해독제 검사의 결정 가능성?

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두 가지 기능이 있다고 가정 해 봅시다. $F$ 과 $G$ 그리고 나는 여부를 결정하고 싶습니다

F (x) = \int G (x) d x .

$F(x) = \int G(x)dx.$

내 함수가 기본 함수 (다항식, 지수, 로그 및 삼각 함수)로 구성되어 있지만 Taylor 시리즈는 아닙니다.

이 문제를 결정할 수 있습니까? 그렇지 않다면, 그것은 반 결정 가능합니까?

(나는 계산 능력에 대한 수업을 가르치고 있기 때문에 묻고 있는데 학생은 TM이 현재 통합이 알려지지 않은 함수를 통합하는 데 도움이 될 수 있는지 물었습니다. 통합 방법을 모르는 기능이 더 많은 것으로 의심됩니다 적분을 실제로 알지 못하는 함수가 아니라 위의 기본 함수의 조합으로 표현할 수없는 적분 함수는 적분을 확인하는 일반적인 문제가 결정 가능한지 여부를 생각하게했습니다.)

— templatetypedef
소스

당신은 상징적 차별화에 대해 묻는 것 같습니다. en.wikipedia.org/wiki/Symbolic_computation 및 en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system을 살펴보십시오 . 어떤 클래스의 기능을 허용하는지 명확하지 않습니다. 어떤 종류의 구성을 허용합니까? 예를 들어

F (x) = \sin (\cos (e^{x})) + \log (2 x^{3} + 3)

$F(x)=\sin(\cos(e^x)) + \log(2x^3+3)$ 허용? 재귀 적 정의를 사용하여 관심있는 함수 클래스를 공식화하려고합니다. 체인 규칙을 사용할 때 어떤 일이 발생하는지 확인하고 모든 경우를 처리하는 재귀 알고리즘을 얻을 수 있는지 확인 했습니까?

— DW

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분화가 쉬우므로 실제로 표현의 여부를 결정할 수 있는지 묻는 것입니다

F

$F$ 동일하게 0입니다. 이것은 아마도 정보를보다 쉽게 찾을 수있는 문제 일 것입니다.

— 유발 Filmus

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귀하의 질문에 대한 짧은 대답은 "아니오"입니다. Richardson의 정리 와 그 이후의 확장은 기본 삼각 함수를 포함하자마자 다음을 결정하는 문제를 나타냅니다. $f(x) = 0$ (따라서 $f(x) = g(x)$ 이는 다음과 동일하므로 $f(x) - g(x) = 0$ )는 해결할 수 없습니다.

흥미로운 점은 실제 폐쇄 필드 의 1 차 이론을 결정할 수 있다는 것입니다. 직관적으로 삼각 함수를 추가하여 1 차 시스템을 결정할 수없는 이유는 다음을 통해 정수를 생성 할 수 있기 때문입니다. $\{ x \in R : \sin(\pi x) = 0 \}$ 정수의 이론은 결정할 수 없습니다.

실제 폐쇄 필드 이론과의 유무 $e^x$ 결정 가능한 것은 매우 유명한 공개 문제 입니다.

더 흥미로운 것은 이것이 당신이 지속적인 문제를 "해결 한"오라클이 있다면 (즉, 오라클이 $f(x) = 0$ 그렇지 않다면), 유한 용어로 기본 함수의 통합이 결정 가능 하고 실용적인 알고리즘이 알려져 있습니다. 그래서 주어진 $G(x)$ , 우리는 찾을 수 있었다 $F(x)$ 또는 기초 적분이 없다는 것을 알고 $G$ 유한 용어로.

— 아호
소스

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귀하의 문제는 다음과 같은 간단한 질문을 줄이는 것 같습니다.

두 가지 기능이 주어짐 $F,G$ 기능의 클래스에서 우리는 $F(x)=G(x)$ 모든 $x$ ? (즉, 그들은 어디에서나 같은 가치를 가지고 있습니까?)

이 클래스의 함수에 대해 결정 가능한지 모르겠습니다. 그렇다면 문제도 결정할 수 있어야합니다.

문제의 일반적인 접근법은 다음과 같습니다. $F(x)$ 얻을 $F'(x)$ , 우리가 있는지 확인 $F'(x)=G(x)$ 모든 $x$ .

핵심 단계는 상징적 차별화입니다. 더 자세히하는 방법을 알아 봅시다. 허용 가능한 함수 클래스를 재귀 적으로 정의 할 수 있습니다.

F (x) ::= c | x | e^{x} | \log (x) | \sin (x) | \cos (x) | \tan (x) | F_{1} (x) + F_{2} (x) | F_{1} (x) \times F_{2} (x) | F_{1} (x) / F_{2} (x) | F_{1} (F_{2} (x))

$\newcommand{\or}{\;\vert\;} F(x) ::= c \or x \or e^x \or \log(x) \or \sin(x) \or \cos(x) \or \tan(x) \or F_1(x) + F_2(x) \or F_1(x) \times F_2(x) \or F_1(x)/F_2(x) \or F_1(F_2(x))$

여기서 는 상수 범위이고 는 함수 범위입니다. $c$ $F,F_1,F_2$

그런 다음 미적분의 표준 규칙 (예 : 연쇄 규칙 등)을 사용하여이 클래스의 함수를 상징적으로 구별하기위한 재귀 알고리즘을 고안 할 수 있습니다. 특히, 위의 모든 경우를 처리 할 수 있으며 미분이이 클래스 내에서 함수로 상징적으로 표현 될 수 있음을 재귀 적으로 보여줄 수 있습니다. 예를 들어 :

만약 , . $F(x)=c$ $F'(x)=0$
만약 , . $F(x)=x$ $F'(x)=1$
만약 , . $F(x)=e^x$ $F'(x)=e^x$
경우 , . $F(x)=\log(x)$ $F'(x)=1/x$
만약 , . $F(x)=\sin(x)$ $F'(x)=\cos(x)$
경우 , . $F(x)=\tan(x)$ $F'(x)=1 + (\tan(x))^2$
만약 , . $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x)+F'_2(x)$
만약 , . $F(x)=F_1(x) \times F_2(x)$ $F'(x)=F'_1(x) F_2(x) +F_1(x) F'_2(x)$
만약 , (연쇄 법칙). $F(x) = F_1(F_2(x))$ $F'(x) = F'_1(F_2(x)) F'_2(x)$

등등. 경우 각각의 경우에, 허용 기능의 클래스에, 다음 그렇습니다 , 그리고 당신은 재귀에 대한 상징적 인 표현을 사용할 수 있습니다 - 이것은로 알려져 상징적 차별화 . $F(x)$ $F'(x)$ $F'(x)$

마지막으로, 모든 남아있는 것이 있는지 여부를 확인하는 모든 . 그것이 제가 대답의 맨 위에 언급 한 문제입니다. $F'(x)=G(x)$ $x$

실제로 두 기능이 동일하게 작동하는지 확인하는 간단한 방법이 있습니다. 반복의 랜덤 값 선택 :이 알고리즘이있다 하고 있는지 여부를 확인 의 값을 보유하고있다 . 무작위로 선택된 많은 대해 동등하게 유지되면 출력은 "동일하게 동일합니다". 인 를 찾으면 "그들은 다르다"를 출력합니다. $x$ $F(x)=G(x)$ $x$ $x$ $x$ $F(x)\ne G(x)$

이것이 작동한다고 보장 할 수는 없지만, 많은 기능 클래스에 대해이 절차의 결과는 높은 확률로 정확합니다. 특히, 임의의 변수 표시되는 약간의 분포가 있고 이 클래스의 모든 에 대해 유지 되도록 일부 을 가정합니다. 또한 허용 가능한 함수의 클래스가 (클래스와 마찬가지로) 빼기로 닫혀 있다고 가정하십시오. 그런 다음 위의 절차의 라운드는 최대 확률로 잘못된 대답을 제공합니다 . $x$ $X$ $\epsilon>0$ $\Pr[F(X)=0] \ge \epsilon$ $F$ $r$ $(1-\epsilon)^r$

또한 다항식 평등 검정에 대한 무작위 절차가 있으면 문제를 결정할 수 있습니다.

그러한 결과가 특정 기능 클래스에 적용되는지 여부는 묻습니다. 위의 진술은 아마 보류되지 않을 것입니다. 그러나 운이 좋으면 다음과 같은 것을 증명할 수 있습니다.

모든 , 어쩌면 우리는 즉, 실수,에 분포 확률 변수 찾을 수 , 일정한 그러한가, 등 그 클래스에 있고 최대 크기가 " "인 모든 함수 를 보유합니다 . $s \in \mathbb{N}$ $X_s$ $\epsilon_s > 0$ $\Pr[F(X)=0]$ $F$ $s$

이것이 사실이라면, 다항식 평등 테스트를위한 무작위 알고리즘이 있으므로 문제를 결정할 수 있습니다.

— DW
소스