자체 참조없이 문제 해결

정지 문제에서, 주어진 튜링 머신 ( 이 주어진 입력 ( 에서 정지 되는지 여부를 알 수 있는 튜링 머신 (Tinging machine) 가 있는지 관심이있다 . 일반적으로 이러한 가 존재 한다고 가정하면 증명이 시작됩니다 . 그런 다음 를 제한 한 다음 대각 인수의 인스턴스를 사용하여 모순을 도출 하는 경우를 고려합니다 . 만약 우리가 이라는 약속을한다면 그 증거는 어떻게 됩니까? 무엇 PROMISE에 관하여 , 에 기능적으로 동일 ? $T$ $M$ $i$ $T$ $i$ $M$ $i \not = M$ $i \not = M^\prime$ $M^\prime$ $M$

computability undecidability halting-problem

— 벨 피스
소스

힌트 : 이 자신이나 해당하는 질문에 정확하게 대답 할 필요가 없더라도 , 우리는 여전히 동등한 먹이고 그것이 무엇을 하는지를 볼 수 있습니다. 그것은 여부를 계산할 수 없기 때문에 에 해당 , 그 자체에 상응하는 무언가를 가지고 말할 수 없습니다.

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

M

$M$

M

$M$

— Andrej Bauer

@AndrejBauer 이것은 당신이 나에게 준 힌트 일뿐 이며이 힌트를 사용하여 실제 문제를 해결해야합니까? "필요하지 않음"이라고 말함으로써 문제를 완화하기 때문에 약간 혼란스러워합니다. 내 설정에서 에 동등한 가 공급되지 않을 것이라는 약속이 있습니다 . 기본적으로, 나는 어떤 종류의 "자체 참조"가 문제를 결정할 수 없게 만드는 것을보고 싶다. 나는 이것이 논리와 불완전성에 대해 이야기 할 때라고 생각했다.

M

$M$

M^{'}

$M^\prime$

— bellpeace

약속을 어 기고 원하는대로 에게 먹이를 줄 수 있습니다 . 어쨌든 약속을 어겼다 고 말할 수는 없습니다. 그것이 부정 행위라고 생각 하면 과 같지 않지만 과 같지 만 모든 입력이 또는 그와 같은 것으로 이동 했기 때문에 과 동등하지 않은 공급 합니다.

M

$M$

M

$M$

M

$M$

M

$M$

1

$1$

— Andrej Bauer

실제로, 당신의 질문은 잘 정립되어 있지 않습니다. 당신이 생각하고있는 실제 증거를 요약 한 다음 피하고 싶은 것을 정확하게 지정해야합니다. 나는 당신이 을 의미한다고 생각하지 않지만 다른 것입니다.

i \neq M

$i \neq M$

— Andrej Bauer

답변:

HALTS가 입력을 및 쌍으로 읽는 TM이라고 가정합니다 . 여기서 은 TM 인코딩이고 는 해당 TM에 대한 입력입니다. $M$ $x$ $M$ $x$

우리가 중지 모든 입력에 대해 정지 문제를 해결 가정하면 무슨 일이 일어날 경우 귀하의 질문은 있도록 동일한 기능을하는 TM의 인코딩되지 않습니다 . $\langle M,x \rangle$ $x$ $M$

나는 이것이 모순을 의미한다고 주장한다. 나는 그 자리에서 이것을 생각해 냈으므로 내 증거에 대한 모든 비판을 환영합니다. 증거의 개념은 자체적으로 무언가를 대각선 화하는 대신, 일부 입력에서 다르게 동작하는 두 개의 상호 재귀 TM을 만들지 만 (기능적으로 동일하지는 않지만) 모순을 유발한다는 것입니다.

하자 와 (우리는 등, 시뮬레이션 인쇄 할 수있는 말을하는 것입니다, 설명이 상호 재귀 개의 TM 될 의 프로그램 내부 와 그 반대의 경우도 마찬가지). 재귀 정리에서 상호 재귀 TM을 만들 수 있습니다. $D_1$ $D_2$ $D_2$ $D_1$

다음과 같이 및 를 정의하십시오 . 입력 , (임의로 10 개 선택)이면 수락하고 루프를 수락 합니다. (따라서 기능적으로 동일하지 않습니다). $D_1$ $D_2$ $x$ $|x| < 10$ $D_1$ $D_2$

입력 감안할 때 와 정의 에 시뮬레이션을 정지 및 중지 경우 정지하는 경우 또는 루프 루프. $x$ $|x| \ge 10$ $D_1$ $\langle D_2, x \rangle$ $D_2$ $D_2$

입력 감안할 때 와 정의 에 시뮬레이션을 정지 루프 경우 정지하고있는 경우 또는 정지 루프. $x$ $|x| \ge 10$ $D_2$ $\langle D_1, x \rangle$ $D_1$ $D_1$

그런 다음주의 그 어떤을위한 와 , (x)가 멈추거나 반복됩니다. 경우 입력 (X)에 정지하고는, 우리가 아는 정지 ( , X)을 결정하는 입력 (X)에 정지하고. 그러나 입력 x 에서 중지되면 HALTS ( , x) 가 반복됨을 의미합니다 . $x$ $|x| \ge 10$ $D_1$ $D_1$ $D_2$ $D_2$ $D_2$ $D_1$

경우 입력에 루프, 모순 유사하게 다음과 같습니다. $D_1$ $x$

가 또는 와 기능적으로 동등한 튜링 기계의 인코딩이 아닌 경우 이는 모순 입니다.이 경우 HALTS에 정의되지 않은 동작이 있습니다. 그러나 가 보다 큰 모든 문자열에서 임의로 선택되었습니다 . 따라서, 다르게 동작 (10)보다 큰 사이즈의 인코딩 튜링 기계가 존재 표시 남아 및 . 그런 기계를 사소하게 만들 수 있습니다. QED. $x$ $D_1$ $D_2$ $x$ $10$ $D_1$ $D_2$

생각?

— 커트 뮬러
소스

과

가 기능상 동등하지 않은 이유는 무엇 입니까?

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

— bellpeace

이것이 필요하지 않은 것이 맞다고 생각합니다. 내 원래 의도는 정지에 (대각했다

)

⟨ D_{1}, D_{2} ⟩

$\langle D_1, D_2 \rangle$

— 커트 뮬러

그것 없이는 증명이 더 우아하지만 어쨌든 나에게 좋아 보이고 정확히 내가 필요한 것입니다.

— bellpeace

당신은 여전히 숲에서 벗어나지 않습니다. 당신은 지금 당신이 그것을 다른 TM, 줄, 같은 문제로 실행하는 당신이 선택한 입력으로 기능적으로 동등하다고 (당신이 새 규칙을 추가 말할 그래서 의 오프닝 이동 한 단계 오른쪽, 한 단계 왼쪽이며 그렇지 않으면 변경하지 않습니다). 여전히 모순이 발생합니다. 과 동등한 모든 TM을 제거하려고 시도 할 수는 있지만 결정 할 수없는 세트입니다. $M'$ $M'$ $M$ $M$ $M'$ $M$

업데이트 . 인코딩 체계 수정 는 TM 의 해당 체계에 대한 설명을 나타내며TM, 가 있다고 가정합니다. $\langle\,M\,\rangle$ $M$ $H$

는 가 와 동일한 부분 함수를 계산하는 TM의 인코딩 일때 정의되지 않습니다(즉, 와 는 기능적으로 동일합니다). $H(\langle\,M\,\rangle, x)$ $x$ $H$ $x$ $H$
다른 모든 입력의 경우 는 중지 된경우에만 true를 반환합니다. $H(\langle\,M\,\rangle, x)$ $M(x)$

이제 일반적인 대각선 구조는 여전히 모순을 초래합니다. 에 의해 TM 를 정의하십시오 $Q$

Q(x)=
  if H(<Q>, x) = false
    return true
  else
    loop forever

분명히 와 는 기능적으로 동등하지 않으므로 $Q$ $H$ 찾아 그 $x=\langle\,Q\,\rangle$ 는 않는 경우에만 정지하므로 TM 없습니다. $Q(\langle\,Q\,\rangle)$ $H$

— 릭 데커
소스

그리고 내가 그 약속이 있다고 가정

동등한 기능을 갖는 TM 아닌

? OP에서 질문을 확장 할 수 있습니까?

i

$i$

M

$M$

— bellpeace

그러한 약속을 받았다고 가정하십시오. 계산할 수 없다는 것을 알고 있습니다. OP를 업데이트했습니다.

— bellpeace

@bellpeace :

$\:$ 당신은 그것을 어떻게 정의합니까?

$\;\;\;\;$

입력 : 정수 쌍

되도록

TM과 동등한 기능을 갖는 TM 의해 표현 나타내지 않는

. 출력 :

의 경우

에 정지하는

, 그렇지 않으면. 이 문제를 결정할 수 있습니까?

(M, i)

$(M, i)$

i

$i$

M

$M$

1

$1$

M

$M$

i

$i$

0

$0$

— bellpeace

@RickyDemer 네, 두 개의 TM이 동일한 부분 함수를 계산하면 기능적으로 동등한 것으로 간주됩니다. Andrey가 지적한 바와 같이,

과

가 동등한 지 여부를 결정 하는 것은 결정 불가능하지만, 위에서 예시 한 것처럼 두 개의 입력 TMS가 동등하지 않다는 약속이 여전히 남아있는 문제를 고려할 수있다.

M

$M$

M^{'}

$M^\prime$

— bellpeace