Knuth, de Bruijn 및 Rice의“식재 된 나무의 평균 높이”에 관하여 (1972)

정확도는 떨어지지 만 기본 수단 (생성 기능 없음, 복잡한 분석 없음, 푸리에 분석 없음)에 의해서만 제목 의 고전 논문 을 도출하려고합니다 . 요컨대, 나는 노드 를 가진 나무 의 평균 높이 (즉, 루트에서 잎까지의 최대 노드 수)가 만족 것을 "단지"증명하고 싶다 . $h_n$ $n$ $h_n \sim \sqrt{\pi n}$

개요는 다음과 같습니다. 하자 이하의 높이와 나무의 숫자거나 같은 (컨벤션과 모든 과) 의 나무의 수를 노드 높이가 (즉, ). 그런 다음 , 여기서 은 유한 합계입니다 잘 알려져 있습니다. $A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

{에스}_{엔} = \sum_{h ⩾ 1} h (ㅏ_{엔 h} - ㅏ_{엔, h - 1}) = \sum_{h ⩾ 1} h (비_{엔, h - 1} - 비_{엔 h}) = \sum_{h ⩾ 0} 비_{엔 h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$

n

$n$ 노드가있는 일반 트리 세트 는 카탈로니아 어 숫자로 계산 된

n - 1

$n-1$ 노드 가있는 2 진 트리 세트와 함께 사용 됩니다.

따라서 첫 번째 단계는 $B_{nh}$ 를 찾은 다음 의 점근 확장에서 주요 용어 를 찾는 것 $S_n$ 입니다.

이 시점에서 저자는 분석 조합 (3 페이지)을 사용하여

비_{엔 + 1, h - 1} = \sum_{케이 ⩾ 1} [(\binom{2 엔}{엔 + 1 - 케이 h}) - 2 (\binom{2 엔}{엔 - 케이 h}) + (\binom{2 엔}{엔 - 1 - 케이 h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

내 자신의 시도는 다음과 같습니다. 대각선이 아닌 에서 까지 의 정사각형 그리드 에서 $n$ 노드 가있는 나무와 단조로운 경로 사이의 궤적을 고려합니다. 와 의 두 단계로 구성 됩니다. 이러한 경로를 Dyck 경로 또는 여행 이라고도 합니다. 이제 격자 경로로 를 표현할 수 있습니다 . 길이 2 (n-1)의 Dyck 경로의 수와 이상의 높이 입니다. (참고 : 높이 의 나무 는 높이 의 Dyck 경로와 함께 사용 됩니다.) $(n-1) \times (n-1)$ $(0,0)$ $(n-1,n-1)$ $\uparrow$ $\rightarrow$ $B_{nh}$ $h$ $h$ $h-1$

일반성을 잃지 않고 시작한다고 가정합니다 $\uparrow$ (따라서 대각선 위에 머물러 있습니다). 각 경로에 대해 선 교차하는 첫 번째 단계를 고려하십시오 $y = x + h - 1$ . 위의 점에서 원점으로 돌아가서 $\uparrow$ 를 로 바꾸고 $\rightarrow$ 그 반대도 마찬가지입니다 (이것은 라인 의 반사입니다 ). 내가 계산하고 싶은 경로 ( )가 경계를 피하는 에서 까지의 단조로운 경로와 함께 사용 되는 것은 분명합니다 이고 이다. ( 그림 참조 ) $y=x+h$ $B_{nh}$ $(-h,h)$ $(n-1,n-1)$ $y=x+2h+1$ $y=x-1$

Mohanty (1979, 6 페이지) 의 고전 책 격자 경로 계산 및 응용 에서 에서

\sum_{케이 \in 지} [(\binom{미디엄 + 엔}{미디엄 - 케이 (티 + 에스)}) - (\binom{미디엄 + 엔}{엔 + 케이 (티 + 에스) + 티})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$ 까지 격자의 단조 경로 수를 계산 하여 경계

및

와

및

. (이 결과는 50 년대 러시아 통계 학자에 의해 처음 확립되었습니다.) 따라서

의 새로운 원점을 고려 하여 공식의 조건을 만족합니다 :

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ 목적지 지점 (오른쪽 상단)은 이제

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$ 입니다. 그런 다음

비_{엔 h} = \sum_{케이 \in 지} [(\binom{2 엔 - 2}{엔 + h - 1 - 케이 (2 h + 2)}) - (\binom{2 엔 - 2}{엔 - h - 1 + 케이 (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$ 이 단순화 될 수

비_{엔 + 1, h - 1} = \sum_{케이 \in 지} [(\binom{2 엔}{엔 + 1 - (2 케이 + 1) h}) - (\binom{2 엔}{엔 - (2 케이 + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$ 는

비_{엔 + 1, h - 1} = \sum_{케이 ⩾ 0} [(\binom{2 엔}{엔 + 1 - (2 케이 + 1) h}) - 2 (\binom{2 엔}{엔 - (2 케이 + 1) h}) + (\binom{2 엔}{엔 - 1 - (2 케이 + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$ 예상 공식과의 차이점 은 모든 양의 정수 (

) 대신 홀수 (

2 k + 1

$2k+1$ )를 합산한다는 것 입니다.

k

$k$

문제가 어디에 있는지 아십니까?

— 신자
소스

당신은 초등적인 것들만 사용하고 싶다고 말하지만 책의 결과를 사용합니다. Mohanty는 귀하가 사용하는 정체성을 어떻게 도출합니까?

— Raphael

나는 첫 번째 문장에서 "초등"의 의미를 정의한다 : 생성 함수 없음, 복잡한 분석 없음, 푸리에 분석 없음. 그의 저서에서, Mohanty는 기본적 방법을 사용하여 격자 경로에 대한 반사 및 포함-배제의 원리를보다 정확하게 표현합니다. (나는 위의 것을 사용합니다.) 당신이 주장한다면, 나는 질문의 끝에 그의 증거를 추가 할 것입니다.

— Christian

전혀, 단지 당신이 스스로 규칙을 어 기지 않도록하고 싶었습니다.

— Raphael

분석 조합론이 명백하게 기초적인 것으로 간주 될 때 '생성 함수'가 기본이 아닌 기술로 표시되는 것은 매우 이상합니다. 는 본질적으로 비 원소 값과 같습니다. 당신은 당신이 찾고있는 것을 더 잘 이해하기 위해 중심 이항 계수의 점증에 대한 비교 증거를 가지고 있습니까? 나는 두 가지가 밀접하게 관련되어 의심 ...

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

— 스티븐 Stadnicki

에서 까지의 단조 경로는 를 처음 교차하기 전에 경계 만 피하십시오 . 따라서 사용하는 수식은 적용되지 않습니다. $(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ $y=x+h$

— 프랭크
소스