 방법을 알고있다. 이것은 장 전체에 걸쳐 광고 된 유형 이론의 "건축 성"과 일치합니다. $\text{ind}_{A\times B}$ $\text{ind}_{A+B}$ $\text{ind}_\mathbb{N}$

돌아가서 정의되지 않은 사실에 대해 의심했습니다. 요소 가 존재 한다고 말하는 것은 나머지 장과 일치하지 않는 것 같습니다. 그리고 실제로, 섹션 1.12.1은 내 인상이 잘못되었다는 스트레스 보인다 사실 우리는 한 정의 $\text{ind}_{=_A}$ $f$

... 함수 에 의해 정의 로부터 경로 유도 , 또한 충족시키는 $f:\prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p),$
$c:\prod_{x:A}C(x,x,\text{refl}_x)$
... $f(x,x,\text{refl}_x):\equiv c(x)$

그로 인해 나는 완전히 혼란스러워졌지만,이 점이 모든 발전에 매우 중요하다고 생각합니다. 따라서 대한 두 판독 값 중 어느 것을 사용해야합니까? 아니면 중요한 미묘함이 누락되어 있고 그 대답이 "아무것도 아닌가"? $\text{ind}_{=_A}$

induction dependent-types homotopy-type-theory

— 코스 티아
소스

그건 그렇고, 이것은 실제로 HoTT 관련 질문이 아니라 더 일반적인 "종속적 유형"질문입니다.

— cody

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계산 규칙이 그들이 말하는 대상을 "정의"또는 "구성"한다는 것은 환상입니다. 대한 방정식이이 방정식을 "정의"하지는 않지만 다른 경우에도 동일하다는 사실을 관찰하지 못했습니다. 단위 유형 대한 유도 원리를 고려해 봅시다 . 특히 "결정된"것으로 보입니다. HOTT 책의 섹션 1.5에 따라 우리가 $\mathrm{ind}_{=_A}$ $1$ 수학 식 이것이 "정의"또는 "구체" 이 이 "무엇을"하는가에대한 의심의 여지가 없는가? 예를 들어, 및 를 설정하고

{나는 엔 디}_{1} : \prod_{씨 : 1 \to 티 와이 피 이자형} 씨 (⋆) \to \prod_{엑스 : 1} 피 (엑스)

$\mathrm{ind}_1 : \prod_{C : 1 \to \mathtt{Type}} C(\star) \to \prod_{x : 1} P(x)$

{나는 엔 디}_{1} (씨, 씨, ⋆) = 씨 .

$\mathrm{ind}_1 (C, c, \star) = c.$

{i n d}_{1}

$\mathrm{ind}_1$

{i n d}_{1}

$\mathrm{ind}_1$

C (x) = N

$C(x) = \mathbb{N}$

a = 42

$a = 42$

소정의 발현을위한

형

. 당신의 첫 번째 생각은"

는

의 유일한 요소"이기 때문에이것을

줄일 수 있다는 것입니다. 그러나 매우 정확하게 말하면

대한 방정식은

표시하는 경우에만 적용 할 수있습니다. 예를 들어

가 변수 인경우에는 불가능합니다. 우리는 이것에서 벗어나려고 노력하고 닫힌 용어로만 계산하는 데 관심이 있다고 말할 수 있으므로

를 닫아야합니다.

{나는 엔 디}_{1} (씨, 42, 이자형)

$\mathrm{ind}_1(C, 42, e)$

e

$e$

1

$1$

42

$42$

⋆

$\star$

1

$1$

{i n d}_{1}

$\mathrm{ind}_1$

e \equiv ⋆

$e \equiv \star$

e

$e$

e

$e$

유형 의 모든 닫힌 용어 가 판 아닙니까? 그것은 실제로 불쾌한 세부 사항과 복잡한 정규화 증명에 달려 있습니다. HoTT의 경우 는 Univalence Axiom의 인스턴스를 포함 할 수 있기 때문에 "아니오" 입니다. 이에 대해 어떻게해야하는지 명확하지 않습니다 ( HoTT 에서 공개 된 문제임). $e$ $1$ $\star$ $e$

우리는 유형 이론의 버전 고려하여 univalance으로 문제를 회피 할 수 않는 유형의 모든 폐쇄 기간 너무 좋은 특성을 가지고 judgmentally 같음 . 이 경우 우리가 말할 수있는 공정한 않는 로 계산하는 방법을 알고 만은 : $1$ $\star$ $\mathrm{ind}_1$

아이덴티티 유형의 모든 폐쇄 용어 judgmentally되기 때문에, 신분 유형 개최 같은 어떤 동등한 , 따라서 다음의 방정식을위한 것이다 방법 계산할 말해. $\mathrm{refl}(a)$ $\mathrm{ind}_{=_A}$
유형의 닫힌 용어로 계산하는 방법을 알고 있다고해서 한 번 설명하려고했지만 닫힌 용어보다 유형이 많기 때문에 실제로 정의한 것은 아닙니다 .

예를 들어, (신원 유형 제외) 마틴 LOF 유형 이론이 방식으로 도메인 이론적으로 해석 될 수있다 포함 두 요소를 및 , 어디 대응에 및 비 종료합니다. 아아, 형식 이론으로 끝나지 않는 식을 쓸 수있는 방법이 없으므로 이름을 지정할 수 없습니다. 따라서,에 대한 식 않는다 하지 의 계산 방법을 알려 (두 명백한 선택 "이 간절히"인 및 "느리게"). $1$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\star$ $\bot$ $\bot$ $\mathrm{ind}_1$ $\bot$

소프트웨어 엔지니어링 용어로, 사양 과 구현 이 혼동된다고 말할 수 있습니다 . 신원 유형에 대한 HoTT 공리는 사양 입니다. 방정식 는 계산 방법이나 구성 방법을 알려주지 않고 오히려 그러나 $\mathrm{ind}_{=_C}(C,c,x,x,\mathrm{refl}(x)) \equiv c(x)$ $\mathrm{ind}_{=_C}$ 는 "구현 된"방정식을 만족해야합니다. 그러한 가 건설적인 방식으로 획득 될 수있는지 여부는 별도의 질문이다. $\mathrm{ind}_{=_C}$ $\mathrm{ind}_{=_C}$

마지막으로, "constructive"라는 단어를 어떻게 사용하는지 조금 지쳤습니다. "구성 적"이 "정의 된"과 동일하다고 생각하는 것 같습니다. 그 해석에 따라 Halting 오라클은 그 행동이 우리가 부과하는 요구 사항에 의해 정의되기 때문에 (즉, 주어진 기계가 멈추는 지에 따라 1 또는 0을 출력하기 때문에) 건설적입니다. 비 건설 환경에서만 존재하는 물체를 묘사하는 것이 현명하게 가능합니다. 반대로, 실제로 계산할 수없는 속성 및 기타 사항에 대해 건설적으로 말할 수 있습니다. 여기에 하나가 있습니다 : 관계 의해 정의 됨 $H \subseteq \mathbb{N} \times \{0,1\}$ 는 건설적입니다. 즉, 건설적 관점에서이 정의에는 아무런 문제가 없습니다. 건설적으로 가 전체 관계임을 나타낼 수 없으며그 특성 맵 는 인수 하지 않습니다

H (n, d) ⟺ (d = 1 \Rightarrow n -th machine halts) \land (d = 0 \Rightarrow n -th machine diverges)

$H(n,d) \iff (d = 1 \Rightarrow \text{$n$-th machine halts}) \land (d = 0 \Rightarrow \text{$n$-th machine diverges})$

H

$H$

χ_{H} : N \times {0, 1} \to P r o p

$\chi_H : \mathbb{N} \times \{0,1\} \to \mathsf{Prop}$

b o o l

$\mathtt{bool}$ 따라서 값을 "계산"할 수 없습니다.

부록 : 질문의 제목은 "경로 유도인가?"입니다. "구성 적"과 "정의 된"의 차이점을 해결 한 후 질문에 대답 할 수 있습니다. 예, 특정 경우 경로 유도는 건설적인 것으로 알려져 있습니다.

강력한 정규화를 표시 할 수 있도록 Univalence없이 유형 이론으로 제한하면 정규화 절차를 수행하는 알고리즘이 있기 때문에 경로 유도 및 기타 모든 것이 건설적입니다.
유형 이론의 실현 가능성 모델은 유형 이론의 모든 닫힌 용어가 튜링 기계에 해당하는 방법을 설명합니다. 그러나 이러한 모델은 유니 타임을 배제한 Streicher의 Axiom K를 충족합니다.
유형 이론 (유일성이없는)을 건설적인 집합 이론 CZF로 변환 한 것이있다. 다시 한번, 이것은 Streicher의 공리 K를 검증합니다.
Streicher 's K 없이 유형 이론을 해석 할 수있는 실현 가능 모델 내에는 그룹 형 모델이 있습니다 . 이것은 Steve Awodey와 저 자신의 예비 작업입니다.

우리는 실제로 Univalence의 건설적인 상태를 정리해야합니다.

— 안드레이 바우어
소스

나는이 답변이 현재 (부분적으로) 구식이라고 생각합니다

— WorldSEnder

실제로, 평균 입방체 유형 이론은 postive answer를 주었다 : 1가 유형 이론의 건설적인 모델이있다.

— Andrej Bauer

7

나는 HoTT 사람은 아니지만 2 센트를 넣습니다.

함수를 만들고 싶다고 가정 해 보자. 어떻게해야합니까? 우리가 와 그들의 동등성 . 임의의 타입 에 대해서는 아무것도 모르기 때문에 구조에 대해서는 아무것도 모른다.

{에프}_{ㅏ} : \prod_{엑스, 와이 : ㅏ} \prod_{피 : 엑스 =_{ㅏ} 와이} 씨 (엑스, 와이, 피)

$f_A : \prod_{x,y : A}\prod_{p : x =_A y} C(x,y,p)$

x, y : A

$x,y : A$

p : x =_{A} y

$p : x =_A y$

A

$A$

x, y

$x,y$ . 그러나, 나는 특정 평등 유형에 대한 뭔가를 알고 : 그것은 하나의 생성자가

따라서,

일부

하지만,이

강제 합니다. 따라서 우리가

를 가지고 있다면

{아르 자형 이자형 에프 엘}_{ㅏ} : ㅏ =_{ㅏ} ㅏ, 어떠한 것도 ㅏ : ㅏ

$\mathsf{refl}_a : a =_A a, \text{ for any } a : A$

p \equiv {r e f l}_{a}

$p \equiv \mathsf{refl}_a$

a : A

$a : A$

x = a = y

$x=a=y$

C (x, x, {r e f l}_{x})

$C(x,x,\mathsf{refl}_x)$

; 예를 들어

(특정

) 함수가있는 경우 함수

는 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

x : A

$x : A$

비 ㅏ 에스 {이자형}_{씨} : \prod_{엑스 : ㅏ} 씨 (엑스, 엑스, {아르 자형 이자형 에프 엘}_{엑스})

$base_C : \prod_{x:A}C(x,x,\mathsf{refl}_x)$

C

$C$

f_{A}

$f_A$

f_{A} (x, y, p) := b a s e_{C} (x, x, p)

$f_A(x,y,p) := base_C(x,x,p)$ .

아래 첨자를 제거하면 일반적인 귀납적 정의로 이어집니다.

희망이 도움이됩니다!

$e$ $E$ $E$

— 무사 알-해시
소스

1

아마도 당신은 그것을 이해하거나 적어도 왜 이유를 설명하려고 시도하는 math.andrej.com/2013/08/28/the-elements-of-in-inductive-type 을 확인하여 현재 직관에 대해 걱정할 수 있습니다. 유형의 닫힌 용어가 모두 유형에 있다고 생각하는 것은 해 롭습니다.

— Andrej Bauer

2

r e f l

$\mathsf{refl}$

3

$A\times B$ $A\times B$

피 ㅏ 나는 아르 자형 : ㅏ \to 비 \to ㅏ \times 비

$\mathrm{pair}\ :\ A\rightarrow B\rightarrow A\times B$

f

$f$

A \times B

$A\times B$ $\mathrm{pair}$

$\mathrm{pair}$ $f:A\times B\rightarrow C$ $A$ $B$

{에프}^{'} : ㅏ \to 비 \to 씨

$f':A\rightarrow B\rightarrow C$

f

$f$

A \times B

$A\times B$

(ㅏ \to 비 \to 씨) \to (ㅏ \times 비 \to 씨)

$(A\rightarrow B\rightarrow C)\rightarrow(A\times B\rightarrow C)$

{i n d}_{A \times B}

$\mathrm{ind}_{A\times B}$

$f$ $\mathrm{pair}(a,b)$ $f$ $f'$ 즉

에프 (피 ㅏ 나는 아르 자형 (ㅏ, 비)) : = {에프}^{'} ㅏ 비

$f(\mathrm{pair}(a,b))\ :=\ f'\ a\ b$ 즉

{나는 엔 디}_{ㅏ \times 비} {에프}^{'} 피 ㅏ 나는 아르 자형 (ㅏ, 비) : = {에프}^{'} ㅏ 비

$\mathrm{ind}_{A\times B}\ f'\ \mathrm{pair}(a,b)\ :=\ f'\ a\ b$ 이것은 정의 적으로 (또는 계산적으로 ) 유지 해야합니다. 즉, 두 상황이 모든 상황에서 완전히 상호 교환 가능해야합니다.

=

$=$ HoTT에서).

따라서 주어진 생성자가있는 유도 유형의 제거기 정의는 2 단계로 나옵니다.

존재 원리 의 유형을 설명, $\mathrm{ind}$ .
의 계산 행동을 정의 하는 일관성 원리 $\mathrm{ind}$ . 범주 이론에서 이것은 어떤 의미에서 제거기의 고유성 에 해당합니다 .

이것이 동일하다고 주장하겠습니다 $=_A$ 유형. 우리는 주어진 빌드 $x,y:A$ 과 $p:x=y$ 의 요소 $C$ (우리는 단순화를위한 종속성을 잊고 있습니다). 그렇게하려면 다음과 같이 가정 해야 합니다. $p$ 유형의 생성자를 사용하여 작성되었습니다. $x=y$ , 전용 될 수있는 $\mathrm{refl}(z)$ 일부 $z$ . 이것은 기능을 제공한다는 것을 의미합니다

에프 : Π 엑스, 와이 : ㅏ, 엑스 = 와이 \to 씨

$f:\Pi x, y:A, x=y\rightarrow C$ 그것은 기능을 제공하기에 충분하다

{에프}^{'} : Π 지 : ㅏ, 씨

$f':\Pi z:A, C$ 에 대해 정의 된

r e f l (z)

$\mathrm{refl}(z)$ (다시 의존성을 잊어 버린다.

C

$C$ ).

이제 일관성 원리는 무엇을 말합니까? 알려진 생성자에 적용되는 경우 $f$ ~처럼 행동해야한다 $f'$ 즉,

에프 지 지 아르 자형 이자형 에프 엘 (지) : = {에프}^{'} 지

$f\ z\ z\ \mathrm{refl}(z):= f'\ z$

그러나 그것이 바로 당신이 가진 것입니다! 제거의 존재와 일관성을 우리에게 준 동일한 원칙 $A\times B$ 제거기의 존재와 일관성을 제공합니다 $=_A$ .

— 코디
소스