나는 대각선 화를 기반으로 중지 문제 (예를 들어 Papadimitriou의 교과서에서 제공)의 결정 불가능한 증거를 이해합니다.

증거가 설득력 이 있지만 (각 단계를 이해합니다), 문제만으로 시작하여 누군가가 어떻게 그것을 이끌어 낼지 알지 못한다는 의미에서 나 에게는 직관적이지 않습니다.

이 책에서 증명은 다음과 같습니다. "$M_H$ 입력에 정지 문제 해결$M;x$ 이며, 결정 튜링 기계 여부$M$ 입력 수렴된다$x$ 튜링 기계 구조체.$D$ 튜링 기계 얻어$M$ 하면서 입력, 실행$M_H(M;M)$하고 출력을 반전시킵니다. " 그런 다음가 만족스러운 출력을 생성 할 수 없음을 보여줍니다.$D(D)$

의 겉보기 임의 구성 , 특히 을 스스로 에게 먹이고 를 스스로 에게 먹이는 아이디어 는 직관을 갖고 싶습니다. 사람들이 처음에 이러한 구조와 단계를 정의하게 된 계기는 무엇입니까?$D$$M$$D$

누구든지 시작해야 할 논쟁의 유형을 모르는 경우 누군가가 대각선 화 주장 (또는 다른 증거)에 자신의 길을 추론하는 방법에 대한 설명이 있습니까?

첫 번째 답변이 주어진 부록 :

따라서 첫 번째 답변은 중지 문제의 결정 불가능 성을 입증하는 것이 Cantor와 Russell의 이전 작업과 대각선 화 문제의 개발에 기초한 것이며, "처음부터"시작하는 것은 단순히 그 주장을 재발견해야한다는 것을 의미합니다.

충분합니다. 그러나 우리가 대각선 화 주장을 잘 이해 한 것으로 받아 들여도, 나는 그것으로부터 정지 문제까지 "직관 차이"가 있음을 여전히 발견한다. 난수에 대한 Cantor의 증거는 셀 수 없습니다. 러셀의 역설은 더욱 그렇습니다.

여전히 보지 못하는 것은 누군가 의 "자체 응용 프로그램" 기반으로 을 정의한 다음 를 다시 적용 하는 것입니다. 그것은 일단 대각선을 정의하면 분명히 대각선 화와 잘 작동하지만 대각선 화와 관련이없는 것 같습니다 (Cantor의 주장에는 이와 비슷한 것이 없다는 의미에서).$D(M)$$M$$M;M$$D$

추신

@babou는 나보다 더 나에게 문제가되는 부분을 요약했다. "증명서의 여러 버전의 문제점은 구조물이 마술 모자에서 가져온 것 같습니다."

편집에서 다음을 작성하십시오.

내가 아직 보이지 않는 것은 정의하는 사람이 동기를 부여 할 것입니다 를 기반으로 M 의 "자기 응용 프로그램" M ; M 을 입력 한 다음 D 를 다시 적용하십시오 . 그것은 일단 대각선을 정의하면 분명히 대각선 화와 잘 작동하지만 대각선 화와 관련이없는 것 같습니다 (Cantor의 주장에는 이와 비슷한 것이 없다는 의미에서).$D(M)$$M$$M;M$$D$

튜링의 증거에 대한 일반적인 "인기"요약은 다음과 같습니다.

"우리는 기계가 있다면 , 우리는 다른 시스템의 구축이 사용할 수있는 또 다른 튜링 기계가 정지 여부를 결정할 수있는 D를 튜링 기계를 지정해, 그 M 및 경우에만 경우, 중지 것 M이 한 하지 정지를.하지만 다음 " D 를 자신의 입력으로 전달할 수 있고 역설을 얻을 수 있습니다.이 기계는 멈추지 않은 경우에만 멈추게됩니다!"$M_H$$D$$M$$M$$D$

이제, 위의 요약이 중요한 세부 사항에 대한 광택이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 튜링 머신 의 정지 또한 입력에 따라 달라집니다. 그러나이 문제는 충분히 쉽게 해결할 수 있습니다. 우리는 D 를 각 입력 기계 M 에 대해 적절한 입력 x M 을 선택 하여 M H에 전달해야합니다 .$M$$D$$x_M$$M$$M_H$

우리가 궁극적으로 모순을 도출하기를 원한다면 적합한 선택은 무엇입니까 ? 글쎄, 자연스러운 선택은 위의 "손잡이"증명에 의해 직접 제안되며, 여기서 우리는 머신 D 를 스스로 실행함으로써 궁극적으로 모순을 얻는다 .$x_M$$D$

따라서,의 행동 로 호출 할 때 정말이 경우에는 역설적 인 일, 즉 D ( D ) , 우리가 원하는 것은의 정지입니다 D ( M ) 의 동작에 의존하는 M 로 호출 할 때 M ( M ) . 이런 식으로 M = D 를 설정하여 원하는 모순을 얻습니다 .$D$$D(D)$$D(M)$$M$ $M(M)$$M = D$

이게 유일한 선택은 아닙니다. 우리는 또한 기계 건설, 말,에 의해 같은 모순을 도출 수도 등이 D ' ( M ) 가 정지는 경우에만 경우 M ( D ' ) (보다는 M ( M은 ) )하지 않는 정지를. 이 기계 것이 분명 반면 그러나, D가 쉽게 전달하기 전에 입력을 복제 할 수 있습니다 M H , 그것은 기계 만드는 방법을 꽤 즉시 분명 아니다 D ' 호출 할 것이다 M H를 입력으로 자신의 코드를. 따라서 이것을 사용하여$D'$$D'(M)$$M(D')$$M(M)$$D$$M_H$$D'$$M_H$ 대신에 D는 불필요하게 증거를 복잡하게하고, 덜 직관적으로 만들 것입니다.$D'$$D$

누군가가 "단순한"맥락에서 어느 시점에서 비슷한 주장을하지 않고이 주장에 대한 자신의 길을 추리한다고 생각하는 것은 잘못 일 수도있다.

튜링은 캔터의 현실화 할 수없는 비대칭 증거를 알고 있었다. 더욱이 그의 연구는 러셀의 역설 (대각선 거 논증을 사용함)과 고델의 첫 불완전 성 정리 (대각선 거 논증을 사용함)를 포함하는 수학의 역사의 일부입니다. 실제로, 고델의 결과는 중단 문제의 결정 불가능한 증거 (따라서 힐베르트의 엔 츠키 둔스 문제에 대한 부정적인 대답)와 깊은 관련이 있습니다.

따라서 내 주장은 귀하의 질문이 잘못 발견되었으며 나머지 (또는 현저하게 유사한)를 먼저 거치지 않으면 중단 문제에 도달 할 수 없다는 것입니다. 우리는 역사를 거치지 않고 학생들에게 이러한 것들을 보여 주지만, 수학자 인 경우에는 아무것도없이 Turing Machines로 갈 가능성이 거의 없습니다. 그들의 요점은 계산을 공식화하는 것이 었습니다. 많은 사람들이 가지고있는 문제 그 시점에서 수십 년 동안 노력하고 있습니다.

캔터는 현실의 헤아릴 수없는 사실에 대한 첫 번째 증거에서 대각 화를 사용하지도 않았습니다. 출판 일을 생각했을 때의 근사치 (항상 신뢰할 수있는 것은 아님)로 추정하면 이미 알고있는 데 약 17 년이 걸렸습니다. 사선 화 논증을 해결하기 위해 현실은 헤아릴 수 없었다.

언급 한 증거의 "자체 응용 프로그램"과 관련하여, 이것은 또한 러셀 역설의 핵심 부분이며 (전적으로 자체 참조에 달려 있음) 고델의 첫 불완전 성 정리는 러셀 역설의 강력한 버전과 같습니다. . 괴팅 문제의 결정 불가능한 증거는 괴델의 연구에 의해 너무나 많은 정보를 얻었 기 때문에 그것이 없이는 거기에 도착하기가 어렵다는 것을 알기 때문에 "자체 응용 프로그램"이라는 아이디어는 이미 정지 문제에 도달하는 데 필요한 배경 지식의 일부입니다. . 마찬가지로 Gödel의 작업은 Russell의 역설을 재 작업 한 것이므로 다른 사람이 없이는 얻을 수 없습니다 (Russel이 이와 같은 역설을 처음으로 관찰 한 것은 아니므로 대각선 화 논거의 프로토 타입은 600BCE). Turing과 Gödel의 작품 (여기서 우리가 이야기하는 내용)은 자기 참조 문제와 그것이 수학에 어떻게 포함되는지에 대한 점점 더 강력한 시연으로 볼 수 있습니다. 다시 한 번, 튜링이 다루고있는 수준에서 이러한 아이디어가 나왔음을 제안하는 것은 매우 어렵습니다.사전은 , 그들은 철학, 수학, 논리의 부분에 천년의 작품의 절정이었다.

이 자체 참조는 Cantor의 주장의 일부이며 Turing의보다 근본적으로 논리적 인 작업과 같은 부 자연스러운 언어로 제시되지는 않습니다. Cantor의 대각 화는 세트의 힘 세트 (본질적으로 Cantor의 정리의 일부)에서 선택된 요소로 표현 될 수 있습니다. 우리가 (긍정적) 실수를 자연의 부분 집합으로 생각한다면 (이것이 작동하기 위해 실제로 숫자를 주문할 필요는 없으며, 더 간단하게 표현할 수 있습니다) 자연에 대한 추측이 있다고 주장하십시오. 사실, 우리는이 요소를 자신의 것이 아닌 자연의 집합으로 삼음으로써, 피의 이미지에 있지 않은 힘 집합 (즉, 실제)의 요소를 생성 할 수 있습니다 (따라서 모순을 유도합니다) 용의자의 이미지. 우리가 이런 식으로 말하면

자체 적용은 증거의 필수 성분이 아닙니다

간단히 말해서

정지 문제를 해결 하는 튜링 기계 가있는 경우 해당 기계에서 튜링 기계 의 정지 동작이 될 수없는 정지 동작 (정지 기능)을 가진 다른 튜링 기계 L 을 만들 수 있습니다.$H$$L$

자체 적용 함수 ( 이 답변에서 L 이라고 함 -표기 불일치에 대해 미안함)를 기반으로하는 역설 은 증거의 필수 요소는 아니지만 하나의 특정 모순의 구성과 함께 사용할 수있는 장치로, "실제" 건설의 목적 ". 아마도 직관적이지 않은 이유 일 것입니다.$D$$L$

각 튜링 머신과 관련된 특징적인 멈춤 기능으로 정의 할 수있는 중지 가능한 행동 수는 튜링 머신보다 많지 않다는 것이 더 직접적인 것으로 보입니다. 리스트에없는 특징적인 정지 기능을 건설적으로 정의하고, 그로부터 정지 문제를 해결 하는 기계 , 새로운 특징 정지 기능을 갖는 기계 L로부터 구축 할 수있다. 그러나 구조상 튜링 기계의 특징적인 정지 기능이 아니기 때문에 L 은 하나가 될 수 없습니다. L 은 튜링 기계 제작 기술을 사용하여 H 로 제작 되므로 H 는 튜링 기계가 될 수 없습니다.$H$$L$$L$$L$$H$$H$

많은 증거에서 사용되는 자체에 대한 자체 적용은 모순을 보여주는 방법입니다. 그러나 불가능한 특성 정지 기능이 튜링 허용 특성 정지 기능 목록의 대각선에서이 대각선을 뒤집어서 ( 0 과 1을 교환하여) 구축 한 경우에만 작동합니다 . 그러나 새로운 특성 정지 기능을 구축하는 다른 많은 방법이 있습니다. 그러면 튜링이 아닌 것을 더 이상 거짓말 쟁이 역설로 증명할 수 없습니다 (적어도 단순하지는 않습니다). 자체 응용 프로그램 구조는 필수적이지 않기 때문에 직관적이지 않지만 마술 모자에서 꺼낼 때 매끄럽게 보입니다.$L$$0$$1$

기본적으로 은 튜링 머신이 아닙니다. 튜링 머신이 아닌 정지 동작을 갖도록 설계 되었기 때문에 더 직감적으로 표시 할 수 있습니다.$L$

참고 : 불가능한 특성 정지 기능을 건설적으로 선택하기 위해 Turing machine 열거 형의 계산 순서가 대각선이되도록 계산할 수 있습니다 (모름). 그러나 imho, 이것은 자기 적용 이보다 직관적이고 흥미로운 사실을 숨기는 간접적 인 증거 기술이라는 사실을 바꾸지 않습니다.

증거에 대한 자세한 분석

나는 역사적이지 않을 것입니다 (그러나 사람들 덕분에 그것을 좋아합니다). 그러나 나는 직관적 인면을하려고 노력하고 있습니다.

나는 생각 @vzn 주어진 프리젠 테이션 나는 (내가 잊고 있었던) 오래전에 발생했던, 실제로는 오히려 직관적이며, 심지어 이름 대각는 설명한다. @vzn이 단순성을 충분히 강조하지 않았다고 생각하기 때문에 세부 사항에서만 반복하고 있습니다.

나의 목적은 Cantor의 증거를 알고, 증거를 검색하는 직관적 인 방법을 갖는 것입니다. 많은 버전의 증거의 문제점은 구조가 마술 모자에서 당겨진 것 같습니다.

내가 제공하는 증거는 질문에서와 정확히 동일하지는 않지만 내가 볼 수있는 한 정확합니다. 내가 실수하지 않았다면, 내가 생각하기에 몇 년이 지난 후에도 매우 다른 문제에 대해 연구 할 수 있기 때문에 직관적입니다.

(Cantor) 의 부분 집합의 경우$\mathbb N$

$S_j$$C_j(i)$$1$$i\in S_j$$0$

$T$$T[i,j]=C_j(i)$

그런 다음 대각선을 고려하여 D ( i ) = ¯ T [ i , i ] 와 같이 특성 함수 . 즉 , 모든 비트가 다른 값으로 반전 된 테이블의 대각선과 동일합니다.$D$$D(i)=\overline{T[i,i]}$

대각선과 관련하여 특별한 것은 없습니다. 단, 다른 기능 과 다른 특성 함수 를 얻는 쉬운 방법 이며, 우리가 필요한 전부입니다.$D$

따라서 특징 지어지는 부분 집합 은 열거 형에있을 수 없습니다. 열거 형에 해당되므로 N의 모든 하위 집합을 열거하는 열거 형이있을 수 없습니다 .$D$$\mathbb N$

이것은 초기 질문에 따르면 상당히 직관적입니다. 정지 문제의 증거를 직관적으로 만들 수 있습니까?

정지 문제의 경우 (튜링)

$M_j$$H_j(i)$$1$$M_j$$i$$0$

$T$$T[i,j]=H_j(i)$

$D$$D(i)=\overline{T[i,i]}$

$D$

$D$

$T$$H_j$

$H$$H(i,j)$$H_j(i)$

$H$$L$$D$$L$$H$$L(i)$$H(i,i)$$H(i,i)$$1$$L(i)$

$L$$H$$D$$L$$H$

_{나는 의도적으로 첫 번째 증거를 흉내 내고 작은 세부 사항으로 갔다.}

제 생각에는 이러한 방식으로 단계가 자연스럽게 진행된다는 것입니다. 특히 Cantor의 증거가 합리적으로 직관적이라고 생각할 때 더욱 그렇습니다.

하나는 먼저 소송의 구성을 열거합니다. 그런 다음 대각선을 가져 와서 모두를 만져서 행동에 대한 설명이없는 편리한 방법으로 수정 한 다음 행동에 대해 설명되지 않은 객체를 전시하여 모순을 얻습니다 ... 일부 가설이 참인 경우 : Cantor에 대한 열거 및 Turing에 대한 계산 가능한 중지 오라클의 존재.

$D$$T$$T$$L$$D$$L(i)$$H$$H(i,i)$

"다른"증거와의 비교

$L$$D$

우리는 튜링 기계에 해당하지 않는 특징적인 정지 기능을 갖춘 방식으로 만 빌드하고 그로부터 직접 모순을 얻습니다. 이것은 우리에게 대각선을 사용하지 않을 자유를줍니다 (가치있는 것).

$L$$j_L$$L=M_{j_L}$$L(j_L)$$T[j_L,j_L]=H(j_L,j_L)=1$$L(j_L)$$L(j_L)$$T[j_L,j_L]=H(j_L,j_L)=0$$L(j_L)$$L$$L$ 튜링 머신과 다른 특징적인 정지 기능을 갖도록 구성 되었기 때문에 튜링 머신이 될 수 없습니다.

단점은 우리가 대각선을 선택하지 않으면이 일반적인 증거가 훨씬 고통 스럽지만 위에서 사용 된 직접 접근 방식에는 아무런 문제가 없다는 것입니다. 그것이 유용 할 수 있는지 모르겠습니다.

Ran Raz로부터 들었던 베리의 역설 인 다른 역설을 사용한다는 사실에 대한 증거도 있습니다.

$B(n)$$n$$S(n)$$n$$B(n)$$S(n)$

다음 프로그램을 고려하십시오.

1. $n$

2. $L$

3. $L$

$B(n)$$n$$O(\log n)$$n$$O(\log n)$$C\log n$$N$$C\log N \leq N$$N$$B(N)$$B(N)$

Kritchman과 Raz가 보여준 것처럼 동일한 아이디어를 사용하여 괴델의 불완전 성 정리를 증명할 수 있습니다 .

여기에는 "재귀 정리"라고하는보다 일반적인 개념이보다 직관적 일 수 있습니다. 튜링 머신은 자체 설명을 사용하여 스스로 실행할 수 있습니다. 더 정확하게는 정리가 있습니다.

어떤 튜링 기계의 경우 T, 튜링 기계가 R계산하여 그 R(x) = T(R;x).

정지 문제를 해결할 수있는 튜링 머신이 있다면 위에서 설명한 아이디어를 사용하여 다양한 "거대한"튜링 머신을 쉽게 만들 수 있습니다 : 예를 들어 파이썬과 같은 표기법,

def liar():
    if halts(liar):
        return not liar()
        # or we could do an infinite loop
    else:
        return True

더 복잡한 주장은 본질적으로 재귀 정리에 호소하지 않고 직접 이것을하려고합니다. 즉, "자기 참조"기능 구성을위한 레시피를 반복합니다. 예를 들어 튜링 머신 T이 있다면 R만족스러운 구성을위한 레시피가 있습니다.

R(x) = T(R; x)

먼저 정의

S(M; x) = T(M(M; -); x)

여기서 M(M; -)내가 의미하는 바는 (설명을 사용하여) 계산 M하고 입력 y시 평가 하는 튜링 머신의 설명을 꽂는 것입니다 M(M; y).

자, 우리가 연결 S하면

S(S; x) = T(S(S; -); x)

원하는 복제본을 얻습니다. 우리가 설정하면

R = S(S; -)

우리는

R(x) = T(R; x)

바라는대로.

튜링 증명은 실제의 카디널리티 ( "카운터 블")가 1-1 서신에 넣을 수 없기 때문에 합리적 카디널리티 ( "카운터 블")보다 크다는 캔터 스의 증거와 매우 유사합니다. 매우 많은 참조 (아무도 아는가?) (iirc) CS 전문가는 몇 년 전에 한 번 강의에서 보여줬습니다 (어디에서 스스로 얻었는지 확실하지 않음). Cantors 증거에서 숫자의 n ^번째 자릿수와 세트 의 n ^번째 숫자의 세로 치수를 가진 격자를 상상할 수 있습니다 .

Turing halting proof 구성은 테이블의 내용이 1/0에 대해 Halt / Nonhalt이고 대신에 가로 축은 n ^번째 입력이고 세로 축은 n ^번째 컴퓨터 프로그램 이라는 점을 제외하고는 매우 유사 합니다. 다시 말해서 컴퓨터 프로그램과 입력의 조합은 셀 수 있지만 무한 테이블 / 어레이는 멈춤 검출기 기계가 존재한다고 가정 할 때 멈춤을 발생시키지 않는 케이스로 "플립"할 수있는 범용 머신 시뮬레이터 구조를 기반으로 계산할 수 없습니다 (따라서 reductio ad absurdam ) .

Turing이 Cantors 건설을 부분적으로 염두에 두었다는 증거 중 일부는 중지 증거가있는 그의 동일한 논문이 계산 가능한 숫자가있는 실제 숫자와 같은 계산 가능한 숫자에 대해 이야기하고 있다는 것입니다.

이 시점 에서 계산 결과의 기본 결과에 대한 공동 발견 자로 인정받은 Emil Post 의 작업에 주목할 가치가 있지만, 슬프게도 Entscheidungs 문제에 대한 솔루션의 공동 발견 자로 간주 되기에는 너무 늦게 게시되었습니다. . 그는 소위 Church-Turing 논문 의 정교화에 참여했다 .

포스트는 매우 철학적 인 고려, 즉 계산할 수있는 인간 능력 의 이론적 한계, 또는 심지어 일관된 방식으로 정확한 답변을 얻는 것에 동기를 부여했습니다 . 그는 이제 포스트 캐 노니 컬 시스템 (Post canonical systems) 이라고 불리는 시스템을 고안했다 . 그 세부 사항은 중요하지 않다. 그는이 시스템 이 심볼 조작만으로 해결할 수있는 문제 를 해결 하는 데 사용될 수 있다고 주장했다 . 흥미롭게도 그는 정신 상태를 명시 적으로 "기억"의 일부로 간주했기 때문에 적어도 그의 계산 모델이 전체적으로 인간 사고의 모델이라고 생각했을 것입니다.

Entscheidungs ​​문제는 Principia Mathematica 의 시스템에서 표현 가능한 제안의 이론을 결정하기 위해 그러한 계산 수단을 사용할 가능성을 고려합니다 . 그러나 PM은 모든 수학적 추론과 (적어도 논리 론 이 여전히 유행 했을 때) 확장하여 모든 인간 추론 을 표현할 수 있도록 명시 적으로 설계된 시스템 이었습니다!

그러므로 인간의 마음과 마찬가지로 Frege, Russel 및 세기의 전환에 대한 논리학 자의 작품을 통해 추론 적 시스템 자체에 그러한 시스템의 관심을 돌리는 것은 매우 놀라운 일이 아닙니다. 인간의 마음 자체의.

따라서이 시점에서 자기 참조 또는 시스템이 스스로를 설명 할 수있는 능력은 1930 년대 초에 다소 자연스러운 주제였습니다. 실제로 David Hilbert는 모든 인간 수학에 대한 공식적인 설명을 제공함으로써 수학 추론 자체를 "부트 스트랩 (bootstrap)"하기를 바랐습니다.

공식적인 시스템을 사용하여 자신에 대해 추론하는 단계가 이루어지면 일반적인 자기 참조 역설 ( 예전의 역사가 있음 ) 에서 벗어나는 홉 입니다.

모든 이후의 문 Principia는 어떤 형이상학 적 의미에서 "사실"로 추정되며, Principia는 표현할 수

프로그램 p은 true입력시 결과 를 반환n

해당 시스템의 모든 정리를 결정하는 프로그램이 존재하는 경우 거짓말 쟁이의 역설을 직접 표현하는 것은 매우 간단합니다.

이 프로그램은 항상 거짓말입니다.

로 표현 될 수있다

이 프로그램은 p항상 principia mathematica가 말하는 것과 반대되는 것을 p돌려줍니다.

어려움은 프로그램을 구축하는 것 p입니다. 그러나이 시점에서보다 일반적인 문장을 고려하는 것이 다소 당연합니다.

프로그램은 p항상 PM이 말하는 것과 반대의 결과 q를 반환합니다.

임의의 q. 그러나 p(q)주어진 것을 위해 쉽게 구축 할 수 있습니다 q! PM이 출력 할 것으로 예상하는 것을 계산하고 반대 답을 반환하십시오. 우리는 단지 대체 할 수 q가 p있기 때문에,하지만이 시점에서 p소요 q입력으로하고, q하지 않습니다 (그것은 어떤 입력을지지 않습니다). 이제 그 때문에 우리의 문장을 변경하자 p 하지 테이크 입력 :

프로그램 p은 PM이 말하는 것과 반대의 결과 q(r)를 반환합니다.

아가! 하지만 지금 p입력 2 개를 취 q하고 r, 반면에 q단지 1. 그러나 대기한다 : 우리가 원하는 p어쨌든 두 곳에서, 그렇게 r하지 않은 것입니다 새로운 정보의 조각, 그러나 다시 데이터를 그냥 같은 부분, 즉 q! 이것은 중요한 관찰입니다.

그래서 우리는 마침내

프로그램 p은 PM이 말하는 것과 반대의 결과 q(q)를 반환합니다.

이 바보 같은 "PM 말"사업을 잊어 버리자

프로그램 p(q)은 반환되는 것과 반대의 결과 q(q)를 반환합니다.

이것은 우리에게 항상 무엇을 q(q)돌려 주는지를 알려주는 프로그램 이 있다면 합법적 인 프로그램 입니다. 그러나 이제 우리는 우리의 프로그램을 가지게 되었고 p(q), 우리는 거짓말 쟁이의 역설을 대체 할 수 있습니다 .qp