결정 불가능한 문제와 그 부정은 결정 불가능하다

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그럼에도 불구하고 많은 "유명한"결정 불가능한 문제는 적어도 반 결정 불가능하며, 그 보완은 결정 불가능합니다. 무엇보다도 정지 문제와 그 보완이 될 수 있습니다.

그러나 아무도 문제와 그 보완이 결정 불가능하고 반 결정 불가능한 예를 줄 수 있습니까? 나는 대각선 화 언어 Ld에 대해 생각했지만 보완이 결정 불가능한 것으로 보이지는 않습니다.

이 경우 Turing Machine M은 식별하려는 언어의 일부이므로 인식해야하는 문자열을 "잃어 버릴"수 있습니까?

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다음 언어를 고려하십시오.

L_{2} = {(M_{1}, x_{1}, M_{2}, x_{2}) : M_{1} halts on input x_{1} and M_{2} doesn't halt on input x_{2}} .

$L_2 = \{(M_1,x_1,M_2,x_2) : \text{$M_1$ halts on input $x_1$ and $M_2$ doesn't halt on input $x_2$}\}.$

는 결정 불가능하고 반 결정 불가이며, 그것의 보수에 대해서도 동일하다. 왜? 직감은 " 의 입력이 정지되지 않는 "세미 decidable 아니다 그래서 세미 decidable 아니다; 의 보수를 볼 때, 대해서도 같은 일이 일어납니다. 이는 축소를 사용하여보다 신중하게 공식화 할 수 있습니다. $L_2$ $M_2$ $x_2$ $L_2$ $L_2$ $M_1$

보다 일반적으로, 이 결정 불가능하고 반 결정 불가능한 언어 인 경우 $L$

L^{'} = {(x, y) : x \in L, y \notin L}

$L' = \{(x,y) : x \in L, y \notin L\}$

: 당신의 요구 사항을 충족 결정 불가능 반 decidable하지 않고, 동일의 보수의 사실이다 . $L'$ $L'$

— DW
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압도적 인 대다수의 문제는 당신이 찾고있는 기준에 맞습니다. 문제와 그 보완은 반 결정 가능하지 않습니다. 반 결정 가능한 문제는 셀 수없이 많지만 셀 수없이 많은 문제가 있기 때문입니다.

예를 들어 를 튜링 머신의 정지 문제로하고 을 대한 오라클이있는 튜링 머신의 클래스로 설정하십시오 . 를 의 정지 문제라고 하자 . 나는 나 가 반 결정 불가능 하다고 주장한다 $H$ $\cal{M}$ $H$ $H_2$ $\cal{M}$ $H_2$ $\overline{H_2}$

우리는 에서 어떤 기계에 의해서도 가 결정되지 않음을 보여줄 수있다 : 그 주장은 일반적인 Turing 기계 정지 문제 가 어떤 일반적인 Turing 기계에 의해 결정되지 않았다는 주장과 동일하다 . 이제 가 일반적인 Turing machine 의해 반 결정 된다고 모순한다고 가정하십시오 . 음, 대한 오라클을 사용하면 어떤 기계도 결정 하지 않는다는 사실과 상반되는 특정 입력에 대해 정지 하는지 테스트 할 수 있습니다 . 따라서 는 반 결정할 수 없습니다. $H_2$ $\cal{M}$ $H$ $H_2$ $T$ $H$ $T$ $\cal{M}$ $H_2$ $H_2$

가 반 결정 가능하지 않다는 것을 보여줍니다 . 우선, 참고가되는 것을 기계에 의해 반 결정 : 다시, 인수와 동일한 반 결정 통상 튜링 기계 인. 반 결정에 어떤 기계가 될 수 없습니다 이 있다면, 때문에 와 모두 기계에 의해 반 결정 될 것 두 언어의 기계에 의해 결정 될 수 있도록, . 그러나 우리는 이미 기계에 의해 가 결정되지 않는다는 것을 알고 있습니다. 따라서, $\overline{H_2}$ $\cal{M}$ $H$ $\overline{H_2}$ $\cal{M}$ $H_2$ $\overline{H_2}$ $\cal{M}$ $\cal{M}$ $H_2$ $\cal{M}$ 는기계에 의해 반 결정되지 않습니다 . 또한 은 모든 일반 튜링 기계를 포함하기때문에 는 일반 튜링 기계에 의해 반 결정되지 않습니다. (일반적인 튜링 머신은해당 오라클을 사용하지 않는를위한 오라클이있는 튜링 머신입니다 .) $\overline{H_2}$ $\cal{M}$ $\overline{H_2}$ $\cal{M}$ $H$

— 데이비드 리처 비
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다음은 몇 가지 자연스러운 예입니다.

모든 입력에서 정지하는 모든 튜링 기계의 언어는 때때로 TOT로 표시됩니다. 이 언어는 입니다. $\Pi_2^0$
$\Pi_2^0$
$\Sigma_3^0$

$\Pi_2^0$ $\Sigma_3^0$

— 유발 필름 러스
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