많은 분할 조건을 가진 부분 집합 합계 문제

를 자연수의 집합으로 하자 . 분할 성 부분 순서에 따라 를 고려 합니다. 방해 $S$ $S$ $s_1 \leq s_2 \iff s_1 \mid s_2$

$\qquad \displaystyle \alpha(S) = \max \{|V| \mid V\subseteq S, V$ 반 사슬 $\}$ .

다중 집합이 $S$ 에있는 부분합 합 문제를 고려하면 와 관련된 문제의 복잡성에 대해 무엇을 말할 수 $\alpha(S)$ 있습니까? 경우 볼 간단 $\alpha(S)=1$ 다음 문제가 쉽다. $\alpha(S)=1$ ^$\dagger$ 때 더 어려운 배낭 문제가 발생하더라도 쉽습니다 .

M. Hartmann과 T. Olmstead (1993)의 $\dagger$ 순차적 배낭 문제 해결

complexity-theory number-theory knapsack-problems

— 차오 쉬
소스

"관계"대신 "부분 순서"라는 용어를 사용하는 것이 좋습니다. 또한, 최소한의 생각으로, Frobenius 동전 문제 는 관련 이있을 수 있습니다 (물론 확실하지는 않습니다)

— Aryabhata

이 문제는 선형 프로그래밍을 사용하여 다항식 시간 으로 해결할 수 있으며 실제로는 부분 순서 $(S,\le)$ 합니다. 그런데, 우리는 어떤 한정된 부분 순서 집합 것을 유도하여 증명할 수있다 $(S,\le)$ , 유한 세트가 존재 $S'\subseteq\mathbb{N}$ 및 전단 사 함수를 $f:S\rightarrow S'$ , 그러한 모든 $s_1,s_2\in S, s_1\le s_2 \Leftrightarrow f(s_1) | f(s_2)$ .

$\mathcal{C}$ 를 의 체인으로 구성된 집합 이라고합시다 $S$ . 있다는 알림 $C$ A는 체인 모든 IFF $v,v'$ 의 $C$ , $v\le v'$ 또는 $v'\le v$

지금 부울 변수 생성 각 , 및 부울 변수 각 체인에 대한 . 우리는 문제에 대해 다음 선형 프로그램 을 작성할 수 있습니다 . $x_v$ $v\in S$ $y_C$ $C$ $(P)$

\begin{aligned} Max \sum_{v \in S} x_{v} \\ subject to \sum_{v \in C} & x_{v} \leq 1, \forall C \in C \\ x_{v} \in {0, 1}, v \in S \end{aligned}

$\begin{split} \text{Max} \displaystyle\sum\limits_{v\in S} x_v \\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{v\in C} &x_v \le 1, \forall C\in\mathcal{C}\\ &x_v \in \{0,1\}, v\in S \end{split}$

그리고 이중 : $(D)$

\begin{aligned} Min \sum_{C \in C} y_{C} \\ subject to \sum_{C : v \in C} & y_{C} \geq 1, \forall v \in S \\ y_{C} \in {0, 1}, C \in C \end{aligned}

$\begin{split} \text{Min} \displaystyle\sum\limits_{C\in \mathcal{C}} y_C\\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{C:v\in C} &y_C \ge 1, \forall v\in S\\ &y_C \in \{0,1\}, C\in \mathcal{C} \end{split}$

그렇다면 체인으로 주문한 세트의 최소 커버를 찾는 문제는 우리 문제의 이중입니다. 딜 워스의 정리에 따르면

안티 체인 A와 체인 패밀리 P 로의 주문 분할이 존재하여 분할의 체인 수가 A의 카디널리티와 동일

이는이 두 가지 문제의 최적 솔루션이 일치한다는 것을 의미합니다. $Opt(P)=Opt(D)$

하자 ( RESP. )의 이완 수 ( RESP. ) 즉, 같은 선형 프로그램의 모든 제약 ( RESP. )로 치환된다 ( RESP. ). 하자 및 최적의 솔루션이 될. 이후 우리가 가지고 과 약한 이중성 정리는 $(P^*)$ $(D^*)$ $(P)$ $(D)$ $x_v\in\{0,1\}$ $y_C\in\{0,1\}$ $x_v\in [0,1]$ $y_C\in [0,1]$ $Opt(P^*)$ $Opt(D^*)$ $\{0,1\}\subseteq [0,1]$

O p t (P) \leq O p t (P^{*}) and O p t (D^{*}) \leq O p t (D)

$Opt(P)\le Opt(P^*) \text{ and } Opt(D^*)\le Opt(D)$

O p t (P^{*}) \leq O p t (D^{*})

$Opt(P^*)\le Opt(D^*)$ 그런 다음 모든 것을한데 모아서 :

O p t (P) = O p t (P^{*}) = O p t (D^{*}) = O p t (D)

$Opt(P)= Opt(P^*)=Opt(D^*)=Opt(D)$

그런 다음 Ellipsoid 방법을 사용하여 다항식 시간으로 ( )를 계산할 수 있습니다 . 기하 급수적 인 제약이 있지만 다항식 시분할 오라클이 있습니다. 실제로 솔루션 제공 , 우리 모두 부부가 열거 할 수 경우, 체크를 또는 , 따라서 여부를 다항식 시간에 결정 가능하다 또는 체인에 관련된 다른 제약 ) 위반했습니다. $Opt(P^*)$ $=Opt(P)$ $X$ $s_1,s_2\in X$ $s_1\le s_2$ $s_2\le s_1$ $X$ $\{v_1,v_2\}$

— 마티유 마리
소스

우리는 (1) 변수 다항식 번호와 (2)이있는 경우 제약 조건의 수는, 어떤 Ellispoid 방법 작품 분리 신탁 모든 솔루션 주어진 여부를 다항식 시간에 결정 가능하다 또는에 의해 어긴 제약 찾을 수 . 나는 [읽어 보시기 바랍니다 www-math.mit.edu/~goemans/18433S09/ellipsoid.pdf] , 위키 피 디아는 정말이 시점에 분명하지 않다

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— 마티유 마리

지수의 제약 조건이 문제가되지 않는 이유와 이원성의 관련성을 설명해 주셔서 감사합니다. 아주 좋아요!

— DW