쓸모없는 상태의 튜링 기계와 관련된 질문

자, 여기 계산 이론 수업에서 지난 테스트의 질문이 있습니다.

TM에서 쓸모없는 상태는 입력 문자열에 입력되지 않은 상태입니다. 하자 을 결정할 수 없음을 증명하십시오 .

$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}} = \{\langle M, q \rangle \mid q \text{ is a useless state in }M\}.$$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

나는 대답이 있다고 생각하지만 그것이 맞는지 확실하지 않습니다. 답변 섹션에 포함시킵니다.

이것은 Halting Problem에서 명백히 감소됩니다. 기계 이 입력 x에서 정지하지 않으면 최종 상태는 "무용지물"입니다. 입력이 주어 M , X 중단 문제를 들어, 그 구성이 용이 M은 X 모든 입력에 해당를 정지하는 경우에만, (따라서, 최종 상태는 쓸모없는) M의 에 정지하고 X . 이렇게하면 U S E L E S S T M을 결정할 수 있으면 중단 문제를 결정할 수 있습니다 .이 경우 모순이 발생합니다.$M$$x$$M,x$$M_x$$M$$x$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

이 증거의 목적을 위해 우리는 가정합니다 모순을 표시 decidable입니다.$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

다음을 수행하는 TM 을 작성하십시오 .$R$

• 완화 된 스택 (즉, LIFO 요구 사항 없음) 을 사용하여 TM 을 푸시 다운 오토마타 P 로 변환 합니다. 이는 M 상태 간 전환을 자세히 설명하는 유 방향 그래프와 같습니다 .$M$$P$$M$
• 의 시작 상태를 표시하십시오 .$P$
• 시작 상태에서 각 표시되지 않은 노드를 표시하는 각 아웃 바운드 에지를 따라 폭이 넓은 검색이 시작됩니다.
• 검색이 종료되면 어떤 일치하는 표시되지 않은 노드가있는 경우, , 동의 ; 그렇지 않으면 거부하십시오 .$q$

그런 다음 TM = "입력 $$$S$

1. 위에 표시된대로 TM 을 작성하십시오 .$R$
2. R에서 를 실행하십시오 .$q$$R$
3. 경우 반환을 수락, 동의 ; 경우 R의 거부, 거부 " $R$$R$

따라서 이 U S E L E S S T M 의 결정자 인 경우 S 는$R$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$$S$(수용 문제). 이후 T M이 결정 불가능한 것으로 입증된다 (마이클 십서 참조계산의 이론, 우리는 모순에 도달 한 174 페이지에 정리 4.11). 따라서 원래의 가설이 부정확하고 U S E L E S S T M 을 결정할 수 없습니다.$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$