Turing Machine (TM)이 정지 문제가 모든 TM에 적용되는지 여부를 결정할 수 있습니까?

9

이 사이트에는 TM이 중지 문제를 결정할 수 있는지 여부, 다른 모든 TM 또는 특정 하위 집합에 대한 질문에 많은 변형이 있습니다. 이 질문은 다소 다릅니다.

중지 문제가 모든 TM에 적용되는지를 TM이 결정할 수 있는지 묻습니다. 나는 대답이 '아니오'라고 믿고 나의 추론을 확인하고 싶다.

메타 정지 언어 를 TM이 중지되는지 여부를 결정하는 TM으로 구성된 언어로 정의하십시오 . $L_{MH}$

엘_{미디엄 H} = {미디엄 : \forall_{{미디엄}^{'}, 승} 미디엄 ({미디엄}^{'}, 승) 경우에 동의 {미디엄}^{'} (승) 중지, 그렇지 않으면 거부}

$L_{MH} = \{ M : \forall_{M',w} M(M', w) \text{ accepts if $M'(w)$ halts, rejects otherwise}\}$

$L_{MH}= \emptyset$ 중지 문제로 인해 입니다.

따라서 제목 질문은 더 정확하게 언급했다 : ? $L_{MH} = \emptyset$

라이스 정리에 따르면, 언어가 비어 있는지 여부는 결정할 수 없습니다.
두 경우 모두, 가 또는 그렇지 않은 경우 인지를 결정할 수 . $L_{MH}$ $L_{MH} = \emptyset$
따라서 인지 여부를 결정할 수 . $L_{MH} = \emptyset$

이는 TM이 중지 문제가 모든 TM에 적용되는지 여부를 결정할 수 없음을 나타냅니다.

내 이해가 정확합니까?

업데이트 : TM이 직관적으로 올바른 것으로 보이는 "증명"의 일부 정의에 대해 "중지 문제를 증명할 수 없음"을 보여 주려고합니다. 아래는 이것이 옳다고 생각하는 이유를 보여줍니다.

다음과 같은 방법으로 를 생성 하는 TM 를 만들 수 있습니다 . TM은 튜플을 취합니다 . 반복을 위해 를 시뮬레이션 . 경우 모두 받아들 쌍 그 정지를, 그리고 모든 다른 사람을 거부 한 후 받아 . 그렇지 않으면 거부 경우 잘못 결정 또는 중단되지 않습니다. $M_{MH}$ $L_{MH}$ $(M_i,M_j,w_k,steps)$ $M_i(M_j, w_k)$ $steps$ $M_i$ $(M_j, w_k)$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ 는 각 에 대해 무한대의 쌍을 평가해야하므로 중단되지 않습니다 . 또한 모든 가 중지되지 않습니다. 는 시뮬레이션에서 모든 정지에 실패 한다는 것을 알 수 없으므로 를 수락하거나 거부 할 수 없습니다 . 따라서이 언어가 정의한 언어는 결정적이지 않으며 정의 할 수 없습니다. $M_i$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ 는 TM이 중지 문제를 증명하는 것이 무엇을 의미하는지에 대한 직관을 포착합니다. 모든 거부 하거나 알려진 증명을 출력하는 와 같은 다른 제안 은 중지 문제가 모든 적용된다는 사전 지식을 제공 합니다. 이것은으로 간주 할 수 이후 증명 뭔가 의 전제가 입증 된 결론이다, 따라서 원형이다. $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_{MH}$

— 이터
소스

3

당신의 수정은 도움이되지 않습니다. 매개 변수가없는 문제는 항상 YES를 출력하는 Turing 기계 또는 항상 NO를 출력하는 매개 변수에 의해 결정될 수 있습니다. 불행히도 당신의 주장은 효과가 없습니다. 괴델 정리의 실제 유사점은 라이스 정리입니다.

— 유발 Filmus

5

"정지 문제가 모든 TM에 적용되는지 여부는 TM에 의해 결정될 수 있는지 묻습니다." -중지 문제가 TM 세트에 "적용되지"않기 때문에이 쿼리는 의미가 없습니다. 적어도 그게 무슨 뜻인지 모르겠습니다.

— Raphael

4

라이스 정리를 오해했습니다. 라이스 정리는 (특별한 경우) 언어 는 결정할 수 . 을 결정할 수 는 않는다 . 실제로 은 결정할 수 있습니다.

{M : L (M) = \emptyset}

$\{ M : L(M) = \emptyset \}$

\emptyset

$\emptyset$

\emptyset

$\emptyset$

— Yuval Filmus

7

오해가 "X 결정"이라는 표현의 의미에 있다고 생각합니다. 공식적으로, X는 시스템 결정 X 입력에 해당 하나이어서 문자열에 술어되어야 의 출력 X (진리 값 (S) ). 귀하의 경우에 술어는 무엇입니까? 입력은 무엇이며 언제 사실입니까?

— Yuval Filmus

5

질문은 카테고리 오류입니다. 결정 성은 수학 제안이 아닌 언어 (문자열 집합)의 속성입니다. " 결정 가능한가?" 여기서 는 문자열 집합이 아니며 단지 의미가 없습니다.

X

$X$

X

$X$

— David Richerby

5

또 다른 관점 : 를 ZFC 에서 " " 문을 공식화 하자 . (사소한) 우리는 : $\varphi$ $L_{MH} = \emptyset$

세트 는 결정 가능합니다. $P = \{ x \mid x \mbox{ is a valid proof of } \varphi \mbox{ in ZFC}\}$
또한 ZFC의 증명을 열거하고 또는 의 증거를 발견하면 중단 되는 TM 을 작성할 수 있습니다 . 분명히 멈춘다. $M$ $\varphi$ $\neg \varphi$ $M$
세트 를 결정할 수 없다고 결정 $\{ M \mid M \mbox{ decides } P \}$

— 보어
소스

19

정지 문제를 결정하는 튜링 기계의 언어는 결정 가능합니다. 단순히 항상 NO를 출력한다고 결정하는 튜링 머신.

즉, 는 결정할 수 있습니다. $\emptyset$

언어가 비어있는 Turing machine의 언어를 결정할 수 없다는 사실과 혼동 될 수 있습니다. 즉, 입력 에서 인지 결정 하는 튜링 머신이 없습니다 . $T$ $L(T) = \emptyset$

— 유발 필름 러스
소스

7

빈 언어는 결정할 수 있습니다. 받아 들여.

— 유발 Filmus

15

정지 문제를 결정하는 튜링 기계의 언어가 비어 있습니다. 빈 언어는 결정할 수 있습니다. 따라서 정지 문제를 결정하는 튜링 기계의 언어는 결정 가능합니다.

— 유발 Filmus

1

문제는 TM이 정지 문제를 결정하는 Turing 기계의 언어가 비어 있는지 결정할 수 있는지 여부입니다. 위에서 보았 듯이 TM은 이것을 할 수 없습니다.

— yters

1

@yters TM 이 언어가 비어 있음 을 증명할 수 있는지 묻고 있습니까? 기존의 기존 증명을 간단히 출력하여 쉽게 수행 할 수 있습니다.

— user253751

3

TM이 무언가 를 증명 한다는 것은 무엇을 의미 합니까?

— Yuval Filmus

2

당신은 쌀의 정리를 오해합니다.

이런 맥락에서 라이스 정리는 "빈 언어를 결정 하는가?"라는 문제를 결정할 수 없다고 말합니다.

문제는 임의의 튜링 머신이 빈 언어를 결정하는지 여부를 결정하는 것이 아닙니다. 문제는 빈 언어를 결정하는 M이 있는지 여부입니다.

그리고 그러한 M이 존재합니다. 그보다 더 잘 할 수 있습니다. 실제로 그러한 M을 구성 하고 빈 언어를 결정한다는 증거 를 제공 할 수 있습니다.

결정 불가능한 일반적인 문제가 특정 인스턴스를 해결할 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 실제로 모든 증거를 열거하는 일반적인 장치에 따르면 다음과 같은 튜링 머신이 있습니다.

빈 언어를 결정한다는 증거가 존재하는 모든 튜링 머신을 허용합니다.
빈 언어를 결정하지 않았다는 증거가 존재하는 모든 튜링 기계를 거부합니다.
어느 쪽이든 증명할 수 없으면 중단되지 않습니다.

1

Wikipedia의 결정 가능성에 대한 정의 :

재귀 언어는 유한 입력 문자열이 표시 될 때 문자열이 해당 언어로되어 있으면 중지하고 수락하고 그렇지 않으면 중지하고 거부 하는 튜링 머신이 존재하는 공식 언어입니다 . 튜링 머신은 항상 정지합니다. 결정자로 알려져 있으며 재귀 언어를 결정한다고합니다.

즉, 모든 입력 문자열을 결정하는 튜링 머신이있는 경우 결정 가능합니다. 각 튜링 머신에 대해 결정 불가능한 iff입니다. 모든 입력 문자열을 결정하지는 않습니다. 즉, 문자열을 전혀 또는 일부 결정할 수는 없지만 결정할 수없는 문자열은 적어도 하나 (실제로는 적어도 무한) 있습니다.

$L$ $L = \emptyset$ $L_{MH} = \emptyset$

— 사용자
소스