다중 집합의 분산 된 순열 두 개를 무작위로 생성하는 효율적인 알고리즘

배경

$\newcommand\ms[1]{\mathsf #1}\def\msD{\ms D}\def\msS{\ms S}\def\mfS{\mathfrak S}\newcommand\mfm[1]{#1}\def\po{\color{#f63}{\mfm{1}}}\def\pc{\color{#6c0}{\mfm{c}}}\def\pt{\color{#08d}{\mfm{2}}}\def\pth{\color{#6c0}{\mfm{3}}}\def\pf{4}\def\pv{\color{#999}5}\def\gr{\color{#ccc}}\let\ss\gr$ 두 개의 동일한 대리석 배치가 있다고 가정 합니다. 각 대리석은 인 색상 중 하나 일 수 있습니다 . 하자 색상의 구슬의 수를 나타내는 각 배치에있다. $n$ $c$ $c≤n$ $n_i$ $i$

하자 MULTISET 수 하나 개의 배치를 나타내는. 에서는 주파수 표현 , 또한로서 기록 될 수있다 . $\msS$ $\small\{\overbrace{\po,…,\po}^{n_1},\;\overbrace{\pt,…,\pt}^{n_2},\;…,\;\overbrace{\vphantom 1\pc,…,\pc}^{n_c}\}$ $\msS$ $(\po^{n_1} \;\pt^{n_2}\; … \;\pc^{n_c})$

의 고유 한 순열 수는 다항식으로 제공됩니다 . $\msS$

| S_{S} | = (\binom{n}{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{c}}) = \frac{n!}{n_{1}! n_{2}! \dots n_{c}!} = n! \prod_{i = 1}^{c} \frac{1}{n_{i}!} .

$\left|\mfS_{\msS}\right|=\binom{n}{n_1,n_2,\dots,n_c}=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_c!}=n! \prod_{i=1}^c \frac1{n_i!}.$

질문

의 두 개의 분산 된 순열 $P$ 와 를 무작위 로 생성하는 효율적인 알고리즘이 있습니까? (분포는 균일해야합니다.) $Q$ $\msS$

순열 $P$ 인 확산 마다 별개의 요소의 경우 $i$ 의 $P$ 의 경우 $i$ 에서 거의 균일하게 이격되는 $P$ .
예를 들어, $\msS=(\po^4\;\pt^4)=\{\po,\po,\po,\po,\pt,\pt,\pt,\pt\}$ .
- $\{\po, \po, \po, \pt, \pt, \pt, \pt, \po\}$ 는 확산되지 않습니다
- $\{\po, \pt, \po, \pt, \po, \pt, \po, \pt\}$ 는 확산
더 엄격하게 :
- 경우 , 하나의 인스턴스 만이 "밖으로 공간"에 , 이렇게하자 . $n_i=1$ $i$ $P$ $\Delta(i)=0$
- 그렇지 않으면 를 의 인스턴스 와 인스턴스 사이의 거리로 둡니다 . 인스턴스 간 예상 거리를 빼고 다음을 정의합니다. 경우 균일하게 이격되는 후 0이어야하거나 매우 가까운 제로 경우 . $d(i,j)$ $j$ $j+1$ $i$ $P$ $i$ $δ (i, j) = d (i, j) - \frac{n}{n_{i}} Δ (i) = \sum_{j = 1}^{n_{i} - 1} δ (i, j)^{2}$ $\delta(i,j)=d(i,j)-\frac n{n_i}\qquad\qquad\Delta(i)=\sum_{j=1}^{n_i-1} \delta(i,j)^2$ $i$ $P$ $\Delta(i)$ $n_i\nmid n$
이제 통계량 를 정의 하여 에서 가 균등하게 간격을 두는 정도를 측정하십시오 . 가 0에 가까우거나 대략 경우 확산을 호출 합니다. (하나가 임계 값을 선택할 수 특정 되도록 확산이면 ). $s(P)=\sum_{i=1}^c\Delta(i)$ $i$ $P$ $P$ $s(P)$ $s(P)\ll n^2$ $k\ll1$ $\msS$ $P$ $s(P)<kn^2$

이 제약 조건 은 다중 세트 ( ) 및 밀도 바람개비 문제라고하는보다 엄격한 실시간 스케줄링 문제를 회상합니다. . 목적은 길이 의 임의의 서브 시퀀스 가 적어도 하나의 인스턴스를 포함 하도록 순환 무한 시퀀스 를 스케줄링하는 것이다. 다시 말해서, 실행 가능한 스케줄은 모든 ; 경우 치밀 ( )이면 및 . 바람개비 문제가 NP- 완전한 것으로 보입니다. $\ms A=n/\msS$ $a_i=n/n_i$ $\rho=\sum_{i=1}^c n_i/n=1$ $P$ $a_i$ $i$ $d(i,j)≤a_i$ $\ms A$ $\rho= 1$ $d(i,j)=a_i$ $s(P)=0$
두 순열 와 된다 미친 경우 A는 교란 의 ; 즉, 모든 인덱스 대해 입니다 . $P$ $Q$ $P$ $Q$ $P_i ≠ Q_i$ $i\in[n]$
예를 들어, . $\msS=(\po^2\;\pt^2)=\{\po,\po,\pt,\pt\}$
- $\{\po, \pt, \po, \pt\}$ 및 는 정렬되지 않았습니다. $\{\po, \po, \pt, \pt\}$
- $\{\po, \pt, \po, \pt\}$ 및 가 분리되었습니다. $\{\pt, \po, \pt, \po\}$

탐색 적 분석

대해 및 인 다중 세트 제품군에 관심이 있습니다. 특히, . $n=20$ $n_i=4$ $i\lesssim4$ $\msD=(\gr1^4\,\gr2^4\,\gr3^4\,\gr4^3\,\gr5^2\,\gr6^1\,\gr7^1\,\gr8^1)$

두 랜덤 순열을 확률 및 중 되어 미친은 3 %에 관한 것이다. $P$ $Q$ $\msD$

가 번째 Laguerre 다항식 인 경우 다음과 같이 계산할 수 있습니다 . 설명 은 여기 를 참조 하십시오 . $L_k$ $k$
$\begin{aligned} | D_{D} | & = \int_{0}^{\infty} d t e^{- t} \prod_{i = 1}^{c} L_{n_{i}} (t) = \int_{0}^{\infty} d t e^{- t} (L_{4} (t))^{3} (L_{3} (t)) (L_{2} (t)) (L_{1} (t))^{3} \\ = 4.5 \times 10^{11} \\ | S_{D} | & = n! \prod_{i = 1}^{c} \frac{1}{n_{i}!} = \frac{20!}{(4!)^{3} (3!) (2!) (1!)^{3}} = 1.5 \times 10^{13} \\ p & = | D_{D} | / | S_{D} | \approx 0.03 \end{aligned}$ $\begin{align*} \left|{\mathfrak D}_{\msD}\right| &=\int_0^\infty \!\!dt\; e^{-t}\, \prod_{i=1}^c L_{n_i}(t) =\int_0^\infty \!\!dt\; e^{-t}\, \bigl(L_4(t)\bigr)^3\bigl(L_3(t)\bigr)\bigl(L_2(t)\bigr)\bigl(L_1(t)\bigr)^3\\ &=4.5\times10^{11}\\ \left|\mfS_{\msD}\right| &=n!\prod_{i=1}^c \frac1{n_i!} =\frac{20!}{(4!)^3\,(3!)\,(2!)\,(1!)^3} =1.5\times10^{13}\\ p&=\left|{\mathfrak D}_{\msD}\right|/ \left|\mfS_{\msD}\right|\approx0.03\end{align*}$
랜덤 순열 확률 의 인 확산은 거의 임의의 임계 값 설정에 대해 0.01 % 인 . $P$ $\msD$ $s(P)<25$

아래는 의 100,000 개 샘플에 대한 경험적 확률도입니다. 여기서 는 의 임의 순열입니다 . $s(P)$ $P$ $\msD$

중간 표본 크기에서 입니다. $s(P)\sim \text{Gamma}(\alpha\approx8,\beta\approx18)$

$\begin{array}{ccl} P & s (P) & cdf (s (P)) \\ {1, 8, 2, 3, 4, 1, 5, 2, 3, 6, 1, 4, 2, 3, 7, 1, 5, 2, 4, 3} & \frac{11}{9} \approx 1 & < 10^{- 5} \\ {8, 2, 3, 4, 1, 6, 5, 2, 3, 4, 1, 7, 1, 2, 3, 5, 4, 1, 2, 3} & \frac{140}{9} \approx 16 & < 10^{- 4} \\ {3, 6, 5, 1, 3, 4, 2, 1, 2, 7, 8, 5, 2, 4, 1, 3, 3, 2, 1, 4} & \frac{650}{9} \approx 72 & 0.05 \\ {3, 1, 3, 4, 8, 2, 2, 1, 1, 5, 3, 3, 2, 6, 4, 4, 2, 1, 7, 5} & \frac{1223}{9} \approx 136 & 0.45 \\ {4, 1, 1, 4, 5, 5, 1, 3, 3, 7, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 8, 2, 2, 6} & \frac{1697}{9} \approx 189 & 0.80 \end{array}$ $\begin{array}{ccl}\renewcommand\mfm[1]{\textbf{#1}} \hline P & s(P) & \text{cdf}(s(P)) \\ \hline \{\po, \ss8, \pt, \pth, \pf, \po, \pv, \pt, \pth, \ss6, \po, \pf, \pt, \pth, \ss7, \po, \pv, \pt, \pf, \pth\} & \frac{11}9\approx1\, & <10^{-5} \\ \{\ss8, \pt, \pth, \pf, \po, \ss6, \pv, \pt, \pth, \pf, \po, \ss7, \po, \pt, \pth, \pv, \pf, \po, \pt, \pth\} & \frac{140}9\approx16 & <10^{-4} \\ \{\pth, \ss6, \pv, \po, \pth, \pf, \pt, \po, \pt, \ss7, \ss8, \pv, \pt, \pf, \po, \pth, \pth, \pt, \po, \pf\} & \frac{650}9\approx72 & \phantom{<1}0.05 \\ \{\pth, \po, \pth, \pf, \ss8, \pt, \pt, \po, \po, \pv, \pth, \pth, \pt, \ss6, \pf, \pf, \pt, \po, \ss7, \pv\} & \frac{1223}9\approx136 & \phantom{<1}0.45 \\ \{\pf, \po, \po, \pf, \pv, \pv, \po, \pth, \pth, \ss7, \po, \pt, \pt, \pf, \pth, \pth, \ss8, \pt, \pt, \ss6\} & \frac{1697}9\approx189 & \phantom{<1}0.80 \\ \hline \end{array}$

두 개의 임의 순열이 유효 할 확률 (확산 및 배열 모두)은 약 입니다. $v\approx(0.03)(0.0001)^2\approx10^{-10}$

비효율적 인 알고리즘

세트의 무작위 배열을 생성하는 일반적인 "빠른"알고리즘은 거부 기반입니다.

이렇게
     P ← random_permutation ( D를 )
is_derangement ( D , P )까지P를 
반환

대략 가능한 배열 이 있기 때문에 대략 반복 이 필요 합니다. 그러나 거부 기반의 무작위 알고리즘은 반복 순서로 수행 문제에는 효율적이지 않습니다 . $e$ $n!/e$ $1/v\approx10^{10}$

Sage가 사용하는 알고리즘 에서, 다중 집합의 무작위 배열은“가능한 모든 배열 목록에서 무작위로 요소를 선택함으로써 형성됩니다.” 그러나 열거 할 유효한 순열 이 있기 때문에 비효율적이며 , 어쨌든이를 수행하는 알고리즘이 필요합니다. $v\,|\mfS_{\msD}|^2\approx10^{16}$

추가 질문

이 문제의 복잡성은 무엇입니까? 네트워크 흐름, 그래프 채색 또는 선형 프로그래밍과 같은 친숙한 패러다임으로 줄일 수 있습니까?

— hftf
소스

당신이 "밖으로 간격"당신의 정의를하지 않으려에 대해서는 에 과 센티넬로? 즉, 단일 요소는 중간에 있어야하고 2 개는 순열을 3 분의 1로 분할해야합니다.

d (i, j) - n / (n_{i} + 1)

$d(i,j) - n/(n_i + 1)$

0 \leq i \leq j \leq n + 1

$0 \leq i \leq j \leq n+1$

P_{0} = P_{n + 1} = i

$P_0 = P_{n+1} = i$

— Raphael

사악한 대해 경우 어떻게됩니까 (작지만 크지 만). 우리는 심지어 않습니다 이 보다 확산 순열을? 우리는 분명히 두 가지 이상한 것들을 찾기 위해 변화를 서 있지 않습니다! 번 이상 요소가 발생할 수없는 것 같습니다 .

S = {1^{n - k}, 2^{k}}

$S = \{ 1^{n-k}, 2^k\}$

k

$k$

n / 2

$n/2$

— Raphael

모든 확산 순열 쌍 중 모든 정렬 된 순열 쌍의 비율은 얼마입니까? 마찬가지로, 정렬 된 순열의 모든 쌍 중에서 몇 개의 확산 된 순열로 구성됩니까? (두 비율이 "높음"인 경우 프로세스의 절반에 노력을 집중하고 나머지는 거부 할 수 있습니다.)

— Raphael

@Raphael 100 만 임의 순열 (#의 3A) , 이 561 확산 사람이 있었다 . 쌍이 .

D

$\mathsf D$

s (P) \leq 30

$s(P)\le 30$

6118 / (\binom{561}{2}) = 6118 / 157080 \approx 3.9 %

$6118/\binom{561}{2}=6118/157080\approx3.9\%$

— hftf

@Raphael (# 3b) 의 천만개의 임의의 순열 쌍 중 306893 쌍이 배열되었습니다. 이 쌍 중 29 개만 두 순열을 모두 . 다음은 히스토그램 ( values )입니다.

D

$\mathsf D$

s (P) \leq 50

$s(P)\le50$

— hftf

답변:

한 가지 접근 방식 :이 문제를 다음 문제로 줄일 수 있습니다. 부울 수식 주어지면 만족스러운 대입 중에서 무작위 로 대입 를 임의로 선택하십시오 . 이 문제는 NP-hard이지만, 거의 균일하게 분포 된 를 생성하는 표준 알고리즘이 있습니다 . 예를 들어, 하나의 방법은 해시 함수를 선택하는 , 그 범위 (의 할당 만족의 수와 동일한 크기를 엄선 크기 갖는다 ) 랜덤 값으로 균일하게 선택할 의 범위 내에서 $\varphi(x)$ $x$ $\varphi(x)$ $x$ $h$ $\varphi$ $y$ $h$ 그런 다음 SAT 솔버를 사용하여 수식 만족스러운 대입을 찾으십시오 . 효율적으로 만들기 위해 를 희소 선형 맵으로 선택할 수 있습니다 . $\varphi(x) \land (h(x)=y)$ $h$

대포로 벼룩을 찍을 수도 있지만, 다른 접근 방법이 없다면 시도해 볼 수 있습니다.

— DW
소스

따라하기 어려운 찾기. 는 부울 값이고 는 이진 문자열 (이진 변수 집합)입니까? 마지막 방정식은 ...?

φ (x)

$\varphi(x)$

h (x)

$h(x)$

— vzn

이 문제에 대한 확장 된 토론 / 분석은 cs chat 에서 시작 하여 문제의 복잡한 요구 사항에 대한 일부 주관성을 발견했지만 명백한 오류나 감독을 찾지 못했습니다. ¹

다음은 SAT를 기반으로 한 다른 솔루션과 비교할 때 상대적으로 "빠르고 더러움"이지만 디버그하기가 쉽지 않은 일부 테스트 / 분석 된 코드입니다. 그 느슨하게 개념적으로 예 다소 유사한 지역 의사 / 욕심 최적화 방식에 따라 2-OPT를 위한 TSP . 기본적인 아이디어는 일부 제약 조건에 맞는 임의의 솔루션으로 시작한 다음 개선 사항을 찾고, 탐욕스럽게 개선 사항을 검색하고 반복하고, 모든 로컬 개선 사항이 다 끝나면 종료하는 것입니다. 설계 기준은 알고리즘이 가능한 한 효율적이고 거부를 피해야한다는 것이었다.

예를 들어 SAGE [5]에서 사용되는 디 포지셔닝 알고리즘 [4]에 대한 연구가 있지만 멀티 세트를 중심으로하지는 않습니다.

단순한 섭동은 튜플에서 두 위치의 "스왑"일뿐입니다. 구현은 루비입니다. 다음은 라인 번호에 대한 몇 가지 개요 / 노트입니다.

qb2.rb (gist-github)

여기서 접근 방식은 두 개의 정렬되지 않은 튜플 (# 106)로 시작한 다음 분산을 derangesperse유지하면서 (# 97) 이라는 개념으로 결합 된 분산 (# 107)을 국부적으로 / 탐욕스럽게 개선하는 것 입니다. 튜플 쌍에서 두 개의 동일한 위치를 바꾸면 분산이 유지되고 분산이 개선 될 수 있으며 이는 분산 방법 / 전략의 일부입니다.

derange루틴 나중에 스왑 동일한 소자 (# 10)에 있지 않은 배열 요소 어레이 (MULTISET)과 스왑에 좌우로 작동한다. 마지막 위치에서 스왑이 더 이상 발생하지 않고 두 튜플이 여전히 정렬 해제되어 있으면 알고리즘이 성공합니다 (# 16).

초기 튜플을 정리하는 방법에는 3 가지가 있습니다. 두 번째 튜플 p2은 항상 섞입니다. "최고 1 차 순서"(# 128), 셔플 순서 (# 127) 및 "최하위 1 차 순서"( "최상위 마지막 순서") (# 126) 순서 로 튜플 1 ( p1)로 시작할 수 있습니다 .a.b.c.

분산 루틴 disperse은 더 복잡하지만 개념적으로 그렇게 어렵지는 않습니다. 다시 스왑을 사용합니다. 모든 요소에 대해 일반적으로 분산을 최적화하려고하기보다는 현재 최악의 경우를 반복적으로 완화하려고합니다. 아이디어는 1 개 찾을 수 있습니다 ^일 왼쪽에서 오른쪽으로 최소 분산 요소를. 섭동은 x, y가장 분산이 적은 쌍 의 왼쪽 또는 오른쪽 요소 ( 인덱스)를 다른 요소와 교환하지만 항상 분산을 감소시키는 쌍 사이에있는 요소는 절대로 바꾸지 않고 같은 요소로 교체하려는 시도를 건너 뜁니다 ( select# 71). . m쌍의 중간 점 인덱스입니다 (# 65).

그러나 분산은 각 쌍 (# 25, # 44)의 "최소 / 가장 왼쪽"분산을 사용하여 쌍 (# 40)의 두 튜플에 대해 측정 / 최적화됩니다.

알고리즘은 "가장 먼"요소를 1 ^위 ( sort_by / reverse# 71)로 바꾸려고 시도합니다 .

true, false최소 분산 쌍 (# 80)의 왼쪽 또는 오른쪽 요소를 바꿀지 여부를 결정하기위한 두 가지 전략이 있습니다 (스왑 위치의 왼쪽 요소를 왼쪽 / 오른쪽 요소로 오른쪽으로, 또는 가장 왼쪽 또는 오른쪽 요소로). 스왑 요소의 분산 쌍에서.

알고리즘은 더 이상 분산을 개선 할 수 없을 때 종료됩니다 (# 91).

통계는 c3 가지 접근 방식 (# 116) 및 c= 1000 범위 초과 분산 (# 97)에 대한 = 1000 범위 이상 거부에 대한 거부에 대해 출력되며, 거부 로부터 거리가 떨어진 쌍 (# 19, # 106)에 대한 2 개의 분산 알고리즘을 확인합니다. 후자는 총 평균 분산을 추적합니다 (확장 된 보증 해제 후). 예제 실행은 다음과 같습니다.

c       0.661000
b       0.824000
a       0.927000
[2.484, 2, 4]
[2.668, 2, 4]

이것은 a-true알고리즘이 ~ 92 % 비 거절 및 평균 최악의 분산 거리 ~ 2.6으로 가장 우수한 결과를 제공하며 1000 회 이상 시행 된 최소 2 회, 즉 모든 동일한 요소 쌍 사이에 최소 1 개의 비 균일 개입 요소를 보장합니다. 3 개의 비 균등 중재 요소만큼 높은 솔루션을 찾았습니다.

배열 해제 알고리즘은 선형 시간 사전 거부이며 (분할 된 입력에서 실행되는) 분산 알고리즘은 ~ 있습니다. $O(n \log n)$

^한 문제는 "풍수"[1] 또는 "좋은"는 다소 주관적이고 아직 "공식적으로"정량화하는 "좋은"무작위 순서 소위 만족하는 quizbowl 패킷 준비를 찾을 수 있습니다; 문제의 저자는 퀴즈 커뮤니티와 "풍수 전문가"의 연구에 근거하여 문제를 분산 / 분산 기준으로 분석 / 축소했습니다. [2] "풍수 규칙"에 대한 다른 아이디어가 있습니다. 일부 "게시 된"연구는 알고리즘에 대해 수행되었지만 초기 단계에 나타납니다. [3]

[1] 패킷 풍수 / QBWiki

[2] 퀴즈 패킷 및 풍수 / Lifshitz

[3] 질문 배치 , HSQuizbowl 리소스 센터 포럼

[4] 무작위 변위 생성 / Martinez, Panholzer, Prodinger

[5] 세이지 배열 알고리즘 (python) / McAndrew

— vzn
소스

참고로, derange 루틴에 결함이 있으며 항상 derange되지는 않습니다. 스왑 위치는 아무 것도 바꾸지 않고 진행될 수 있습니다. 성공을 올바르게 테스트하기위한 간단한 수정 사항이 있습니다.

— vzn