모든 입력에서 최대 50 단계로 정지하는 튜링 기계 세트를 결정할 수 있습니까?

하자 $F = \{⟨M⟩:\text{M is a TM which stops for every input in at most 50 steps}\}$ . F 가 결정 가능한지 또는 재귀 적으로 열거 가능한지를 결정해야합니다 . 나는 그것을 결정할 수 있다고 생각하지만 그것을 증명하는 방법을 모른다.

내 생각

이 "50 단계"부분은 즉시 R 표시를 나타냅니다. 특정 입력에 대한 것이면 결정 가능합니다. 그러나 여기에 모든 입력이 있습니다. 무한 입력을 위해 그것을 확인하는 것은 나에게 문제가 있음을 생각하게 공동-RE , 즉 그것의 보완이 허용됩니다.

아마도 구성을 확인하고 50 단계 이후의 모든 구성이 상태를 받아들이지 않는 것을 알 수 있습니다. 어떻게합니까?

일부 N ⩾ 1에 대해 최대 $N$ 단계 후에 정지하는 기계의 더 일반적인 문제를 고려해 봅시다 . (다음은이 답변의 이전 버전을 상당히 단순화 한 것이지만 사실상 동일합니다.)$N \geqslant 1$

Swegi가 이전 응답에서 언급했듯이, 기계가 최대 $N$ 단계 후에 정지 하면 테이프 의 셀 $0,1,\ldots,N-1$ 만 중요합니다. 그런 다음 시스템 시뮬레이션에 충분 $M$ 에 모든 입력 문자열 형태의 $x \in \Sigma^N$ 유한 수있다 어느.

• 이러한 시뮬레이션의은에 의해 정지 상태를 입력하지 않으면 $N^{\text{th}}\:\!$전이에서 이것은 $x$ 로 시작하는 입력 문자열 이 기계가 첫 번째 $N$ 단계 내에서 멈추지 않는 문자열임을 나타냅니다 .
• 이 모든 시뮬레이션이 N 번째로 중단되면$N^{\text{th}}\:\!$전환하면 은 모든 길이의 모든 입력 $M$에서 $N$ 단계 내에서 정지 합니다 (길이 의 하위 문자열이 $N$작동하는 모든 길이 임).

경우 없는 50 개 이상의 단계에서 정지 위치보다 M이 제한되어 통상적으로 무한 테이프에 도달 할 수있다. 따라서 무한 테이프는 유한 테이프로 시뮬레이션 할 수 있습니다. 이는 유한 오토 마톤으로 테이프를 시뮬레이션 할 수 있음을 의미합니다. 50 단계 이하로 정지 하는 튜링 머신 ( M) 은 일부 유한 오토 마톤 ( M ' )과 유사하다 .$M$$M$$M$$M'$

하자 의 상태들의 집합 M , F ⊂ Q 받아들이는 국가의 세트 Γ는 알파벳합니다. 다음 우리는 상태들의 세트 구축 Q ' 의 M이 ' 를 다음과 같이 Q ' = { ⟨ N , Q , 이야 , P , 을 $Q$$M$$F \subset Q$$\Gamma$$Q'$$M'$ 여기서 p 는 테이프 위의 읽기 / 쓰기 헤드 위치입니다. 우리의 위치를 제한 할 수 있습니다 { - (50) , . . . , 50 } 허용되는 계산 단계 수가 도달 가능한 위치 수를 제한하기 때문입니다.$Q' = \{ \langle n, q, s, p, a\rangle \, | n \in \{0,...,50\} \, q \in Q, s \in \Gamma, p \in \{-50,...,50\}, a \equiv q \in F\}$$p$$\{-50,...,50\}$

상태 갖는 유한 오토 마톤의 M ' 우리 상태에 있는지 다음 수단 Q 원래 오토 마톤의, S 위치에서 테이프 (P)는 판독 / 기록 헤드가 배치되는 경우에도 n 번째 컴퓨팅 단계 이후 상태는 접수 한 경우이다 ≡ t R U E .$\langle n, q, s, p, a\rangle$$M'$$q$$s$$p$$n$$a \equiv true$

콘크리트 튜링 기계의 전이 관계를 변환하는 것은 약간 더 많은 작업이지만 원래 질문에는 필요하지 않습니다. 상태 공간이 유한하다는 것을 보여주기에 충분하기 때문에 최대 50 길이의 각 입력을 테스트 할 수 있습니다 이러한 각 자동 장치의 기호). 아이디어는 상태에서가는 새로운 전환의 관계를 구축하는 것입니다 상태로 ⟨ N + 1 , Q ' , 이야 ' , P를 ' , ' ⟩ 에서 $\langle n, q, s, p, a \rangle$$\langle n+1, q', s', p', a'\rangle$$n$번째 전이 IFF 단계 컴퓨팅 일본어 전이 관계에 있었다.$\langle q, s, p\rangle \rightarrow \langle q', s', p'\rangle$