TM이 테이프의 특정 위치에 도달하는지 여부를 결정할 수 있습니까?

해결하려는 오래된 시험에서 이러한 질문이 있습니다. 각 문제에 대해 입력은 일부 Turing machine 의 인코딩입니다 $M$.

정수 $c>1$ 및 다음 세 가지 문제의 경우 :

1. 모든 입력 $x$ 에 대해 M이 $|x|+c$ 실행할 때 + c 위치 ?$x$

2. 모든 입력 $x$ 에 대해 M이 $\max \{|x|-c,1 \}$ 실행할 때 − c , 1 } 위치 ?$x$

3. 모든 입력 에 대해 x 가 실행될 때 $x$M이 $(|x|+1)/c$ 위치를 통과하지 않는 것이 사실 입니까?$x$

몇 가지 문제를 결정할 수 있습니까?

내가 생각하기에 문제 번호 (1)은 있습니다. 왜냐하면 내가 올바르게 이해하면 모든 입력을 병렬로 실행할 수 있으며 일부 입력 이이 위치에 도달하면 중지하고 R에 없는 것으로 표시 하면 보수를 줄일 수 있습니다 그것 의 Atm . 나는 다음과 같이 튜링 머신 M ' 을 구성합니다. 입력 y의 경우 y 가 계산 이력 인지 여부를 확인한 다음 M ' 이 제대로 실행되고 멈추지 않고 멈추지 않으면 중지합니다.$\text {coRE} \smallsetminus \text R$$\text R$$M'$$y$$y$$M'$

(3)의 경우 경우 항상 스트라이프의 첫 번째 셀에 머무르는 모든 Turing 기계 이기 때문에 결정할 수 있다고 생각합니다. 한 문자의 문자열의 경우 첫 번째 셀을 통과 할 수 있기 때문에 필요합니다. 길이가 1 인 모든 문자열을 시뮬레이션하는 | Q | + 1 단계 (이것이 맞습니까?), 모두에서 첫 번째 셀만 사용하고 있는지 확인하십시오.$c \geqslant 2$$|Q|+1$

나는 정말로 (2)와 무엇을 해야할지 모르겠다.

주어진 입력 에서 튜링 머신이 테이프의 유한 섹션 (길이 )에 한정되어 있는지 묻는 모든 상황을 결정할 수 있습니다.$n$

인수는 다음과 같이 작동합니다. Turing Machine, 테이프 및 테이프에서 Turing Machine의 위치를 ​​고려하십시오. 모두 함께 제한된 수의 구성이 있습니다. 구체적으로는 가능한 구성. Γ 는 테이프 기호 세트이고 Q 는 상태 세트입니다. 계속해서 "구성"이라는 단어를 사용하여 튜링 머신의 상태와 테이프 상태 및이 답변의 나머지 부분에 대한 테이프의 위치를 ​​설명하지만 표준 어휘는 아닙니다.$t = n|\Gamma|^n|Q|$$\Gamma$$Q$

과거의 모든 구성을 추적하면서 기계를 실행하십시오. 그것이 점을 넘어 서면 "yes, M 은 위치 n을 전달합니다 "를 반환 합니다. 그렇지 않으면 기계는 0과 n 사이에 있습니다. 기계가 상태, 테이프의 기호 및 테이프의 위치가 이전과 동일한 구성을 반복하는 경우 "아니오, M 은 위치 n을 통과하지 않습니다 ."$n$$M$$n$$n$$M$$n$

pidgeonhole 원리에 따르면, 이것은 단계를 넘지 않아야 합니다. 따라서 위의 모든 내용은 결정 가능합니다. 최대 t + 1 시뮬레이션 단계 후에 답을 얻습니다.$t+1$$t+1$

이것이 작동하는 이유에 대한 간단한 참고 사항 : 머신, 테이프 및 테이프의 위치가 반복 될 때 이러한 반복 사이에 일련의 구성이 있어야합니다. 이 순서는 다시 발생하여 동일한 구성을 한 번 더 생성합니다. 머신은 무한 루프 상태입니다. 이는 Turing Machine의 모든 측면을 추적하고 있기 때문입니다. 구성 외부의 어떤 것도 발생한 일에 영향을 줄 수 없습니다. 따라서 구성이 반복되면 동일한 일련의 구성을 사용하여 다시 반복됩니다.

따라서 테이프를 문자열의 유한 부분에 한정하는 것은 결정 가능합니다. 따라서 가능한 모든 입력 문자열을 반복하면 문제가 $\text{coRE}$ for all three questions. You may have already realized this (between your ideas for 1 and 3 and Ran G's answer for 2 it seems solved completely anyway) but I figured it may be worth posting nonetheless.

(2) is very similar to (3) and the same reasoning you had for (3) applies here as well: note that machines that in $L_2$ have a strange property - they don't read the entire input (they never reach it's last $c$ bits.) And this is true for every input.

Ok, so now let's consider only inputs up to length $c$. For each one of them, there are only two options: the machine loops/halts w/o moving the head, or it moves the head. If it moves the head on some $x$ (with $|x|\le c$), that machine is not in $L_2$ due to that input $x$. Otherwise, I claim the machine is in $L_2$. Since it never moves the head - it has no idea what the size of the input is! this means it behaves the same for all the inputs of length $|x|>c$. Therefore, $L_2$ is decidable.