번째 피보나치 수 를 계산하는 효율적인 알고리즘

피보나치 수 회 반복은 다음을 사용하여 선형 시간에 계산 될 수있다 :$n$

def fib(n):
    i, j = 1, 1
    for k in {1...n-1}:
        i, j = j, i+j
    return i

피보나치 수 번째는 다음과 같이 계산 될 수있다 [ φ의 N / $n$. 그러나 이것은 비교적 작은n에대한 반올림 문제에도 문제가 있습니다. 아마도이주위에 방법이있지만 오히려 그렇게하지 않을 것입니다.$\left[\varphi^n / \sqrt{5}\right]$$n$

부동 소수점 산술에 의존하지 않는 n 번째 피보나치 수 를 계산 하는 효율적인 (값 이상의 로그 ) 알고리즘이 있습니까? 정수 연산 ( + , − , × , / )을 일정한 시간에 수행 할 수 있다고 가정합니다 .$n$$n$$+$$-$$\times$$/$

넌 매트릭스 전원 공급 및 신원 사용할 수 계산 모델에서 반복 제곱을 사용하여 전력 공급을 구현하는 경우 이는 O ( log n ) 알고리즘입니다.

이 수학적 기사 : 큰 피보나치 수를 계산하는 빠른 알고리즘 (Daisuke Takahashi) : PDF를 읽을 수 있습니다 .

더 간단하게, C ++ (GMP없이) 및 Python으로 여러 피보나치 알고리즘을 구현했습니다. Bitbucket에서 완전한 소스 . 메인 페이지에서 다음 링크를 따라갈 수도 있습니다.

• C ++ HTML 온라인 문서.
• 약간의 수학적 문서 : 피보나치 수-좋은 알고리즘을 구현하기위한 여러 관계

가장 유용한 공식은 다음과 같습니다.

• $F_{2n} = F^2_{n + 1} - F^2_{n - 1} = 2 F_n F_{n - 1} + F^2_n$
• $F_{2n + 1} = F^2_{n + 1} + F^2_n$

알고리즘에주의하십시오. 동일한 값을 여러 번 계산해서는 안됩니다. 간단한 재귀 알고리즘 (Python) :

def fibonacci_pair(n):
    """Return (F_{n-1}, F_n)"""
    if n != 0:
        f_k_1, f_k = fibonacci_pair(n//2)  # F_{k-1},F_k with k = n/2

        return ((f_k**2 + f_k_1**2,
                 ((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2) if n & 1 == 0  # even
                else (((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2,
                      (f_k + f_k_1)**2 + f_k**2))
    else:
        return (1, 0)

$O(\log n)$

$O(\log_2 n)$

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