다항식에 관한 문제의 결정 가능성

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나는 다음과 같은 흥미로운 문제를 겪었습니다. 를 실수의 필드에 대한 다항식으로하고 그들의 계수가 모두 정수라고 가정합시다 (즉,이 다항식의 유한 한 정확한 표현이 있습니다). 필요한 경우 두 다항식의 차수가 같다고 가정 할 수 있습니다. 다항식 (resp. ) 의 일부 (실수 또는 복소수) 근의 최대 절대 값을 (resp. )로 나타내겠습니다 . 속성을 결정할 수 있습니까? $p,q$ $x_p$ $x_q$ $p$ $q$ $x_p = x_q$

그렇지 않은 경우이 속성은 일부 다항식의 제한된 가족에 적용됩니까? 이 문제가 발생하는 상황에서, 다항식은 행렬의 특징적인 다항식이며, 근은 고유 값입니다.

나는 다항식 / 고유 값의 근을 계산하기위한 수치 알고리즘을 알고 있지만이 알고리즘의 출력은 근사치이므로 여기에서는 쓸모가없는 것 같습니다. 컴퓨터 대수는 여기서 유용 할 것 같지만 불행히도 그 분야에 대한 지식이 거의 없습니다.

이 문제에 대한 자세한 솔루션을 찾고 있지 않지만 솔루션을 검색 할 직관과 아이디어가 도움이 될 것입니다.

미리 감사드립니다.

computability undecidability computer-algebra

— 042
소스

분할 필드를 계산할 수 있으면 하고 비교할 수 있습니다. 일부 필드의 경우 분할 필드를 계산할 수 없지만 확장명을 보유하는지 확실하지 않습니다 .

(x - x_{0}) (x - x_{1}) \dots

$(x-x_0)(x-x_1)\dots$

Q

$\mathbb{Q}$

— Xodarap

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나는 그 분야에서도 지식이 없지만, 비 건설적인 대답을 제공 할 수 있다고 생각합니다.

실제 닫힌 필드의 1 차 이론은 결정 가능합니다. 문제는 실제 대수에 대한 대수 방정식과 방정식의 시스템으로 표현할 수 있습니다. 고려 변수 입니다. 다음 시스템이 만족 스러운지 알고 싶습니다. $2 (\deg P + \deg Q)$ $x_1,\ldots,x_{\deg P}, y_1,\ldots,y_{\deg P}, x'_1,\ldots,x'_{\deg P}, y'_1,\ldots,y'_{\deg P}$

\begin{align*}  P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for \(1 \le j \le \deg P\)} \\  Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for \(1 \le k \le \deg Q\)} \\  x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for \(2 \le j \le \deg P\)} \\  x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for \(2 \le k \le \deg Q\)} \\  x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\\end{align*}

$\begin{align*} P(x_j+i\,y_j) &= 0 & \text{for $1 \le j \le \deg P$} \\ Q(x'_k+i\,y'_k) &= 0 & \text{for $1 \le k \le \deg Q$} \\ x_j^2 + y_j^k &\le x_1^2 + x_2^2 & \text{for $2 \le j \le \deg P$} \\ x'_j^2 + y'_j^k &\le x'_1^2 + x'_2^2 & \text{for $2 \le k \le \deg Q$} \\ x_1^2 + y_1^2 = x'_1^2 + y'_1^2 \\ \end{align*}$

처음 두 방정식 패밀리는 및 가 다항식의 근본임을 나타내고 다음 두 등식 패밀리는 및 은 가장 큰 절대 값을 가지며 마지막 은이 가장 큰 절대 값을 비교합니다. $x_j+i\,y_j$ $x'_k+i\,y'_k$ $x_1+i\,y_1$ $x'_1+i\,y'_1$

이 시스템이 만족 스러운지 결정할 수 있습니다. 문제는 결정 가능합니다. 그러나이 진술은 아마도 가장 효율적인 방법은 아닙니다.

더 유용한 답은 아마도 Gröbner bases 이론과 관련이있을 것입니다 . 그 문제를 스스로 해결하려고한다면 계산 대수 서적의 처음 몇 장을 읽으면 필요한 배경을 얻을 수 있다고 생각합니다. 근본적인 문제를 해결하려는 경우 구현할 수있는 상용 알고리즘이있을 수 있습니다.

— 질 'SO- 악마 그만해'
소스

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나는 이것에 대해 틀릴 수 있습니다 : 나는 또한이 분야 (전문가는 어디에 있습니까?)에 대해 잘 알고 있지는 않지만, 당신이 요구하는 것에 대해 합리적으로 빠른 알고리즘을 가지고 있다고 생각합니다.

간단하게하기 위해 모든 뿌리가 실제라고 가정하겠습니다. 절대 값이 가장 높은 의 루트에 바운드 된 구간을 찾습니다 (즉, 다른 모든 루트에 대해 및 와 같은 구간 ). 이러한 간격은 이분법과 Sturm 정리를 함께 사용하여 찾을 수 있습니다 . 이제 와 의 다항식 GCD 을 계산하십시오 . 이 뿌리를 가지고 있는지 확인하십시오 (Sturm의 정리와 함께). $P$ $I$ $x_P\in I$ $x_P'\notin I$ $P$ $R$ $P$ $Q$ $R$ $I$

내가 실수하지 않으면 은 와 가 공통 뿌리를 가진 경우에만 그런 뿌리를 가지며 , 가 의 뿌리 인 경우에만 가능합니다 . Sturm의 정리와 GCD의 적용은 다소 빠릅니다 (사실 다항식의 크기에서 2 차 이하). $R$ $P$ $Q$ $I$ $x_P$ $Q$

이것은 단지 스케치이지만, 이것을 진정한 알고리즘 으로 바꾸는 데별로 걸리지 않습니다 . 사실 나는 메이플이나 Mathematica를 사용하면이 사소한 것이라고 생각합니다.

— 코디
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