계산의 복잡성

계산의 복잡성은 무엇입니까 ?$n^{n^2},\;n \in \mathbb{N}$

고속 푸리에 변환을 사용하면 비트 수 에 대한 곱셈을 시간 ~ O ( k ) 로 수행 할 수 있습니다 (여기서 물결표 는 다항식 인수를 무시하고 있음을 나타냅니다 ). 제곱 반복함으로써 계산할 수 N N 2 와 O ( 로그 N ) 승산하고, 각 승산 이하 수가 더 포함 N N 2 거의 가지고 N 2 로그 2 N 비트. 따라서 필요한 총 시간은 ~ O ( n 2$k$$\tilde{O}(k)$$n^{n^2}$$O(\log n)$$n^{n^2}$$n^2 \log_2 n$ .$\tilde{O}(n^2(\log n)^2)=\tilde{O}(n^2)$

코멘트에 응답하여 편집 계산하는 시간 시간을 계산하기 위해 필요로 분해 될 수 f를 1 ( N ) = N (2) 및 그 수행하는데 필요한 N f를 1 ( N ) . m 비트 수에 n 비트 수 를 곱 하면 School Book 방법에 의해 정확히 m n 시간 이 걸린다고 가정하겠습니다 . 첨가 등은 일정한 시간입니다. 결과적으로 n 2를 계산 하면 log 2 가 걸립니다.$f(n) = n^{n^2}$$f_1(n) = n^2$$n ^ {f_1(n)}$$m$$n$$mn$$n^2$시간$\log_2^2 (n)$

을 계산하기 위해 이진 지수를 사용한다고 가정하자 . 이항 지수화는 f ( n ) 계산에서 두 가지 종류의 연산 을 수행합니다. n 2 의 이진 확장에서 현재 비트 가 0인지 1 인지에 따라 현재 곱을 제곱하고 현재 곱에 n을 곱합니다 . 최악의 경우, n 2 는 2의 거듭 제곱이므로 이항 지수는 답에 도달 할 때까지 현재 곱을 반복하여 제곱합니다 .n 2 는 m ′ = ⌈ 2 log 2 ( $f(n)$$f(n)$$n$$n^2$$n^2$$n^2$ 비트 등 squarings의 개수가되도록 m = m ' - 1 . 우리가 아래에서 더 분석하는 경우입니다.$m'=\lceil 2 \log_2(n) \rceil$$m= m'-1$

첫 번째 제곱은 시간이 걸리므로 o 1 = 2 log 2 ( n ) -비트 곱이됩니다. 두 번째 제곱은 두 개의 o 1 비트 숫자를 취하고 t 2 = o 2 1 번 실행되므로 o 2 = 2 o 1 비트 곱이됩니다. 계속해서, i 번째 단계는 t i = 4 i − 1$t_1=\log_2^2(n)$$o_1=2 \log_2(n)$$o_1$$t_2=o_1^2$$o_2=2o_1$$i$시간이고 aoi=2ilog2(n)비트 곱을 출력합니다. 이 프로세스는m번째 단계에서 중지됩니다. 결과적으로 시간이 걸립니다$t_i = 4^{i-1}\log^2_2 n$$o_i=2^{i} \log_2 (n)$$m$

. $T _{exp} =\sum _{[1..m]} t_i = \log_2 ^2 (n) \sum_{[1..m]} 4^i = \frac{4^m -1} {3} \log_2 ^2 n$

초기 제곱 비용이 포함되면 최대 시간이 필요하다는 것을 알게됩니다

${T_{exp} + \log_2^2{n}}$

노트

• 나는 계산에서 일부 바닥과 천장을 생략하여 대답에 실질적으로 영향을 미치지 않기를 바랍니다.
• 엄밀히 말하면 정확한 상한을 위해 기반 분석을 의도적으로 생략했습니다 . $O$
• 위의 추론은 또한 왜 이전의 분석에 결함이 있었는지를 분명히합니다. 표기 빠르게하고 느슨한 방식을 사용하고,이를 편리하게, 예를 들어되도록 상수를 생략하고, Σ는 t를 난 마법 된 O ( 로그 없음을 ) . $O$$\sum t_i$$O(\log n)$
• 곱셈은 ​​항상 FFT와 다른 방법으로 가속화 될 수 있습니다.