"최소한"직관적 인 유형 이론?

사람들이 유형 이론에 새로운 유형을 계속 추가하고 있다는 사실에 놀랐지 만 최소한의 이론을 언급하는 사람은 없습니다 (또는 찾을 수 없음). 나는 수학자들이 최소한의 것을 좋아한다고 생각하지 않습니까?

내가 정확하게 이해한다면, impredicative Prop, λ-abstraction 및 Π-types를 가진 타입 이론으로 충분합니다. 충분하다고 말하면 직관 논리로 사용될 수 있습니다. 다른 유형은 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

⊥ \overset{d e f}{=} Π α : P r o p . α \neg A \overset{d e f}{=} A \to ⊥ A \land B \overset{d e f}{=} Π C : 피 아르 자형 영형 피 . (ㅏ \to 비 \to 씨) \to 씨 ㅏ \lor 비 \overset{디 이자형 에프}{=} Π 씨 : 피 아르 자형 영형 피 . (ㅏ \to 씨) \to (비 \to 씨) \to 씨 \exists_{엑스 : 에스} (피 (엑스)) \overset{디 이자형 에프}{=} Π α : 피 아르 자형 영형 피 . (Π 엑스 : 에스 . 피 엑스 \to α) \to α

$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\$

내 첫 번째 질문은, 그들이 (할 수있다 λ, Π) 정말 충분? 두 번째 질문은 MLTT Prop와 같이 즉석식이 없다면 최소한으로 필요한 것이 무엇 입니까? MLTT에서 Church / Scott / 모든 인코딩이 작동하지 않습니다.

편집 : 관련

type-theory dependent-types

— 盛安安
소스

"최소"유형은 무엇입니까? 귀하의 의견으로는 어떤 속성을 가지고 있습니까?

— 라파엘

Coq가 증명할 수있는 것을 증명할 수 있습니까? 나는 내 마음 속에 명확한 답이 없다고 인정한다 D :

— 盛安安

그러나 Coq는 우주 다형성을 추가했다고 들었습니다.이 시스템은 내가 제안한 최소 시스템이 효과가 없습니다. "일반적인 의미에서 MLTT가 증명할 수있는 것을 증명할 수 있다는 것"은 어떻습니까? W 타입을 시뮬레이션 할 수 있다고 생각 했습니까? 나는 내 머리를 일반적으로 감싸지 않았지만.

— 盛安安

잠깐만, Prop우리는 냉담으로 평등이 필요하지 않은 것 같습니다 .

— 盛安安

답변:

갤리스의 설명을 구체화하기 위해, 즉석식 소품과 종속 유형을 가진 유형 이론은 일반적으로 교회 유형 이론에 가까운 건축 미적분학의 일부 하위 시스템으로 볼 수 있습니다 . 교회의 유형 이론과 CoC의 관계는 그렇게 간단하지는 않지만 특히 Geuvers의 훌륭한 기사에 의해 탐구되었습니다 .

그러나 대부분의 경우 시스템은 동등한 것으로 간주 될 수 있습니다. 그렇다면 실제로 고전 논리에 관심이 없다면 매우 적은 양으로 얻을 수 있습니다. 실제로 필요한 것은 무한 의 공리입니다 .CoC에서는 모든 유형에 요소가 1 개 이상인 것은 아닙니다. 그러나 어떤 유형은 무한하다고 표현하는 공리만으로 유도 원리와 공리 가진 자연수 유형을 말하면 꽤 멀리 갈 수 있습니다. 대부분의 학부 수학은이 시스템에서 공식화 될 수 있습니다 ( 제외 된 중간없이 일부 작업을 수행하기가 어렵습니다). $0\neq 1$

Impedicative Prop 없이는 조금 더 많은 작업이 필요합니다. 주석에서 언급했듯이 확장 시스템 (동등 관계의 기능 확장 성을 가진 시스템)은 및 -types, , 빈 및 단위 유형 및 . 및 W- 타입. 강렬한 환경에서는 불가능합니다. 더 많은 유도가 필요합니다. 유용한 W 유형을 작성하려면 다음 과 같이 을 제거하여 유형을 작성할 수 있어야합니다 . $\Sigma$ $\Pi$ $\mathrm{Bool}$ $\bot$ $\top$ $\mathrm{Bool}$

나는 에프 비 티 h 이자형 엔 ⊤ 이자형 엘 에스 이자형 ⊥

$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$

메타 수학을하기 위해서는 아마도 적어도 하나의 우주가 필요할 것입니다 (예를 들어, Heyting Arithmetic의 모델을 구축하기 위해).

이 모든 것이 많은 것처럼 보이며 CoC의 미친 비 현실성이 없지만 몇 가지 규칙으로 작성하기가 비교적 쉬운 더 간단한 시스템을 찾고 싶어합니다. 최근에 한 시도는 Altenkirch et al에 의해 설명 된 시스템 입니다. 일관성에 필요한 양성 검사는 "있는 그대로"시스템의 일부가 아니기 때문에 완전히 만족 스럽지는 않습니다. 메타 이론은 여전히 잘 정리되어야합니다. $\Pi\Sigma$

유용한 개요는 ZF가 핵입니까? Freek Wiedijk,이 모든 시스템의 어려운 숫자 (규칙과 공리 수)를 실제로 비교합니다.

— 코디
소스

인가 ETT에 정의 -types?

Σ

$\Sigma$

— 盛安安

사실은 아닙니다. 나는 당신도 그것들을 가정해야한다고 믿습니다. 내 실수.

— 코디

교회 엔코딩의 문제점은 타입에 대한 유도 원리 를 얻을 수 없다는 것입니다.

시스템의 최소 측면에서, 주석에서 언급 한 경로는 컨테이너 및 (W / M) 유형을 사용하는 것이지만 오히려 확장 적이므로 Coq 또는 Agda와 같은 시스템에서 작업하기가 실제로 편리하지 않습니다.

$\Pi$ $\Sigma$ $\mu$ $\nu$

$\mu$ $\nu$

— 갈레
소스