완전 단일 정수형 선형 프로그램을 얼마나 빨리 해결할 수 있습니까?

(이 질문에 대한 후속 조치 와 답변 입니다.)

다음과 같은 완전히 단일 모듈 식 (TU) 정수 선형 프로그램 (ILP)이 있습니다. 여기서 는 모두 입력의 일부로 주어진 양의 정수입니다. 변수 x i j 의 지정된 서브 세트는 0으로 설정되며 나머지는 양의 정수 값을 취할 수 있습니다.$\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

최소화

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

대상 :

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

표준 형태의 계수 행렬은이다 행 항목과 매트릭스 - 1 , 0 , 1 .$(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

내 질문은 :

그러한 ILP를 해결하는 다항식 알고리즘의 실행 시간으로 알려진 최고의 상한은 무엇입니까? 이것에 대한 참고 자료를 알려 주시겠습니까?

몇 가지 검색을 수행했지만 대부분의 경우 LP에 대한 다항식 시간 알고리즘을 사용하여 다항식 시간에 TU ILP를 해결할 수 있다고 말합니다. 유망한 것으로 보이는 것은 Tardos [1]의 1986 년 논문으로, 이러한 문제는 계수 행렬의 크기에서 시간 다항식으로 해결할 수 있음을 증명합니다. 그러나 논문에서 알 수있는 한 해당 알고리즘의 실행 시간은 LP 해결을위한 다항식 시간 알고리즘의 실행 시간에 달려 있습니다.

LP 문제를 해결하는 일반적인 알고리즘보다이 특별한 경우 (TU ILP의)를 해결하는 알고리즘에 대해 알고 있습니까?

그렇지 않은 경우

LP에 대해 어떤 알고리즘이 그러한 ILP를 가장 빠르게 (점근 적 의미에서) 해결합니까?

[1] 조합 선형 프로그램을 해결하기위한 강력한 다항식 알고리즘, Eva Tardos, Operations Research 34 (2), 1986

나는 Yannakakis 의 완전히 단일 모듈 형 행렬 클래스에서 TU ILP의 특별한 경우에 대한 귀하의 질문에 대한 답변을 제공 한다고 생각 합니다 (계수 매트릭스를 인접 행렬로보고 얻은 이분 그래프에 이상한 주기가없는 경우).

이 백서에는 선형 프로그램 클래스에 대한 다항식 알고리즘에 대한 참조가 있습니다 .이 프로그램 은 모든 완전히 단일 모듈 형 행렬을 처리하는 것처럼 보이지만 LP의 일반 알고리즘과 비교하여 얼마나 더 효율적인지 확실하지 않습니다.

$O([n^3/\ln n]L)$

완전히 단일 모듈 형 LP는 "퇴화 가정"하에서 다항식으로 강력하게 다룰 수있는 것으로 나타났습니다. 여기에 링크하십시오 . 강력한 다항식 시간 이것은 Tardos의 방법에서 개발 된 것이며 TU (Totally Unimodular) ILP 공식에 대한 더 엄격한 범위를 의미합니다.