이진 트리의 최소 높이가 왜

Java 클래스에서는 다양한 유형의 컬렉션의 복잡성에 대해 배우고 있습니다.

곧 우리는 이진 트리에 대해 이야기 할 것입니다. 이 책은 이진 트리의 최소 높이가$\log_2(n+1) - 1$자세한 설명은 제공하지 않습니다.

누군가 이유를 설명 할 수 있습니까?

이진 트리는 비 리프 노드에 1 개 또는 2 개의 자식이 있고 리프 노드에 0 개의 노드가 있습니다. 하자$n$ 트리에있는 노드들과 우리는 그것들이 여전히 유효한 이진 트리를 형성하는 방식으로 그것들을 배열해야합니다.

증명하지 않고 높이를 최대화하려면 주어진 노드를 선형으로 배열해야합니다. 즉, 각 비 리프 노드에는 자식이 하나만 있어야합니다.

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여기서, 노드 수로 높이의 관계를 계산하는 공식은 간단합니다. 만약$h$ 나무의 높이입니다 $h = n-1$.

이제 이진 트리를 구성하려고하면 $n$최소 높이의 노드 (항상 완전한 이진 트리로 환원 가능)는 다음 레벨로 넘어 가기 전에 가능한 한 많은 노드를 상위 레벨로 압축해야합니다. 따라서 나무는 다음과 같은 형태를 취합니다.

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                   O---+---O    O---+----O
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특별한 경우부터 시작하겠습니다. $n = 2^m - 1$.

우리는 그것을 알고 있습니다

$$2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{m-1} = 2^m - 1$$

또한 레벨을 쉽게 증명할 수 있습니다. $i$ 최대를 가질 수 있습니다 $2^i$ 그 안에 노드.

위의 합계에서이 결과를 사용하면 각 수준마다 $i$에서 $0$ 에 $m$해당 용어가 있습니다. $2^{i-1}$ 의 확장에 $2^m - 1$. 이것은 완전한 이진 트리를 의미합니다.$2^m - 1$ 노드는 완전히 채워지고 높이가 있습니다. $h(2^m-1) = m-1$, 어디 $h(n) =$ 완전한 이진 트리의 높이 $n$ 노드.

이 결과를 사용하여 $h(2^m) = m$,와 나무 때문에 $2^m-1$ 노드가 완전히 채워져 $(2^m-1)+1 = 2^m$ 노드는 다음 단계에서 추가 노드를 수용해야합니다 $m$높이를 1 증가 $m-1$ 에 $m$.

지금까지 우리는 증명했다

$$h(2^m) = m,$$ $$h(2^{m+1}) = m+1$$ 만큼 잘, $$h(2^{m+1} -1) = m$$

그러므로, $\forall n \in \mathbb{Z}, 2^m \leq n < 2^{m+1}$

$$m \leq h(n) < m+1$$

하지만 양쪽에 통나무 (베이스 2)를

$$m \leq \log_2(n) < m+1$$ $$m = \lfloor \log_2(n) \rfloor$$

그러므로, $\forall n, n \in [2^m, 2^{m+1})$

$$h(n) = m = \lfloor \log_2(n) \rfloor$$

그리고 우리는이 결과를 일반화 할 수 있습니다 $\forall n \in \mathbb{Z}$ 유도 사용.

추신 : 완전한 이진 트리의 높이를 다음과 같이 기술 한 책 $\log_2(n+1)-1$ 모두에게 유효하지 않습니다 $n$ 때문에 $\log_2(n)$ 대부분의 정수에 비 정수 값을 제공합니다. $n$ (즉, 완벽한 이진 트리를 제외하고) 모든 나무의 높이는 순수하게 통합됩니다.

나는 그것을 가정하고있다. $n$이진 트리의 총 노드 수를 의미합니다. 이진 트리의 높이 (또는 깊이)는 루트 노드 (부모가없는 노드)에서 가장 깊은 리프 노드까지의 경로 길이입니다. 이 높이를 최소로 만들려면 트리가 가장 완전히 포화됩니다 (마지막 계층 제외). 특정 계층에 자식이있는 노드가있는 경우 부모 계층의 모든 노드에 두 개의 자식이 있어야합니다.

따라서 완전히 포화 된 이진 트리 $4$ 계층은 $1+1\cdot2+1\cdot2\cdot2+1\cdot2\cdot2\cdot2$ 노드는 최대이며 깊이는 $3$. 따라서 이진 트리의 깊이가 있으면 트리가 완전히 포화 된 경우 발생하는 최대 노드 수를 매우 쉽게 찾을 수 있습니다. 대수 클래스를 상기하면 기하학적 시리즈 일 뿐이 므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\text{nodes}=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{\text{depth}}=\sum_{k=0}^{\text{depth}} 2^{k}=\frac{1-2^{\text{depth}+1}}{1-2}.$$

다시 정리하자 :

$$\text{nodes}=2^{\text{depth}+1}-1,$$ 그런 다음 깊이를 해결하십시오. $$\begin{eqnarray} \text{nodes}+1&=&2^{\text{depth}+1}\\ \log_{2}(\text{nodes}+1)&=&\log_{2}(2^{\text{depth}+1})=\text{depth}+1\\ \log_{2}(\text{nodes}+1)-1&=&\text{depth}. \end{eqnarray}$$ 그리고 당신의 공식이 있습니다. 이제 모든 트리가 완전히 채워지면 ( '완벽한 이진 트리) 정수 값만 생성되므로 정수가 아닌 값을 얻으면 반올림해야합니다.

높이를 최소로 유지하려면 마지막을 제외한 모든 레벨을 채울 필요가 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 왜? 그렇지 않으면 마지막 레벨 노드를 상위 레벨의 빈 슬롯으로 옮길 수 있습니다.

이제 지정되지 않은 수의 콩이 있고 한 번에 하나의 콩을주고 최소 높이로 이진 트리를 구성하도록 요청한다고 상상해보십시오. 마지막 레벨을 완전히 채우거나 마지막 레벨에서 하나 이상의 Bean을 가질 때까지 Bean이 부족할 수 있습니다. 이 시점에서 나무 높이 h를가 집니다.

두 경우 모두 h 는 변하지 않습니다. 따라서 제약 조건 이있는 높이 h 의 완전한 이진 트리가 있음을 의미합니다 . 그러나 나는 마지막 수준에서 상상의 콩을 가정했습니다 (마지막 수준을 채울 수없는 경우). 실제로는

$$2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots+2^{h}=2^{h+1}-1 \leq n\,.$$ 최소한 $$h = \lg(n+1)-1\,.$$ 그러나 가상 콩을 추가하고 삭제하지 않기 때문에 상한을 적용하십시오.