알고리즘은 정확히 무엇입니까?

나는 이것이 상자 밖으로 조금 들릴 수 있다는 것을 알고 있습니다. 사실 나는 항상 상자 안에서 생각하는 데 사용되었지만 최근에는 컴퓨터 과학이 아닌 다른 프로그램을 고안하는 방법에 대해 컴퓨터 과학이 높은 자유를 제공하기 때문에 생각하고 있습니다. 대학에서 가르친 것들.

계승 함수를 고려하십시오. 일반적으로 우리는이 기능을 다음과 같이 정의합니다

 int fact(int n) 
 { 
 int r = 1; 
 for(int i=2;i<=n;i++) 
 r = r*i; 
 return r; 
 } 

나는 이것을 알고리즘이라고 부르고 이것이 올바른 방법이라는 것을 의심의 여지가 없다. 그런 다음 "상시 시간에이 작업을 수행 할 수 있습니까?"라는 궁금한 점을 생각해 보았습니다. 다음과 같은 생각을 할 수 있습니다. array [n]에 n의 계승이있는 정수 배열이있는 경우 어떻게해야합니까? 이 배열이 채워지면 간단히 사실을 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

 int fact(int n) 
 { 
 return array[n]; 
 } 

여전히 올바른 결과를 제공하고 일정한 시간 O (1)에서 작동하더라도 알고리즘을 계산할 수 없습니다. 이것을 알고리즘이라고 부를 수 있습니까? 그렇지 않으면 왜 안됩니까? 우리가 배열을 채우려면 두뇌에 있더라도 배열을 채우는 데 알고리즘이 어느 정도 작동해야한다고 주장 할 수 있지만 이것이 기준이 될 수 있습니까? 이러한 측면은 공식적으로 어떻게 처리됩니까?

이 개념은 인수 수에 관계없이 정수를 통해 작동하는 모든 함수로 확장 될 수 있습니다. 함수에 2 개의 인수가 있으면 행렬을 사용해야하고 함수에 3 개의 인수가 있으면 3을 사용해야합니다. 또한 이러한 솔루션은 단순히 메모리 소비로 인해 사용되지 않습니까?

또한 프로그램이 제공 할 수있는 모든 단일 출력을 색인화하는 방법을 찾을 수 있기 때문에 함수에는 출력이있는 모든 프로그램을 포함 할 수 없습니다.

또 다른 예로, 배열의 일반적인 사용을 고려하십시오. 나는 처음에 크기 N의 배열을 할당 한 다음 인덱스 n에 값을 저장하고 n을 한 단위 씩 증가시켜 배열에 요소를 추가합니다. 그런 다음 elemento를 찾으려면 배열을 통해 선형 검색을 수행하는 데 도움이 될 수 없습니다. 대신 0으로 초기화 된 정수를 저장하기 위해 Integer.MAXVALUE와 같은 크기의 배열을 만든 경우 색인에 1을 배치하여 정수를 저장할 수 있습니다. 그런 다음 O (1) 시간에 배열에 존재하는지 검색 할 수 있습니다. 같은 숫자의 여러 장치를 배치하려면 어떻게해야합니까? 문제 없습니다. 정수 색인에 저장된 값을 늘리면됩니다.

정렬은 좀 더 복잡하지만 그럼에도 불구하고 O (1) 시간에 조회 및 추가를 수행 할 수 있습니다.

인기있는 교재에서 알고리즘의 비공식적 인 정의는 다음과 같습니다.

알고리즘은 (1) 잘 정의 된 계산 절차 (2) 일부 입력을 받고 (3) 잘 정의 된 계산 문제에 대한 일부 출력 (4)을 생성합니다.

첫 번째 경우 알고리즘을 코딩했습니다. 문제는 int n을 입력 (정의 2 부)으로 지정하여 계승 (정의 4 부)을 찾는 것입니다. 코드는 수행 할 계산을 설명합니다 (정의 1 부). )에서 출력은 계승입니다 (정의의 3 부).

두 번째 경우 : 문제는 n을 입력 (정의의 3 부)으로 지정하여 위치 n (정의의 4 부)에서 배열 요소를 찾는 것입니다. 코드는 수행 할 계산 (정의 2 부)을 설명합니다. 출력은 위치 n (정의의 1 부)에있는 요소입니다.

계승을 저장하여 계승을 제공합니다. 정사각형 또는 큐브를 저장 한 경우 정사각형 또는 큐브를 얻을 수 있으므로 두 번째 스 니펫 자체가 계승을 계산하는 알고리즘이라고 말할 수는 없습니다.

그리고 배열 n을 위치 n에 f (n)이있는 배열과 함께 조회하면 f (n)을 계산하는 알고리즘이라고 말하면 아래 계산이 더 이상 이루어지지 않을 것입니다. 잘 정의 된 계산 절차는 유한 정보 여야합니다. 계승의 무한 배열이 계산 절차의 일부인 경우에는 유지되지 않습니다. 따라서 계승을 계산하는 알고리즘은 아닙니다.

가장 광범위하게 알고리즘은 문제를 해결하기위한 일련의 단계입니다 .

CS에서 다음은 알고리즘이라는 용어를 사용할 때 일반적으로 이해 / 가정됩니다.

• 이 알고리즘에는 유한 설명과 문제가있는 경우 단계를 수행하기위한 잘 정의 된 절차가 있습니다. (자세한 내용은 아래 참조)
• 유한 문자열 (입력 심볼의 순서)로 주어진 문제 인스턴스와 알고리즘의 출력은 유한 문자열로 인코딩 될 수 있습니다.
• 문제는 각 인스턴스에 대해 가능한 "올바른"출력과 함께 문제 인스턴스의 모음입니다. "해결"은 올바른 출력을 생성하는 것을 의미합니다.
• (보통) 문제 인스턴스는 임의로 클 수 있습니다 (유한 한 알고리즘이 해결해야하는 가능한 수의 인스턴스가 있습니다).

CS가 설립되기 전에, 수학자들은 당신이 제기 한 것과 같은 유형의 관심사를 가지고 있었고 이러한 관심사를 해결하기 위해 공식적인 계산 정의를 도입했습니다. 따라서 오늘날 "알고리즘은 Turing 머신에서 구현할 수있는 절차" 라고 말함으로써 위의 모든 가정을 공식화 할 수 있습니다 . 이것은 아마도 귀하의 질문에 대한 공식적인 답변 일 것입니다.

Church-Turing 논문은 Turing Machine보다 더 강력한 알고리즘 공식화가 없다고 생각 합니다.

계승 예제는 비 균일 계산이라고하는 다른 계산 모델로 들어갑니다. 튜링 머신은 균일 한 계산 모델의 예입니다. 하나의 유한 설명이 있으며 임의로 큰 크기의 입력에 작동합니다. 다시 말해, 모든 입력 크기에 대한 문제를 해결하는 TM이 있습니다.

이제 우리는 대신 다음과 같이 계산을 고려할 수 있습니다. 각 입력 크기마다 문제를 해결하는 TM (또는 다른 계산 장치)이 있습니다. 이것은 매우 다른 질문입니다. TM에는 유한 설명이 있으므로 단일 TM이 모든 단일 정수의 계승을 저장할 수는 없습니다. 그러나 1000 이하의 모든 숫자의 계승을 저장하는 TM (또는 C의 프로그램)을 만들 수 있습니다. 그런 다음 1000과 10000 사이의 모든 숫자의 계승을 저장하는 프로그램을 만들 수 있습니다.

이러한 불균일 한 유형의 계산은 일반적으로 회로에 의해 이론적 CS에서 모델링됩니다. 가능한 각 입력 크기에 대해 다른 회로 구성을 고려하십시오.

균일하지 않은 계산 모델은 비록 첫 문장에 맞을지라도 알고리즘으로 간주되지 않습니다 . 그 이유는 주요 가정에 맞지 않기 때문입니다. 입력 크기에 대한 "전체"문제를 해결하기 위해 구현할 수있는 유한 설명이 없습니다. 오히려 문제가 커질수록 (더 큰 조회 테이블이 필요한 것처럼) 더 크고 더 큰 설명이 필요합니다. 그러나 여전히 흥미로운 계산 모델입니다.

알고리즘은 C로 작성된 프로그램으로 모든 길이의 입력에 대해 작동해야합니다 (무한 메모리 및 무한 정수 가정). 귀하의 예에서 프로그램이 모든 길이의 입력에 대해 작동하기를 원한다면 결과가 저장된 테이블은 무한대로 커집니다. C의 프로그램은 항상 유한하므로이 방법을 사용할 수 없습니다.

$n!$$n!$)는 C에 비해 훨씬 효율적으로 계산할 수 있습니다.

실제 컴퓨터의 실제 실행 시간에 대해 걱정할 때는 더욱주의해야하지만 불행히도 이론적 인 컴퓨터 과학의 한계를 뛰어 넘는 경우가 많습니다.

$n$$n!$

어떤 알고리즘 개념을 사용해야합니까? 위에서 설명한 한 가지 제안은 C 프로그램을 사용하는 것입니다. 이 개념을 C 계산이라고 부를 수 있습니다. 튜링 계산은 튜링 기계를 사용할 때 얻는 것입니다. 튜링 계산 가능한 경우에만 함수가 C 계산 가능한 것으로 나타났습니다. 이러한 의미에서이 두 계산 모델은 모두 동일합니다. 실제로, 많은 다른 모델들, 예를 들어 공통의 모든 프로그래밍 언어들 (무한 메모리 및 제한없는 변수를 가정)과 동등하다.

프로그래밍 언어 P가 Turing-complete 라고하는 함수는 Turing-computable 인 경우에만 함수를 P-computable이라고합니다. 교회 – 튜링 가설은 유한 한 설명과 유한 시간을 갖는 모든 합리적인 계산 모델 이 튜링-완전 이라는 효과에 대한 비공식적 인 진술 입니다. 모델에 유한 설명이 있지만 제한 시간이 없습니다.

누락 된 알고리즘의 일반적인 정의에서 중요한 부분은 사양이 유한 해야하며 사양의 크기가 입력 크기에 따라 달라지지 않아야한다는 것입니다.

메모리는 임의로 클 수 있고 입력도 가능하지만 알고리즘의 유용한 정의가 되려면 코드 공간이 유한해야합니다. 그렇지 않으면 방금 식별 한 문제가 발생합니다.

$O(\log A)$$A$$O(\log n)$$O(\log n!)$$O(n (\log n)^2)$$s$$n = O(2^s)$$O(2^s~s^2)$$O(1)$

도움이 될만한 몇 가지 관찰 :

문제 는 허용 가능한 입력과 해당 출력에 대한 설명입니다. 그들은 우리가 해결하고자하는 것입니다. 알고리즘 은 계산 절차입니다. 알고리즘은 문제 와 관련하여 허용되는 입력을 받아들이고 문제 설명에 따라 출력을 생성하는 경우 문제와 관련하여 올바른 알고리즘이라고 말할 수 있습니다 .

두 예제는 모두 분명히 계산 절차이므로 알고리즘입니다. 알고리즘이 올바른지 여부는 문제를 정의하는 방법과 알고리즘 표현을 해석하는 방법에 따라 다릅니다. 몇 가지 문제 설명 :

1. $n$$n!$
2. $n > 0$$n! <$ INT_MAX$n!$

첫 번째 코드 스 니펫에 대한 일부 해석 :

1. 이것은 세부 사항을 제외하고 C / C ++와 유사한 의사 코드입니다. int예를 들어 "모든 정수"를 의미합니다.
2. 이것은 실제 C / C ++ 프로그램 인 것처럼 해석됩니다.

계승이 음수 값 1을 가정하는 한 해석 1은 문제 설명 1에 대해 정확합니다 (그렇지 않으면 도메인을 제한하도록 문제 설명을 수정하거나 원하는 동작을 설명하도록 알고리즘을 수정할 수 있음). 해석 2는 문제 설명 2에 대해 동일하며 동일한 경고가 있습니다.

arrayarray$n$$n > 0$$n! <$ INT_MAX$n!$$n < 0$

$n$$n! \geq 2^{32}$$n! \geq 2^{64}$

$k$$k$$n$$kn$$k+n$

알고리즘 에 작성하는 프로그램입니다 튜링 완전한 언어 모든 유효 입력에라도 유용가 중단됩니다. 모든 표준 프로그래밍 언어는 Turing-complete입니다. 이 단어는 페르시아 수학자, 천문학 자 및 지리학자 인 al-Khwārizmī라는 유럽 번역본에서 유래 한 것으로, 7 세기 인도 수학자 브라 마구 프타 (Brahmagupta)는 서구 세계에 인도의 숫자 체계를 도입했습니다.

문제는 기본적으로 조회 테이블이 알고리즘의 일부인지에 관한 것 같습니다. 물론! 에서는 튜링 기계 (TM) 테이블은 TM 상태 테이블에서 인코딩 될 수있다. TM은 전이 테이블에 저장된 유한 한 양의 데이터를 기반으로 테이프를 초기화 할 수 있습니다 . 그러나 무한 입력에서 실행되지 않고 유한 입력에서만 실행되는 "알고리즘"은 "사소한" 유한 상태 기계 (FSM) 입니다.

간단히 말해서 : 알고리즘은 주어진 문제에 해결책이 있다는 건설적 증거의 구성 적 부분입니다. 이 정의의 동기는 프로그램이 문제를 해결하지만 관심이있을 경우에만 관심이 있다는 점을 고려하여 프로그램과 증명 간의 Curry-Howard 동 형사상입니다. 이 정의는 더 추상화를 허용하고, 예를 들어 유한 특성과 관련하여, 관련 될 수있는 도메인의 종류에 관한 일부 문을 열어 둔다.

경고 . 질문에 대답하기위한 적절한 공식적인 접근법을 찾으려고 노력하고 있습니다. 나는 그것이 필요하다고 생각하지만, 지금까지 응답 한 사용자 (자신을 포함하고 일부는 다른 게시물에서 그것에 대해 다소 명시 적이 지 않은) 사용자 중 누구도 문제를 올바르게 개발할 수있는 올바른 배경을 가지고 있지 않은 것 같습니다. 건설적인 수학, 증명 이론, 유형 이론 및 증명과 프로그램 간의 Curry-Howard 동형 과 같은 결과 . 나는 내가 믿거 나 믿었던 모든 스 니펫으로 최선을 다하고 있으며이 답변의 한계를 너무 잘 알고 있습니다. 나는 대답이 어떻게 보일지에 대한 힌트를 줄 수 있기를 바랍니다. 공식적으로 (아마도) 틀린 점이 있으면 지금 의견이나 이메일로 알려주세요.

몇 가지 문제 식별

알고리즘을 고려하는 표준 방법은 알고리즘이 메모리에 제한이없는 것을 포함하여 일부 컴퓨팅 장치에 대해 임의의 유한하게 지정된 프로그램 이라고 진술하는 것 입니다. 언어는 컴퓨터 기계 언어 일 수도 있습니다. 실제로 Turing 컴플리트 컴퓨팅 장치에 대한 모든 프로그램을 고려하면 충분합니다 (메모리 제한이 없음을 의미 함). 알고리즘이 해석 컨텍스트에 대한 세부 사항에 의존하는 형태로 이론적으로 표현되어야한다는 의미에서 모든 알고리즘 프리젠 테이션을 제공하지는 않을 수 있습니다. 모든 것이 일부 인코딩까지 정의되어 있기 때문입니다. 그러나 계산해야 할 모든 것을 계산하므로 인코딩에 이르기까지 모든 알고리즘이 포함됩니다.

$\pi$

$\pi$ 거의 모든 알고리즘이 흥미롭지 않다고아마도 거의 모든 수학적인 의미에서. 그러나 그것은 더 정밀한 정의를 요구할 것입니다.

따라서 실제 질문은 의미있는 알고리즘이 무엇인지 아는 것입니다. 답은 의미있는 알고리즘이 문제를 해결하는 알고리즘이며, 그 문제에 대한 "솔루션", "답변"을 단계적으로 계산합니다. 알고리즘이 해결하는 문제와 관련되어 있으면 흥미 롭습니다.

공식적인 문제가 주어지면 문제를 해결하는 알고리즘을 얻는 방법은 무엇입니까? 명시 적이든 암시 적이든, 알고리즘은 문제에 대한 해결책이 존재한다는 아이디어와 관련이 있으며, 이는 올바른 것으로 입증 될 수 있습니다. 우리의 증명 기술이 정확한지 여부는 또 다른 문제이지만, 우리는 적어도 자신을 설득하려고 노력합니다. 실제로 우리가해야 할 일인 (그리고 대부분의 수학에 대해 매우 수용 가능한 공리 학적 제약 인) 건설적인 수학으로 자신을 제한한다면, 솔루션의 존재를 증명하는 방법은 실제로 구조물을 나타내는 증명 단계를 거치는 것입니다 솔루션을 나타내는 다른 단계를 포함하여 솔루션을 나타냅니다.

모든 프로그래머는 다음과 같이 생각합니다 : 만약 내가 그런 식으로 데이터를 피들 링하면 Sesame의 정리 때문에 올바른 속성을 가진이 위젯을 얻습니다.이 foo-preserving 변환을 실행하면 원하는 대답을 얻습니다 . 그러나 그 증거는 일반적으로 비공식적이며, 위성이 왜 화성에서 지하를 선회하려고했는지 설명하는 모든 세부 사항을 다루지는 않습니다. 우리는 많은 추론을 수행하지만 실제로 솔루션을 구축하는 구성적인 부분 만 유지하고 문제를 해결하는 알고리즘으로 컴퓨터 언어로 설명합니다.

흥미로운 알고리즘 (또는 프로그램)

이 모든 것은 다음과 같은 아이디어를 소개하는 것이 었습니다.이 아이디어는 현재의 많은 연구의 대상입니다 (나는 전문가가 아닙니다). 여기에 사용 된 " 흥미로운 알고리즘 " 이라는 개념은 보다 정확한 정의를 위해 비공식적 인 자리 표시 자로 소개 된 것입니다.

흥미로운 알고리즘은 주어진 문제에 해결책이 있다는 건설적인 증거의 구성적인 부분입니다 . 즉, 증거는 단순히 예를 들어 모순에 의해 단순히 존재를 증명하기보다는 솔루션을 보여 주어야 함을 의미합니다. 자세한 내용은 참조 직관 논리 와 구성주의 수학은.

이것은 물론 매우 제한적인 정의로, 내가 재미있는 알고리즘이라고 부르는 것만 고려합니다. 따라서 거의 모든 것을 무시합니다. 그러나 알고리즘에 관한 모든 교과서도 마찬가지입니다. 그들은 흥미로운 것들 중 일부만 가르치려고 노력합니다.

문제의 모든 매개 변수 (입력 데이터)가 주어지면 지정된 결과를 단계별로 얻는 방법을 알려줍니다. 전형적인 예는 방정식의 해상도입니다 (이름 알고리즘 은 실제로 일부 방정식의 해상도를 연구 한 페르시아 수학자 Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī 의 이름에서 파생 됨 ). 증명의 일부는 알고리즘에서 계산 된 일부 값에 일부 속성이 있지만 이러한 부분을 알고리즘 자체에 유지할 필요는 없음을 확인하는 데 사용됩니다.

물론, 이것은 계산 된 데이터, 허용되는 기본 계산 단계 및 사용되는 공리를 설정하는 공식화 된 논리 프레임 워크 내에서 이루어져야합니다.

팩토리얼 예제로 돌아가서 사소한 알고리즘이지만 알고리즘으로 해석 될 수 있습니다. 정규 계승 함수는 일부 산술 프레임 워크와 정수 n이 주어지면 첫 번째 n 정수의 곱인 숫자가 있다는 증거에 해당합니다. 이것은 계승 계산과 마찬가지로 매우 간단합니다. 다른 기능에는 더 복잡 할 수 있습니다.

이제 모든 정수에 대해 사실이 아니지만 (일부 유한 값의 경우에 해당 할 수 있음) 가정 할 수 있다고 가정하고 계승을 표로하기로 결정했다면, 당신이하는 모든 것은 공리에 새로운 정수는 각 정수에 대한 값을 나타내므로 더 이상 아무것도 계산할 필요가 없습니다.

그러나 공리 체계는 유한해야한다. 그리고 계승에 대한 정수 값은 무한대입니다. 따라서 무한 기능을 axiomatize하면 (즉, 무한 도메인에 정의 된) 유한 공리 시스템에 문제가 있습니다. 이는 모든 정수에 대해 테이블 ​​조회를 구현할 수 없다는 사실에서 계산적으로 변환됩니다. 그것은 알고리즘에 대한 일반적인 유한 요구 사항을 죽일 것입니다 (그러나 종종 제시되는 것만 큼 엄격해야합니까?).

모든 경우를 처리하기 위해 유한하게 정의 된 공리 생성기를 갖도록 결정할 수 있습니다. 이것은 필요에 따라 배열을 초기화하기 위해 알고리즘에 표준 계승 프로그램을 포함시키는 정도에 달합니다. 이것을 프로그래머의 메모 라고 합니다. 이것은 실제로 미리 계산 된 테이블과 가장 가까운 값입니다. 테이블이 필요할 때마다 지연 평가 모드로 실제로 생성된다는 사실을 제외하고는 미리 계산 된 테이블을 가지고 있음을 이해할 수 있습니다 . 이 논의는 아마도 좀 더 공식적인 관리가 필요할 것입니다.

복잡성 또는 성능 분석을 수행하기 위해 원하는대로 기본 작업을 정의하고 (공식 시스템과의 일관성 내에서) 알고리즘에 사용될 때 원하는 비용을 할당 할 수 있습니다. 그러나 실제로 알고리즘 (예 : 컴퓨터 또는 두뇌)을 구현하는 구체적인 시스템이 이러한 비용 사양을 고려할 수없는 경우 분석은 지적으로 흥미로울 수 있지만 실제 세계에서는 실제로 사용할 수는 없습니다.

$2^{1000}$

흥미로운 프로그램

이 논의는 프로그램과 증명 사이 의 Curry-Howard 동 형사상 과 같은 결과와보다 적절하게 연결되어야합니다 . 어떤 프로그램이 실제로 무언가의 증거라면, 모든 프로그램은 위 정의의 의미에서 흥미로운 프로그램으로 해석 될 수 있습니다.

그러나 나의 (제한된) 이해로,이 동형은 적절한 타이핑 시스템에서 잘 타이핑 할 수있는 프로그램으로 제한되는데, 여기서 타입은 공리 이론의 제안에 해당합니다. 따라서 모든 프로그램이 흥미로운 프로그램으로 인정 될 수있는 것은 아닙니다. 내 생각에 알고리즘이 문제를 해결해야한다고 생각합니다.

이것은 대부분의 "무작위로 생성 된"프로그램을 제외 할 것입니다.

또한 "흥미로운 알고리즘"이 무엇인지에 대한 다소 개방적인 정의입니다. 흥미로운 것으로 식별 할 수있는 식별 된 유형 시스템이 있기 때문에 흥미로운 것으로 볼 수있는 모든 프로그램은 확실히 그렇게됩니다. 그러나 지금까지 입력 할 수 없었던 프로그램은보다 발전된 유형의 시스템으로 입력 할 수있게되어 흥미로워 질 수있었습니다. 더 정확하게는 항상 흥미로 웠지만 올바른 유형 시스템에 대한 지식이 부족하여 알 수 없었습니다.

그러나,이 같은 실행과 같은 일부 람다 식 것으로 알려져 있기 때문에 모든 프로그램, typeable있는 것으로 알려져있다 Y의 콤비가 , 사운드 타입 시스템에 입력 할 수 없습니다 .

이 견해는 일부 공리 증거 시스템과 직접 연관 될 수있는 프로그래밍 형식에만 적용됩니다. Turing Machine과 같은 저수준 계산 형식으로 어떻게 확장 될 수 있는지 모르겠습니다. 그러나 알고리즘과 계산은 종종 문제와 솔루션을 인코딩하는 게임이기 때문에 ( 람다 계산법으로 인코딩 된 산술 생각 ) 알고리즘의 인코딩으로 표시 될 수있는 공식적으로 정의 된 계산도 알고리즘이라고 생각할 수 있습니다. 이러한 인코딩은 아마도 Turing Machines과 같은 저수준 형식으로 표현 될 수있는 것의 아주 작은 부분만을 사용합니다.

이 접근법의 한 가지 관심사는 실제 인코딩 문제, 계산 영역의 "물리적 표현성"에 대해보다 추상적이고 독립적 인 알고리즘 개념을 제공한다는 것입니다. 예를 들어 계산적으로 올바른 방법을 사용하는 한 무한한 객체가있는 도메인을 고려할 수 있습니다.

글을 쓰는 시점에서 "알고리즘"에 대한 공식적인 정의는 없습니다. 그러나 똑똑한 사람들이 노력하고 있습니다.

우리가 알고있는 것은 "알고리즘"이 무엇이든 "수학적 기능"과 "컴퓨터 프로그램"사이에 있다는 것입니다.

수학 함수는 입력에서 출력으로의 매핑에 대한 공식적인 개념입니다. 예를 들어, "정렬"은 일련의 주문 가능한 항목과 동일한 유형의 주문 가능한 항목 시퀀스 사이의 매핑으로, 각 시퀀스를 순서가 지정된 시퀀스에 매핑합니다. 이 기능은 다른 알고리즘 (예 : 병합 정렬, 힙 정렬)을 사용하여 구현할 수 있습니다. 각 알고리즘은 동일한 프로그램 언어를 사용하더라도 다른 프로그램을 사용하여 구현할 수 있습니다.

따라서 "알고리즘"이 무엇인지에 대한 가장 좋은 방법은 프로그램에서 일종의 동등성 클래스라는 것입니다. 두 프로그램은 "본질적으로 같은 것"이라면 동등합니다. 동일한 알고리즘을 구현하는 두 프로그램은 동일한 기능을 계산해야하지만 그 반대는 아닙니다.

마찬가지로 알고리즘간에 동등한 클래스가 있으며 두 알고리즘이 동일한 수학 함수를 계산하는 경우 두 알고리즘이 동일합니다.

이 모든 것의 어려운 부분은 "본질적으로 같은 것"의 의미를 포착하려고합니다.

우리가 포함시켜야 할 몇 가지 분명한 것이 있습니다. 예를 들어, 변수 이름 변경만으로 두 프로그램이 다를 경우 두 프로그램은 본질적으로 동일합니다. 대부분의 프로그래밍 언어 모델에는 "동등성"이라는 기본 개념이 있습니다 (예 : 람다 미적분에서의 베타 축소 및 에타 변환).

우리가 선택한 동등성 관계가 무엇이든, 이것은 우리에게 어떤 구조를 제공합니다. 알고리즘은 몫이 프로그램 범주라는 사실 때문에 범주를 형성합니다. 흥미로운 등가 관계는 흥미로운 범주 구조를 일으키는 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어, 기본 재귀 알고리즘의 범주는 범주 범주의 범용 개체입니다. 그런 흥미로운 구조를 볼 때마다이 질문 줄이 유용 할 것입니다.

귀하의 질문과 설명은 그다지 관련이 없습니다. 알고리즘은 이론적이며 프로그래밍 언어와 관련이 없습니다. 알고리즘은 문제를 해결하기위한 일련의 규칙 또는 단계 (절차)입니다. 여러 가지 방법이나 많은 알고리즘으로 문제를 해결할 수 있습니다.

두 번째 솔루션은 처음에 많은 계승을 계산하여 저장하는 데 많은 시간이 걸린다는 것을 의미합니다. 스토리지는 더 많이 소비하지만 처음에는 스토리지를 소비하지 않지만 컴퓨팅 성능을 소비하는 동안 더 빠를 것이므로 환경에 따라 선택해야합니다.