비 결정적 오토마타에 대한 정지 문제 정의

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적어도 제 자신의 참고 문헌 (Hopcroft + Ullman 1979)에서 Turing machine (TM)의 기본 정의는 결정적입니다.

따라서 정지 문제에 대한 내 자신의 이해 는 주로 결정 론적 TM에 대한 것이지만 다른 종류의 오토마타에서도 고려 될 수 있음을 알고 있습니다.

또한 사람들이 종종 TM을 참조하는 방식이나 정지 문제를 결정하는 데있어 결정론이 다소 암시적인 것으로 나타났습니다. 정지 문제의 위키 백과 페이지 가 그 좋은 예입니다.

그러나 그러한 제한의 이유는 없습니다. 가족을 감안할 때 비 결정적 일 수있다 오토마타의를위한 정지 문제 로 정의 할 수있다 : $\mathcal F$ $\mathcal F$

이러한 자동 장치 주어진 것으로 균일 한 판정 절차 있는가 및 입력 , 그것의 정지 계산이 있는지의 여부를 결정할 수 입력에 . $A\in\mathcal F$ $x$ $A$ $x$

(이것은 입력 를 가진 의 계산 이 종료 된다고 말하는 것과는 다릅니다 .) $A$ $x$

실제로, 그것은 비 결정적 오토마타 인 LBA ( Linear Bounded Automata) 의 정지 문제에 대한 논의를 이해하는 유일한 방법 인 것 같습니다 .

그래서 내 질문은 내가 옳은지, 그리고 비결정론 적 오토마타에 대한 중단 문제에 대한 명백한 이류 치료에 대한 이유 (그리고 어떤 이유)가 있는지 여부입니다.

— 바부
소스

이 질문에서 무언가 잘못되었다고 생각되면, 그것이 무엇인지 말해 주시면 친절 할 것입니다. 그러면 우리 모두가 귀하의 지식을 활용하고 모든 사용자의 게시물을 개선 할 수 있습니다. 감사합니다.

— babou

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결정적이지 않은 모델의 Halting 문제에 노력을 덜 쏟는 이유는 몇 가지가 있습니다.

첫 번째는 실제로 ND 모델에 대해 두 가지 관련 정지 문제가 있다는 것입니다. 입력 와 비 결정적 기계 주어진 경우 : $x$ $M$

유효한 실행이 존재 하는가 에 하는가 정지를? $M$ $x$
멈추지 않는 에 유효한 실행이 있습니까? 즉, 모든 유효한 실행이 중단됩니까? $M$ $x$

결정 론적 인 기계의 경우 입력 에 정확히 하나의 유효한 실행이 있기 때문에 이들은 동일합니다 . 그러나 비 결정적 시스템의 경우 여러 번 실행될 수 있습니다. 관심있는 것은 응용 프로그램에 따라 다릅니다. $M$ $x$

둘째, 비 결정적 모델은 이미 비현실적입니다. 어떤 경로를 가져야하는지 알려주는 마법의 상자가 있거나 어떤 형태의 무한한 병렬 처리가 있다고 가정합니다. 결정적이지 않고 결정 론적 튜링 머신은 전원이 동일하므로 대부분의 경우 정지에 대해 걱정하기 전에 머신을 결정 성있는 머신으로 변환하면됩니다.

이것의 확장으로, 우리는 결정적이지 않은 머신에 대해 무언가를 증명하는 것이 동등한 결정 론적 머신에 대해 무언가를 증명하는 것만 큼 어렵 기 때문에 신경 쓰지 않습니다. 우리는 결정 론적 정지 문제에 대한 해결책이 없다는 것을 이미 알고 있습니다. 따라서 실제로 유용한 것은 축소를 통해 결정 불가능한 다른 문제를 증명하는 것입니다. 결정 론적 정지 문제를 줄이는 것은 비결정론 적 문제보다 쉬우므로 항상 적은 노력을 기울일 것입니다.

— jmite
소스

당신은 상태 " 그러나 비 결정적 기계에 대한 다수의 실행이있을 수 있습니다 당신이있는 거 관심이있는 응용 프로그램에 따라 다릅니다 어느.. "당신이 예와 그 진술을 설명 할 수? 그런 다음 " 중지에 대해 걱정하기 전에 기계를 결정론적인 기계로 변환하십시오 "라고 말합니다. LBA는 어떻게 되나요?

— babou

LBA는 비 결정적 Turing Machine의 하위 집합이므로 일반적인 방법을 사용하여 항상 결정적 Turing Machine으로 변환 할 수 있습니다. 특정 속성을 가진 기계로 변환하는 데 사용할 수있는 특수 구조가 있다고 생각하므로 LBA에서 얻는 추론 능력을 유지할 수 있습니다. 콜 스택이 기하 급수적으로 커질 수 있다는 점을 제외하고는 선형 공간이 사용되는 역 추적 알고리즘처럼 보일 것이라고 생각합니다 (확실하지 않습니다. 찾아야합니다).

— jmite

여러 경로를 들어, 두 머신 고려

, 일을하는 입력에 항상 정지하는

, 및의 경우와 결코 한

. 부울 값을 비 결정적으로 선택하여 시작 하는 새로운 LBA

을 만들 수 있습니다 . true를 선택하면 입력 x에서

을 실행 합니다. false를 선택하면, 그것은 실행

에

. true와 false의 각 선택은 다른 "실행"입니다. 이 기계는

대해 정지합니까 ?

에서 멈추는 경로가 있지만

읽는 모든 경로에서 멈추지는 않습니다 .

M_{1}, M_{2}

$M_1, M_2$

x

$x$

x

$x$

M

$M$

M_{1}

$M_1$

M_{2}

$M_2$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— jmite

1

@HendrikJan NLBA의 중단은 오히려 Savitch의 정리로 다루어지는 것 같습니다 . 그러나 선형 경계를 2 차로 바꿉니다.

— babou

1

@Raphael 이것이 의미하는 것은 문제

결정할 수 없다는 것을 나타 내기 위해

를 사용하여 다른 결정 불가능한 문제를 시뮬레이션 할 수 있음을 보여줍니다 . DTM에서 NTM으로의 사소한 주입 매핑이 있기 때문에 NTM 중지에서 감소는 DTM 중지에서 감소입니다. 시뮬레이션하려는 덜 어려운 문제이기 때문에 일반적으로 DTM 중지에서 줄이는 작업이 줄어 듭니다.

P

$P$

P

$P$

— jmite

4

정지 문제는 다음과 같이 표현 될 수 있기 때문에 전형적인 완전한 문제입니다. $\Sigma_1$

. $H(P,x) \leftrightarrow \exists c \, \text{ s. t. $c$ is a halting computing of $P$ on $x$}$

이것은 당신의 정의가 올바른 것을 암시합니다. 일반적으로 모든 완전한 정의는 "정확합니다". $\Sigma_1$

— 유발 필름 러스
소스

불행히도, 산술적 계층 구조에 대해서는 아무것도 모른다.

반 결정 가능한 문제임을 나타내는 것이 맞 습니까? 무엇 소개 :

Σ_{1}

$\Sigma_1$

. 실존적이고 보편적 인 정량화가 다른 클래스에서 끝나는 것처럼 보이기 때문에 묻습니다.

는 또한 반 결정 가능하다.

K (P, x) \leftrightarrow \forall c, c is a computing of P on x ⟹ c is halting.

$K(P,x)\leftrightarrow\forall c, c\text{ is a computing of $P$ on $x\implies c$ is halting.}$

K

$K$

— babou

그것이 내가 대답하기를 두려워했던 것입니다. 나는 반 결정 절차가 있다고 생각했기 때문에 물었다. 따라서 내 증거가 잘못되었거나 내 문제를 잘못 공식화했습니다. 기본적으로는 입력에 비 결정적 정지한다는 jmite의 제안이며

필요에 의해 정의 될 수는 모든 연산이

정지. 그리고 지금까지 나는 그것에 대한 반 결정이 있다고 믿었습니다.

x

$x$

x

$x$

— babou

실제로 당신의 정의는 다른 이유로 좋지 않습니다 : "

is halting"은 무엇을 의미 합니까? 어쨌든 불완전한 계산 일뿐 인

는 실제로 완전 하다는 것을 의미합니다 . 이 경우

는

가 비어있는 계산이 될 수 있으므로 절대 적용되지 않습니다 . 다른 경우에는

의 설명 이 유한하다는 것이 명확하지 않으며, "

가 정지 중" 이라는 술어 도 계산 가능 하다는 것도 명확하지 않습니다 .

c

$c$

c

$c$

K (P, x)

$K(P,x)$

c

$c$

c

$c$

c

$c$

— Yuval Filmus

실제로 문제는

있지만 아마도

완전 하지는 않습니다 .

Π_{1}

$\Pi_1$

Π_{1}

$\Pi_1$

— Yuval Filmus

감사합니다. 순진한 독서에 대해 죄송합니다. 나는 당신이 사용 했던

가 "완전한"계산을 위해 서 있다고 생각했는데 , 이것은 정량화 된 도메인에 대한 오류 인 것 같습니다. 나는 계산 가능한 도메인 만 사용할 수 있으며 결정적이지 않은 TM의 중지되지 않은 계산 세트는 적합하지 않습니다. 또한 정량자는 계산 가능성이 얼마나 나쁜지 알려주지 만 그렇게 나쁘다는 보장은 없습니다. 따라서 jmite의 제안이 필요한 "형식"으로 직접 표현되지는 않지만 내 반 결정 절차는 정확할 수 있습니다.

c

$c$

— babou

2

당신은 비 결정적 기계들에 대한 정지 문제에 대한 "분명한 2 급 치료"가 있다고 말합니다. 비결정론은 역사적으로 튜링 스가 결정 론적 TM을 만든 이후까지 역사적으로 고려되지 않았으며, 이는이 분야의 연구 초점과 관련이있을 수있다. 그러나 여기서 중요한 점은 비결정론 적 문제를 결정 론적 문제로 쉽게 줄일 수 있기 때문에 "일반성의 손실없이"결정 론적 문제 만 연구하면된다는 것입니다.

또한, "2 등분"이라는 개념에 반박하기 위해 비결정론 적 기계에 대한 정지 문제를 연구하고 유용하고 깊은 연결을 찾는 하나 이상의 참조 / 문서가 있습니다. CS 리서치가 너무 광범위하고 전문적이라는 선상에서 일부 상황에 대한 증거, 때로는 일부 연구는 대부분의 영역에서 이루어졌으며 심지어 좁아 보였으며 거의 의미가 없거나 모발에 접근하여 중요도에서 다른 문제를 평가할 수 있습니다. 반대로, 비결정론은 CS에서 매우 깊고 유비쿼터스 / 크로스 커팅 개념으로 보인다 (P 대 NP와 같은 핵심 공개 질문이 있음). 그리고 그 양상은 미래에도 오래 지속될 것으로 보인다.

매개 변수화 된 정지 문제 / Chen, Flum

요약. 파라미터 화 된 문제 p-Halt는 비 결정적 튜링 기계 M과 자연수 n을 입력으로 취하는데, M의 크기는 파라미터이다. 빈 입력 테이프에서 M을 실행할 때마다 n 단계 이상이 필요한지 묻습니다. 이를 결정하는 알고리즘이있는 경우이 문제는 XPuni 클래스,“uniform XP”클래스에 있으며, 고정 기계 M의 경우 다항식으로 n 단위로 실행됩니다. 이론적 컴퓨터 과학의 다른 영역의 다양한 개방형 문제는 p-Halt ∈ XPuni와 관련이 있거나 심지어 동등한 것으로 밝혀졌습니다. 따라서이 진술은 언뜻보기에는 관련이없는 다른 영역 (증거 이론, 복잡성 이론, 설명 복잡성 ...)의 진술 사이에서 동등성을 도출 할 수있는 다리를 형성합니다. 프레젠테이션에서 알 수 있듯이

— vzn
소스

2

간단히 말해서

결정적 튜링 머신의 고전적이지 않은 설정에서 정지 문제를 무시할만한 충분한 이유가없는 것 같습니다. 단, 고전 정지 문제가 몇 가지 주요 수학 문제 (예 : Entscheidungsproblem )에 응답한다는 사실 외에 변형은 단지 흥미로운 (?) 기술적 문제이지만 기초에 미치는 영향은 적습니다.

이전 답변에서 제공된 몇 가지 주장을 검토 한 후, 나는 비결정론 적 오토마타의 경우 " 비결정론 적 "정지 의 가능한 정의에 대해 jmite 의 두 제안을 분석하고 비교합니다 . 문제는 단일 계산에서 정지가 의미하는 것이 아니라 주어진 입력 에 대해 주어진 비 결정적 오토 마톤 의 가능한 계산 세트에 대해 의미하는 것을 정의하는 것 입니다. 그러면 비 결정적 오토마타에서 정지 문제를 정의하기위한 기초로 사용될 수 있습니다. $A$ $x$

jmite의 답변에 따르면,이 비 결정적 정지는 적어도 하나의 정지 계산의 존재 ( 존재 중지 ) 또는 대안으로 모든 가능한 계산이 정지 ( 범용 정지 ) 하도록 요구하는 것으로 정의 될 수 있습니다 . 이 두 정의는 비 결정적 정지 문제에 대한 두 가지 정의에 해당합니다.

Turing 머신의 경우 두 가지 정의가 더브 테일링을 통해 머신을 결정하는 두 가지 고유 한 방법에 해당합니다. 이것으로부터, 나는 비 결정적 정지 문제의 두 가지 변형이 둘 다 고전적 결정 론적 정지 문제 와 동일한 튜링이라고 추론한다 .

그러나, 이러한 정지의 각 정의는 Turing 기계가 인식하는 언어의 해당 정의와 직접 관련이 있으며, 이러한 관계는 일관된 정의를 선택하는 조건에서 간단히 표현 될 수 있음을 보여줍니다.

따라서, 비결정론 적 오토 마톤에 의해 인식되는 언어의 일반적인 정의를 고려할 때, 비결정론 적 정지의 자연적 정의는 원래의 질문에서 제안 된 바와 같이 실존 적 정지이다.

이 분석의 대부분은 자연스럽게 다른 유형의 오토마타로 확장되지만, 더브 테일링 구조는 종종 튜링 머신보다 덜 강력한 제품군 내에서는 사용할 수 없습니다.

소개

기존 답변을 고려하여 질문에 대한 더 많은 생각을 한 후에 내 질문에 부분적으로 답변하기 때문에 이것을 답변으로 작성하고 있습니다. 또한이 경우 세 가지 답변 후에 내 질문을 편집하면 문제가 혼동 될 수 있으므로 원래는 그대로 피하십시오.

먼저 주어진 답변으로 의견 불일치를 논의합니다. 요점은 내 질문에 대답하려는 공정한 시도 (모든 답변에 대한 감사)를 비방하는 것이 아니라 기술적 요점을 논의하거나 논란하여 문제의 맨 아래에 도달하는 것입니다.

나는 원래 질문에 맥락이나 동기가 거의 필요하지 않다고 생각합니다. 정지 문제는 한편으로 오토마타에 관해 묻는 주요 질문 중 하나이며, 비결정론은 다른 오토마타의 매우 일반적이고 유용한 기능 중 하나입니다. 또한 비결정론은 증거를 단순화하는 일반적인 이론적 장치 일뿐만 아니라 적어도이 글을 쓰는 시점에서 LBA (linear bounded automaton)와 같은 일부 오토마타 제품군의 필수 기능입니다.

따라서 정지 문제가 의미가 없는지, 또는 비결정론 적 오토마타의 경우에 그와 그 이유가 무엇인지 궁금해하는 것은 당연하다.

비결정론 적 중지 문제가 잘 해결 되었습니까?

내 질문은 비결정론 적 오토마타에 대한 정지 문제가 왜 vzn에 의해 다운 보트와 답을 생성 한 2 급 치료 를받는 것처럼 보이는지 궁금합니다. 더 긴 주석 인 vzn 의 대답 은 " 비결정론은 CS에서 매우 깊고 유비쿼터스 / 크로스 컷하는 개념으로 보인다 "고 주장한다."비 확정적인 기계의 정지에 대한 몇 가지 연구에 대한 하나의 참고 자료를 제공하지만 놀랍지는 않지만 실제로 내 요점을 다루지 않습니다. 내 요점은 목표로하는 정지 문제의 정의를 실제로 본 것을 기억하지 못한다는 것입니다. 비결정론 적 기계에서, 나는 현장에서 약간의 문학을 읽었지만, 참고 문헌 (Hopcroft + Ullman 1979)에서 AFAIK에 언급되어 있지는 않습니다. 참조 정의가 결정적인 기계.

예를 들어, LBA에서 중지 문제가 결정 가능한 이유는 무엇입니까? Yuval Filmus 는 LBA가 비 결정적 장치라는 그의 대답 에서 잊어 버렸습니다. 그러나 그의 대답 은 4 단어의 주석으로 훌륭하게 저장되었습니다 .

이 문제가 일반적으로 잘 해결되지 않았다는 사실에 대한 마지막 증인으로 (일부 전문 연구에도 불구하고) 여기서 문제를 논의해야한다는 사실을 부를 것입니다.

jmite 의 답변은 실제로 제대로 해결되지 않은 이유를 설명하려는 유일한 방법입니다. 그의 첫 번째 주장은 가능한 두 가지 정의가 있다는 것이지만,이 상황은 어떤 정의가 가장 적합한 지 결정하기 위해 더 많은 분석을 장려해야한다고 생각합니다. 나는 그것을 아래에서 시도합니다.

그는 비결정론 적 TM이 항상 동등한 결정 론적 TM으로 변환 될 수 있기 때문에 비결정론 적 사례에서 중단 문제에 대해 걱정할 점이 많지 않다고 제안했다. 나는 완전히 확신하지는 못하지만 많은 사람들에게 좋은 이유로 인식 될 수 있습니다. 그러나 결정 론적 LBA가 비결정론 적 LBA와 동등한 지 여부는 여전히 개방적인 문제이므로 LBA (Linear Bounded Automata)에는이 주장이 적용되지 않습니다. 그리고 결정 론적 서브 패밀리가 전체 비결정론 적 패밀리 (PDA)보다 약한 다른 오토마타 패밀리가 있습니다.

또한 결정 론적 기계로 증명이 더 쉬우므로 비결정론 적 정지에 대해 걱정해서는 안된다고 주장하면서 마지막 요점에 동의하지 않습니다. 라파엘은 이에 대한 반대 의견 에 반대했다 . " 보통 어려운 문제를 줄이는 것이 더 쉽다 ". 실제로 많은 유형의 오토마타에 대해 비 결정적 버전은 주로 해당 유형의 오토 마톤으로 축소와 같은 증명을 단순화하는 역할을합니다. 또한 jmite 자신이 제안한대로 두 가지 형태의 정지를 사용하면 문제를 해결할 수있는 유연성이 향상되므로 이점으로 간주 될 수도 있습니다.

비 결정적 정지 문제의 정의

_{참고 : 다음 텍스트에서 "유니버설"이라는 단어는 범용 튜링 기계가 아닌 범용 정량화를 나타냅니다.}

jmite 의 답변 이 가장 자세합니다.

이 답변은 비결정론 적 오토마타가 두 가지 다른 방식으로 정의 될 수 있기 때문에 정지 문제에 대한 노력을 덜 촉진한다고 추측한다 (용어는 내 것이다).

$M$ $x$
$M$ $x$

내가 제안한 유일한 정의는 실존 중지 입니다.

$x$

증명 : 이것은 각 단계에서 가능한 비결정론 적 선택의 수가 주어진 오토 마톤에 한정되어 있기 때문에 König의 정리 로 쉽게 입증됩니다 . 정지 계산이 무한히 많은 경우 각 계산 경로로 각 구성에 레이블을 지정할 수 있습니다. 이로 인해 무한히 많은 노드가있는 계산 그래프가 만들어 지지만 각 노드에서 유한 한 비 결정적 분기 만 가능합니다. 코니 그 (König)의 정리로, 이것은 정지하지 않는 계산에 해당하는 무한 계산 경로의 존재를 의미합니다.

(비 결정적) 튜링 머신의 경우

이제 비 결정적 튜링 머신 (NTM)의 경우 정지를 살펴 보겠습니다.

두 가지 정의를 분석하기 위해, 가장 간단한 방법은 비결정론 적 기계의 결정 론적 버전을 고려하는 것인데, 헨드릭 얀 (Hendrik Jan)이 상기 한 바와 같이 , 가능한 모든 계산 을 다듬어 달성 할 수있다 .

그러나 결정을위한 계산법에는 적어도 두 가지 방법이 있지만 일반적으로 하나만 고려됩니다.

모든 계산을 병렬로 시뮬레이션하고 시뮬레이션 된 계산 중 하나가 종료되면 종료되는 존재하는 더브 테일링 결정 .
모든 계산을 병렬로 시뮬레이션하고 시뮬레이션 된 모든 계산이 종료 될 때만 종료되는 범용 도브테일 링 결정 . 그러나 어떤 식 으로든 종료 계산을 열거하거나 계산할 수 있습니다.

제안 2 :

$M$ $x$ $M_\exists$ $x$
$M$ $x$ $M_\forall$ $x$

$M$ $x$ $M_\forall$ $x$

정리 3 : 결정 론적 TM에 대한 정지 문제와 비결정론 적 TM에 대한 실재적이고 보편적 인 정지 문제는 튜링과 동등하다.

증거 : 발의안 제 2 호와 결정 론적 TM이 비결정론 적 TM의 하위 집합이라는 사실에서 비롯된 것으로, 실존 적 중단과 보편적 중단이 단순한 결정적 중단으로 줄어 듭니다.

따라서 계산 가능성 관점에서, 상징 추진 관점에서 말하고 싶은 유혹이 있지만, 비결정론 적 정지 문제에 대해 어떤 정의가 존재하거나 보편적인지 선택되는 것은 실제로 중요하지 않은 것으로 보입니다.

NTM 정지에 대한 하나의 정의를 선택하는 이유

그러나 원래 오토 마톤이 인식 한 언어를 보존하지 않는 결정 과정에 많은 의미가 있습니까?

언어 인식에서 비결정론을 사용하는 본질은 기본적으로 존재하는 관점 인 수용으로 이어질 경로가있을 때마다 올바른 계산 경로를 추측해야하는 오라클을 가정한다는 것 입니다.

$\epsilon$

따라서 정지에 의한 수용은 비 결정적 오토마타에 대한 정식적인 수용 형태로 간주 될 수있다.

이 정식 관점을 고려할 때 정지 문제 는 인식 문제 와 동일하게 표현 될 수 있습니다 .

$L$ $M$ $x$ $x\in L$

이것은 재귀 열거와 중지 문제 사이의 밀접한 관계를 증명합니다. TM의 정지 결정 사이의 동등성 $M$ $x$ $x$ $M$

그러나 보편적 정지의 경우,이 밀접한 관계는 상실됩니다. NTM이 인식하는 언어와 다른 언어 (또는 NTM이 인식하는 언어에 대한 보편적이고 다른 정의)에 대해서도 유사한 진술을 할 수 있습니다.

이론을 개발할 때는 가장 단순하고 가장 눈에 띄는 형태로 구조와 관계를 강조하기 위해 일관된 정의를 사용해야합니다. 현재의 경우, 다른 정의와의 일관성은 실재 정지가 비결정론 적 튜링 기계에 대한 정지의 자연적 정의 임을 시사합니다 .

물론 보편적 중지를 분석하는 데 항상 관심이있을 수 있습니다. 마찬가지로, 문자열 의 요구 사항에 따라 NTM에 대한 보편적 수용 이론을 개발할 수도 있습니다. $x$ $x$

다른 오토마타 가족의 경우

위의 분석의 일부는 대부분의 비 결정적 오토마타 패밀리로 확장 될 수 없습니다. 예를 들어, 푸시 다운 아 토마 톤 (PDA)은 결정 론적 PDA에 의해 인식 될 수없는 언어를 정의 할 수있다. LBA도 마찬가지입니다. 다른 부품은 모든 비 결정적 패밀리로 확장 될 수 있습니다.

비결정론 적 정지의 정의와 관련하여, 튜링 머신 케이스에 사용 된 추론을 사용할 수는 없지만, 비결정론 적 튜링 머신에 사용 된 것과 일치하는 정의를 채택하는 것이 현명한 선택 일 것이므로 실존 적 정의입니다. .

이러한 비 결정적 오토마타 패밀리에 대한 Halting 문제의 정의는 다음과 같이 문제에 제안 된 정의를 따릅니다.

— 바부
소스