반복 관계에서 변수 변경

현재 저는 알고리즘 소개 (CLRS)를 자율적으로 연구하고 있으며이 책에서 반복 관계를 해결하기 위해 설명하는 특정 방법이 있습니다.

이 예제에서는 다음과 같은 방법을 설명 할 수 있습니다. 우리가 재발한다고 가정하자

T (n) = 2 T (\sqrt{n}) + \log n

$T(n) = 2T(\sqrt n) + \log n$

처음에 그들은 대체를 m = lg (n)로 한 다음 다시 재귀에 연결하고 다음을 얻습니다.

T (2^{m}) = 2 T (2^{\frac{m}{2}}) + m

$T(2^m) = 2T(2^{\frac{m}{2}}) + m$

이 시점까지 나는 완벽하게 이해합니다. 다음 단계는 혼란스러운 단계입니다.

그들은 지금 재발의 "이름 바꾸기" 및하자 분명히 생산, $S(m)$ $S(m) = T(2^m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m

$S(m) = 2S(m/2) + m$

어떤 이유로이 이름 변경이 왜 작동하는지 명확하지 않으며 부정 행위처럼 보입니다. 누구든지 이것을 더 잘 설명 할 수 있습니까?

— 구스
소스

답변:

부정 행위가 아닙니다. 미적분학에서 대체가 어떻게 까다로운 적분을 해결하는 데 사용될 수 있는지 생각하십시오. 치환은 방정식을 조작하기 쉽게 관리 할 수있게합니다. 또한 대체는 다소 복잡한 반복을 익숙한 것으로 변환 할 수 있습니다.

$S(m)=T(2^m)$ $T(2^m) = 2T(2^\frac{m}{2}) + m$ $S(m/2) = T(2^\frac{m}{2})$ $k =m/2$ $S(k) = T(2^k)$ $S(m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m .

$S(m) = 2S(m/2) + m.$

S

$S$

O (m \log m)

$O(m \log m)$

S

$S$

T (n)

$T(n)$

m

$m$

T \in O (\log n \log \log n)

$T \in O(\log n \log \log n)$

— 니콜라스 만 쿠소
소스

맞아요, 대체가 문제를보다 쉽게 만드는 데 도움이되는 방법과 n의 복잡성을 얻기 위해 값을 다시 연결하는 방법을 완전히 이해합니다. 내 질문은 S (m) = T (2 ^ m)을 보낸 후에 어떻게 S (m / 2)를 도출하는 것입니다. 어떤 이유로 든 나에게 명백하지 않습니다. 보다 구체적으로, T (2 ^ (m / 2)) = S (m / 2)라고 어떻게 결론 지을 수 있습니까? 재발 T에서와 같이 하위 문제의 크기는 제곱근이되고 재발 S에서는 하위 문제의 크기가 절반으로 줄어 듭니다.

내가 이해하지 못하는 유일한 부분은 "S (m / 2) = T (2 ^ (m / 2))"라고 말할 때입니다. 그것은 저에게 명백하지 않은 유일한 부분입니다. 변수 대체를하는 아이디어에는 익숙하지만 전체 재발을 대체하는 아이디어에는 익숙하지 않습니다.

아, 마지막 편집은 저에게 도움이되었습니다. 지금은 분명합니다, 감사합니다!

나는 조금 의심했다. 내가 함수 S ()를 k쓰면 방정식 S (k) = 2S (k / 2) + m 아래에 도달 m합니다.k

— Atinesh

$S(m) = T(2^m)$ $S$ $T$ $m$ $2^m$

$S$

$S'$ $m$ $2^m$
$T$

따라서 전환은 다음과 같습니다.

m \to 2^{m} \to T (2^{m}) = S (m)

$m\to 2^m\to T(2^m) = S(m)$

\frac{m}{2} \to 2^{m / 2} \to T (2^{m / 2}) = S (\frac{m}{2}) .

$\tfrac{m}2\to2^{m/2}\to T(2^{m/2}) = S(\tfrac{m}2)\,.$

— 비벡 아난드 샘 패스
소스