매개 변수로 √n을 사용하여 되풀이 관계 해결

재발을 고려하십시오

$\qquad\displaystyle T(n) = \sqrt{n} \cdot T\bigl(\sqrt{n}\bigr) + c\,n$

대 어떤 양의 상수를 가진 및 .c T ( 2 ) = $n \gt 2$$c$$T(2) = 1$

나는 재발을 해결하기위한 마스터 정리를 알고 있지만 그것을 사용 하여이 관계를 어떻게 해결할 수 있는지 확실하지 않습니다. 제곱근 파라미터에 어떻게 접근합니까?

우리는 라파엘의 제안을 사용하고 재발을 전개 할 것입니다. 다음에서 모든 로그는 밑이 2입니다.

여기서β(n)은n으로 시작하기 위해 제곱근을 취하고 2에 도달 해야하는 횟수입니다. 그것은β(n)=loglogn입니다. 어떻게 알 수 있습니까? 고려 :

$$\begin{align*} T(n) &= n^{1/2} T(n^{1/2}) + cn \\ &= n^{3/4} T(n^{1/4}) + n^{1/2} c n^{1/2} + cn\\ &= n^{7/8} T(n^{1/8}) + n^{3/4} c n^{1/4} + 2cn\\ &= n^{15/16} T(n^{1/16}) + n^{7/8} c n^{1/8} + 3cn \\ & \ldots \\ &= \frac{n}{2} T(2) + c n \beta(n) \end{align*}.$$ $\beta(n)$$\beta(n) = \log \log n$ 따라서 2에 도달하기 위해 제곱근을 취하는 횟수는 $$\begin{align*} n &= 2^{\log n}\\ n^{1/2} &= 2^{\frac{1}{2} \log n} \\ n^{1/4} &= 2^{\frac{1}{4} \log n} \\ \ldots \end{align*}$$ 이며,loglogn입니다. 따라서 재귀에 대한 해결책은cnloglogn+$\frac{1}{2^t} \log n \approx 1$$\log \log n$. 이를 절대적으로 엄격하게하려면 대체 방법을 사용하고 반올림 방법에 매우주의해야합니다. 시간이 있으면이 계산을 내 대답에 추가하려고합니다.$c n \log \log n + \frac{1}{2}n$

귀하의 의견에서 당신은 대체를 시도했지만 붙어 있다고 언급했습니다. 작동하는 파생물은 다음과 같습니다. 동기는 우리가 √를 제거하고 싶습니다오른쪽에 n 곱하기,U(n)=U($\sqrt{n}$. 이 경우 상황이 매우 훌륭하게 해결됩니다.$U(n) = U(\sqrt{n}) + something$

이제 로그로 변경하여 더 단순화 해 봅시다 (lg√부터)

$$\begin{align} T(n) &= \sqrt{n}\ T(\sqrt{n}) + n & \text{so, dividing by $n$ we get}\\ \frac{T(n)}{n} &= \frac{T(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} + 1 &\text{and letting $n = 2^m$ we have}\\ \frac{T(2^m)}{2^m} &= \frac{T(2^{m/2})}{2^{m/2}} + 1 \end{align}$$ ). 하자 S ( m $\lg \sqrt{n} = (1/2)\lg{n}$ 아하! 이것은 솔루션S(m)=Θ(lg로 잘 알려진 재발입니다. $$\begin{align} S(m) &= \frac{T(2^m)}{2^m} & \text{so our original recurrence becomes}\\ S(m) &= S(m/2)+1 \end{align}$$ 로 되돌아 T $$S(m)=\Theta(\lg m)$$ , 우리는 n = 2 m (따라서 m = lg n ), $T(\,)$$n=2^m$$m=\lg n$ 따라서 T ( n ) = Θ ( $$\frac{T(n)}{n} = \Theta(\lg\,\lg n)$$ .$T(n) =\Theta(n\,\lg\,\lg n)$

을 쓰면$m=\log n \space$ you have $T(m) = {m \over 2}\cdot T({m\over 2}) + c\cdot 2^m\space$.

Now you know the recursion tree has hight of order $O(\log m)$, and again it's not hard to see it's $O(2^m)\space$ in each level, so total running time is in: $O((\log m) \cdot 2^m)\space$, which concludes $O(n \cdot \log \log n)\space$ for $n$.

In all when you see $\sqrt n$ or $n^{a \over b}, a<b \space$, is good to check logarithm.

_{P.S: Sure proof should include more details by I skipped them.}

Let's follow Raphael's suggestion, for $n = 2^{2^k}$:

$$\begin{align*} T(n) = T(2^{2^k}) &= 2^{2^{k-1}} T(2^{2^{k-1}}) + c2^{2^k} \\ &= 2^{2^{k-1}+2^{k-2}} T(2^{2^{k-2}}) + c(2^{2^k} + 2^{2^k}) \\ &= \cdots \\ &= 2^{2^{k-1}+2^{k-2}+\cdots+2^0} T(2^{2^0}) + c(2^{2^k} + 2^{2^k} + \cdots + 2^{2^k}) \\ &= 2^{2^k-1} + ck2^{2^k} \\ &= (c\log\log n + 1/2)n. \end{align*}$$

Edit: Thanks Peter Shor for the correction!

Unravel the recurrence once as follows:

$$\begin{align} T(n) &=& \sqrt{n}~ T(\sqrt{n}) + n \\ &=& n^{1/2} \big ( n^{1/4} ~ T(n^{1/4}) + n^{1/2}\big) + n \\ &=& n^{1-1/4}~ T(n^{1/4}) + 2n. \end{align}$$

Continuing the unraveling for $k$ steps, we have that:

$$\begin{align} \label{eqn:unrav} T(n) &=& n^{1-1/2^k} T(n^{1/2^k}) + kn. \end{align}$$

These steps will continue until the base case of $n^{1/2^k} = 2$. Solving for $k$ we have:

$$\begin{align} &&n^{1/2^k} = 2 \\ &\implies& \log n= 2^k \\ &\implies& k= \log \log n. \label{eqn:ksol} \end{align}$$

Substituting $k=\log \log n$ into the unraveled recurrence, we have

$$\begin{align} T(n) = \frac{n}{2} T(2) + n \log \log n. \end{align}$$