공 쌍으로 빈을 채우는

빈이 개 이상 포함 된 빈은 가득 찬 것으로 불립니다 . 우리의 목표는 가능한 한 많은 쓰레기통을 가득 채우는 것입니다. $k$

가장 간단한 시나리오에서, 우리는 $n$ 공이 주어지고 그것들을 임의로 배열 할 수 있습니다. 이 경우, 우리가 할 수있는 최선의 방법은 임의로 $\lfloor n/k \rfloor$ 빈을 골라 각각 에 $k$ 볼을 넣는 것입니다.

다음 시나리오에 관심이 있습니다. $n$ 쌍 의 공이 주어집니다 . 우리는 각 쌍의 두 개의 공을 두 개의 다른 통에 넣어야합니다. 그런 다음 적이 와서 각 쌍에서 공 하나를 제거합니다. 제거 후 가능한 최대 수의 빈을 가지려면 어떻게해야합니까?

간단한 전략은 : $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ 쌍을 선택합니다. 각 빈 쌍 채우기 $2k-1$ 볼 쌍 (각 빈에 포함 된 $2k-1$ 공, 각각의 쌍에서 하나의 공). 그런 다음 적의 제거 대상에 관계없이 각 빈 쌍에 하나 이상의 전체 빈이 있습니다.

우리는 더 많은 수의 빈을 달성하는 전략을 가지고 $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ )?

combinatorics balls-and-bins

— 엘렐 시갈-할레 비
소스

나는 그렇게 믿지 않는다

— Zach Saucier

이 주어지고

가 주어지는가?

는

의존?

n

$n$

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— Evil

@EvilJS

및

가 주어지며 독립적입니다.

n

$n$

k

$k$

— Erel Segal-Halevi

플레이어 그의 모든 대신합니까

다음 공의 쌍 대적 픽

공을?, 또는 플레이어의 위치를 한 쌍의 볼을 수행하고 다음 상대는 쌍에서 하나를 선택하고 플레이어가 박았 다음 쌍 대적 픽 둘 이상의 볼이 더 이상 없을 때까지 계속?

n

$n$

n

$n$

— rotia

@rotia 플레이어는 자신의 n 쌍의 공을 모두 배치 한 다음 공격자가 n 개의 공을 선택합니다.

— Erel Segal-Halevi

TL; DR-아니요, 단순한 전략보다 더 나은 전략은 없습니다. 증거의 주요 아이디어는 다음과 같습니다. 공이 충분하지 않은 경우 전체 빈에서 최대 공이 있는 빈으로 "볼 경로"가 있습니다 . 적은 그 경로를 따라 그 가득 찬 통에서 덜 가득 찬 통으로 공을 통과시킬 수 있으며, 이것은 가득 찬 통의 수가 줄어들 때까지 반복적으로 수행 될 수있다 . $k$ $k-2$ $k$

그래프 이론의 재구성

함수 간단한 유한 그래프 가 있다고 가정 해 봅시다 . 우리 는 가장자리 에 공이 있다고 말한다 . 하자 제 (최종 표시 에지) 세트로 . 만약 을 만족 $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ 모든 에지 에 대해 , 는 분포라고합니다. 모든 분포 함수 는함수를유도하는데, 동일한 기호 사용합니다 , $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ . 우리는 말을 공에 . 감안 ,하자 , 만큼의정점 수 . $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

$G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

각 정점이 빈이라고 상상해보십시오. 각 모서리 에 대해 볼 페어는 및 배치되며 각각은 볼 을 얻습니다 . 이들 중에서 공 쌍의 상대 거리에 걸릴 수 에서 공 및 에서 공 . 최종 결과는 모든 빈 빈이 처음에 각 가장자리 에 대해 공이 들어간 다음 및 볼은 및 배포됩니다 $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ 대적에 의해 각각. 따라서, Erel-Apass 정리는 현명한 적을 제거한 후 k-full bin 을 확보하기 위해서는 적어도 쌍의 볼이 필요하다고 말합니다 . $t$ $(2k-1)t$ 다시 말해서, 가능한 최대 수의 빈을 남길 수있는 최적의 전략은 실제로 "간단한 전략"인데, 이는 반복 할 공이 충분하지 않을 때까지 다른 빈을 볼 쌍으로 반복적으로 채우는 것 입니다. $2k-1$

정리 증명

모순을 위해 와 는 모든 반례 중에서 정점이 가장 적은 반례입니다. 즉,가 -distributing 되도록 모든 사이에 최소한 의 함수 -distributing . 또한 $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

하자 . 하자 . 그래서 . $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

하나를 주장하십시오 : . $V_s\neq\emptyset$
주장 하나의 증거. 그렇지 않으면 가 비어 있다고 가정하십시오 . 또한 재사용 우릴하자 의 함수로서 에 되도록 어떤 대 . $V_s$

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$ 따라서 꼭지점이 있어야 되도록 .

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

유도 설정 및 . 여기서 , 는 유도 그래프 이며 . 임의의 경우 함수 -distributing , 우리는 그것을 연장 할 수 함수 -distributing 동일하다 에서 동안 모든 에지에 대해 인접한 . 참고 보낸 $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ . 그리고 따라서 및 는 정점 수가 의 정점 수보다 작은 반례입니다 . 및 에 대한 가정에 사실이 아닙니다 . 따라서 하나의 주장이 입증됩니다.

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

임의의 정점 들어 정의 정점에서 -reachable 경로가 있는지 , 되도록 입니다. 하자 . $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

두 번째 주장 : $V_r = V$ 두 번째 주장의 증거 : 라고 가정하십시오 . 임의의 정점 들어 및 이후를 우리가 도달 할 수없는 으로부터 경우 다음 에지되는 고려 유도 셋업 및 , 여기서 , 는 유도 그래프 이며 . 어떤 옵션 함수 -distributing ,
$V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ 여기서 와 동일 에 와 같은 다른 가장자리. 참고 만큼이나 모든 정점 보낸 공 내부에 . 그리고 그래서 와 $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$ . 및 에 대한 가정에 사실이 아닙니다 . 따라서 주장 2가 입증되었습니다.

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

이제 정리를 증명해 봅시다.

이후 및 , 거기 경로 , 와 , 및 . 우리는 새로운 구성하자 함수 -distributing 으로부터 되도록 $V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ 과 와 , 및 제외한 모든 정점에 대해 동의합니다 . 에이 절차를 적용 하여 을 얻을 수 있습니다. 이 반복 일부 충분한 시간을 , 우리는를 획득한다 함수 -distributing 과 . 그러나 한 것으로 중 최소한 의 -distributing 함수 $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$ . 이 모순은 우리가 Erel-Apass 정리를 증명했음을 보여줍니다.

— 존 엘
소스

나는 증거를 읽었다, 그것은 좋아 보인다. 사실, 내가 올바르게 이해하면 임의의 그래프를 허용하기 때문에 훨씬 일반적입니다. 제 질문은 G가 완전한 그래프 인 특별한 경우입니다. 이 올바른지? 또 다른 질문 : 증거가 어디에서 m이 Fk (m)이 최소라는 사실을 정확하게 사용합니까? 나는 그것이 마지막 단락에서만 사용되는 것을 본다-증거에서 이전 주장은 사실이 아닌가?

— Erel Segal-Halevi

그렇습니다. 정리는 "모든 (간단한 유한) 그래프 G (V, E)"라고 표시되기 때문에 모든 그래프에 적합합니다. 각 청구 에는 의 이 필요합니다. "counterexample"을 검색하면 최소값이 사용 된 위치를 찾을 수 있습니다.

F_{k} (m)

$F_k(m)$

— John L.