선형 프로그램으로 정렬

놀랍게도 수많은 문제는 선형 프로그래밍 (LP)을 상당히 자연스럽게 감소시킵니다. 네트워크 흐름, 이분법 일치, 제로섬 게임, 최단 경로, 선형 회귀 및 회로 평가와 같은 예는 [1]의 7 장을 참조하십시오 !

회로 평가는 선형 프로그래밍으로 줄어들 기 때문에 모든 문제 에는 선형 프로그래밍 공식이 있어야합니다. 따라서 선형 프로그램으로 축소하여 "새로운"정렬 알고리즘이 있습니다. 그래서 내 질문은 $P$

실수 배열을 정렬하는 선형 프로그램은 무엇입니까 ? $n$
LP 축소 및 정렬 알고리즘의 실행 시간은 얼마입니까?

알고리즘 S. 다스 굽타, C. 파파 디미트리 오우와 U. Vazirani (2006)

— 조
소스

스포일러 : pine.cs.yale.edu/pinewiki/…

— Joe

이미 답을 알고 있다면 왜 질문을합니까?

— Yuval Filmus

@Joe 답을 알고 있더라도 재미있는 자료를 게시하는 것이 좋습니다. 이를 수행하는 일반적인 방법은 일부 문서에 대한 링크를 게시하지 않고 (정교한) 테이크를 사용하여 자신의 질문에 대답하는 것입니다.

— Raphael

@Raphael 다른 사람이 답을 쓰지 않으면 시간이있을 때 드리겠습니다.

— Joe

@YuvalFilmus는 스택 교환시 답을 아는 질문을 명시 적으로 권장합니다 .

— Joe

다음 답변은 기본적으로 이미 알고있는 것과 동일하지만 다소 "매직적인"것처럼 보일 수 있습니다. 다른 한편으로, 그것은 더 기술적이지만, 일반적인 기술은 "순열 행렬에 대한 최적화로 문제를 작성하고 Birkhoff-von Neumann을 호출합니다"라고 생각하는 것이 좋습니다.

순열 들면 의 순열 행렬 정의 0-1 매트릭스 등이 의 경우 및 , 그렇지. 이것은 단순히 에 따라 벡터 의 좌표를 치환하는 행렬입니다 : 이면 $\sigma$ $\{1, \ldots, n\}$ $P_\sigma$ $P_{ij} = 1$ $j = \sigma(i)$ $P_{ij}=0$ $x$ $\sigma$ $y = P_\sigma x$ . 이제부터를로표시하겠습니다. $y_i = x_{\sigma(i)}$ $y=P_{\sigma}x$ $\sigma(x)$

하나 더 정의 : 음이 아닌 행렬 은 각 행과 각 열의 합이 1이면 이중 확률 적입니다. $n\times n$ $M$

조합 최적화에서 매우 중요한 한 가지 사실-Birkhoff-von Neumann 정리 :

행렬 그것이 순열 행렬, 즉의 볼록 결합 인 경우에만, 이중 스토캐스틱 경우 및 치환이 존재하는 경우에만 긍정적 실수가 되도록 및 입니다. $M$ $\sigma_1, \ldots, \sigma_k$ $\alpha_1 , \ldots, \alpha_k$ $M = \sum_{i = 1}^k{\alpha_i P_{\sigma_i}}$ $\sum{\alpha_i} = 1$

이중 확률 행렬은 불평등에 의해 정의됩니다.

\forall i : \sum_{j = 1}^{n} M_{i j} = 1

$\forall i: \sum_{j = 1}^n{M_{ij}} = 1$

\forall j : \sum_{i = 1}^{n} M_{i j} = 1

$\forall j: \sum_{i = 1}^n{M_{ij}} = 1$

\forall i, j : M_{i j} \geq 0

$\forall i, j: M_{ij} \geq 0$

이 모든 불평등이 함께 합쳐져서 polytope 결정 하고 Birkhoff-von Neumann 정리는이 polytope의 극단 점 (정점)이 모두 순열 행렬이라고 명시합니다. 기본 선형 프로그래밍에서 우리는 위의 불평등을 제약 조건으로하고 다른 제약 조건이없는 선형 프로그램은 최적 솔루션으로 순열 행렬을 가질 것이라는 것을 알 수 있습니다. $P$

따라서 입력 을 정렬하려면 다음과 같은 선형 목표 을 제시하면됩니다. $a = (a_1, \ldots, a_n)$ $f_a(M)$

가 정렬되었지만 가정렬되지않으면 $f_a(P_\tau) < f_a(P_\sigma)$ $\sigma(a)$ $\tau(a)$

이어서 최대화 할 목적으로 선형 프로그램을 공식화 과 부등식 제한 위에서, 그리고 최적의 솔루션은 순열 행렬임을 보장 에 대한 되도록 정렬된다. 물론, 에서 를 쉽게 읽을 수 있습니다 . $f_a(M)$ $P_\sigma$ $\sigma$ $\sigma(a)$ $\sigma$ $P_\sigma$

대한 하나의 선택 은 여기서 입니다. 확인 $f_a(M)$ $v^T M a$ $v = (1, \ldots, n)$

이것은 에서 선형이다 ; $M$
대 , ; $P_\sigma$ $f_a(P_\sigma) = \sum_{i = 1}^n{i a_{\sigma(i)}}$
위에서 최대화 하는 (모순 : 그렇지 않으면 두 좌표 전환 할 수 정렬 과 높은 값을 달성). $\sigma$ $\sigma(a)$ $\sigma(a)$

그리고 짜잔, 당신은 정렬을위한 선형 프로그램이 있습니다. 정렬이 어리석은 것처럼 보이지만 실제로는 최적화의 강력한 방법입니다.

— 사쇼 니콜 로프
소스

내가 다루지 않은 것 : 최적의 솔루션이 여러 개있을 때 그중 일부는 순열 행렬이 아닙니다 (물론 일부는 그렇지 않습니다). 섭동에 의해 당신이 중복을 제거 할 수 있음을 해결하기 위해 많은 쉬운 방법이 있습니다

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$a$

— Sasho Nikolov

최적의 솔루션이 여러 개인 경우 일부는 순열 행렬이 아닐 수 있지만 항상 최적의 솔루션은 순열 행렬이됩니다. 목적 함수가 일정하면 모든 가능한 솔루션이 최적입니다.

— Sasho Nikolov

@Turbo 선형 프로그램 이이 답변에 완전히 작성되었습니다. 분명히 그것은 적분 제약이 없습니다. 나는 당신의 두 번째 질문에 대답하려고하지 않을 것입니다. 내가 정렬을 위해 여기에서했던 방식으로 이중 확률 론적 행렬에 대해 선형 함수를 최적화하는 것처럼 GI를 적어보십시오. 실패한 곳을 직접 확인하십시오.

— Sasho Nikolov

실제로 단순을 사용하고 싶을 수도 있지만 이론적으로는 다항식 시간 LP 솔버 (예 : 내부 포인트 방법 또는 타원체 방법)를 사용하여 다항식 시간 알고리즘을 얻을 수 있습니다. 이것은의 비트의 복잡성이 당신에게 시간 다항식을 줄 것이다 . (경우에 여기로) 제약 행렬 TUM 때, 너무 강하게 polytime 해법이 존재 cstheory.stackexchange.com/questions/4454/...~~V을 .

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$a$

— Sasho Nikolov

그리고 네, 할 수있는 가장 쉬운 방법은 당신이 당신이 작은 임의의 섭동을 추가 할 수있는 고유 최적의 솔루션이 있는지 확인하는 것입니다

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$a$

— Sasho Nikolov