결정 성의 건설적인 버전?

오늘 점심 시간에, 나는 동료들과 함께이 문제 를 제기했고 놀랍게도 문제가 결정 가능하다는 Jeff E.의 주장은 그것들을 설득하지 못했다 ( 여기서 mathoverflow에 밀접하게 관련된 글이있다). 설명하기 쉬운 문제 설명 ( "P = NP?")도 예 또는 아니오로 결정할 수 있으므로 항상 해당 답변을 출력하는 두 TM 중 하나가 문제를 결정합니다. 공식적으로, 우리는 세트를 결정할 수 있습니다$S :=\{|\{P, NP\}|\}$: 출력하는 기계 $1$입력 경우 에만 , 그렇지 않으면 은 입력 또는 입력 경우 이를 결정합니다 .$1$$0$$2$

그들 중 하나는 기본적으로 이러한 반대 의견으로 요약했습니다. 만약 그것이 결정 가능성의 기준이 얼마나 약한 경우-우리가 유한 한 것으로 보여줄 수있는 언어로 공식화 할 수있는 모든 질문이 결정 가능하다는 것을 암시합니다. 이런 식으로 결정 가능한 유한 한 많은 답변에 문제가 없습니다. 다음은 아마도 더 강력한 기준 일 수 있지만, 결정 가능성은 TM을 보여줄 수 있는지에 따라 달라 지도록 요구함으로써 정확하게 이루어질 수 있다고 제안했습니다. 기본적으로 문제에 대한 직관 주의적 견해를 제안합니다. 내 동료 중 하나를 수행하십시오. 모두 제외 된 중간 법을 수락합니다.

사람들이 결정론에 대한 건설적인 이론을 공식화하고 연구 했는가?

당신이 묻고 자하는 질문은 "계산 성 이론은 건설적인가?"라고 생각합니다. 그리고 이것은 Foundations of Mathematics 메일 링리스트에 대한 토론 에서 볼 수 있듯이 흥미로운 질문 입니다.

놀랍게도, 많은 재귀 이론이 건설적인 감수성을 가진 사람들에 의해 개발되었으므로 그 반대도 고려되었습니다. 예를 들어 Besson의 저서 와 유서 깊은 Metamathematics 소개를 참조하십시오 . 재귀 이론의 첫 번째 두 장은 최소한의 변화로 건설적인 환경으로 이동하여 살아남는 것이 분명합니다. 예를 들어 snm 정리, Rice 정리 또는 Kleene 재귀 정리는 변경되지 않은 채로 남아 있습니다.

첫 장 이후에는 상황이 조금 더 어려워집니다. 특히, 높은 수준의 산술 계층은 일반적으로 진실의 개념으로 정의됩니다. 특히, 저 기초 정리 와 같이 널리 사용되는 정리는 명백하게 비 구조적인 것으로 보인다.

아마도 더 실용적인 반응은, 이러한 "역설적으로 계산 가능한 언어"는 단순히 관용적이지 않으며, 측정 할 수없는 현실들과 같이 많은 시간을 연구 할 수 있었지만, 일단 초기의 놀라움이 있었다는 것입니다. 더 흥미로운 것들로 넘어갈 수 있습니다.

고전적인 논리에서 모든 진술은 주어진 모델에서 참 또는 거짓입니다. 예를 들어, "실제 세계"에서 자연수에 대한 1 차 설명은 참 또는 거짓입니다 (이 문맥에서 참 산술이라고 함 ). 그렇다면 괴델의 불완전 성 정리는 어떻습니까? 그것은 단지 실제 산술의 재귀 적으로 열거 가능한 axiomatization이 완료되지 않았다고 말합니다.

에 관해서 $\mathsf{P}$ vs. $\mathsf{NP}$대부분의 연구원들은 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$, 일부 $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ZFC와 독립적이라는 신념이 있습니다. ZFC 가 실제로 ZFC와 독립적 이지 않다는 것을 기꺼이 인정한다고 가정하십시오 (ZFC가 처음에 일관성이 있음을 인정하는 것과 같은 방식으로). 이 경우 언어를 계산하는 완전히 명시적인 튜링 머신이 있습니다. 기계는 다음 중 하나의 증거를 검색합니다.$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ 또는 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$하나를 찾은 다음 그에 따라 진행합니다. 우리는 여전히 그 언어가 정확히 무엇인지 모르더라도이 기계가 당신의 언어를 받아 들인다 는 것을 증명할 수 있습니다 !

당신이 그것을 인정하지 않으려면 $\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$ZFC에 의해 결정된 후에도 언어를 허용하는 명시 적 튜링 머신이 있는지 물어볼 수 있습니다. 이 마음을 사로 잡는 질문을 관심있는 독자들에게 남겨 두었습니다.

(면책 조항, cstheory 에 더 잘 맞는 퍼지 질문에 대한 퍼지 답변 ). 구성 수학은 이론적 수학에서 "대부분"이지만 반 유명한 Banach-Tarski 역설 과 같은 연속적인 맥락에서 특히 나타납니다 . 이러한 역설은 일반적으로 "더 이산적인"CS "지금까지" 나타나지 않았다 . CS의 (아날로그 / 병렬) 구성 가능성은 무엇입니까? 대답은 명확하지 않은 것 같습니다. 수학 더 CS 이상의 연구와 두 청춘의 개념 원래는 너무 많은이 특정 핵심에 함께 묶여 것 같다 "지금까지" .

하나의 대답은 결정 성 이론이 실제로 시공성에 대한 변형으로 보인다는 것입니다. 즉, 밀접하게 연결된 것으로 보이는 계산 가능한 세트를 결정하는 엄격한 방법입니다 .

심장에서의 시공성은 "ZFC로부터의 독립성"의 일부 문제를 다루고 이러한 영역은 Aaronson wrt P 대 NP에 의해 본 논문에서 길게 고려된다. P 대 NP는 공식적으로 독립적인가? .

"패러독스"가 시공성 문제를 가리키는 것으로 보이지는 않지만 Aaronsons 논문에서와 같이 거친 베이커에 대한 대략적인 가이드로 받아 들일 수 있습니다. Gill Solovay 1975는 P ^A = NP ^A 및 P ^B ≠ NP ^B 가되도록 oracles가 존재 함을 나타 냅니다. thm과 같은 다른 역설적 인 것은 Blum gap 과 speedup 정리입니다.

또한 CS 가 기본 시간 / 공간 계층 정리 에서 "시간 / 공간" 구성 가능 기능 에 초점을 맞추는 것은 우연의 일치 일까? (이것은 Blum과 같은 역설을 거의 "디자인에 의해" 배제하는 것 입니까?)

또 다른 답변은이 연구에서와 같이 활발한 조사 / 연구가 진행되고 있다는 것입니다. 구성 가능성은 수학에서 "큰 카디널스" 와 결부되어있는 것으로 알려져 있습니다 . 무한 게임을위한 승리 전략 : 대형 카디널스에서 컴퓨터 과학 / 연구원에 이르기까지.

Martin의 대규모 기본 원칙을 사용하여 Martin은 분석적 결정 성을 입증했습니다. 두 선수 사이의 완벽한 정보를 제공하는 모든 무한 게임에서 한 선수를위한 승리 전략의 존재. 한 선수의 승리 세트가 분석적 일 경우 하나. 나는 자신의 증거를 수정하고 보완하여 유한 상태 결정에 대한 라빈, Buechi-Landweber, Gurevich-Harrington 정리의 새로운 증거를 얻습니다. 플레이어의 우승 세트가 유한 할 때 유한 상태 머신에 의해 계산 된 승리 전략의 존재 허용되는 주.