순진한 셔플 링은 얼마나 무증상입니까?

각 항목을 임의로 선택한 다른 항목으로 교체하여 배열을 섞는이 '순진한'알고리즘이 올바르게 작동하지 않는 것으로 잘 알려져 있습니다.

for (i=0..n-1)
  swap(A[i], A[random(n)]);

구체적으로, $n$ 반복 마다, $n$ 선택 중 하나 가 (균일 한 확률로) 이루어 지므로 , 계산을 통해 $n^n$ 가능한 '경로' 가 존재 한다; 가능한 순열의 개수 $n!$ 경로 수 으로 균등하게 나누지 않으면 $n^n$ 이 알고리즘이 각 을 생성하는 것은 불가능합니다 $n!$ 확률이 같은 순열입니다. (대신, 소위 Fischer-Yates 셔플을 사용해야합니다. 피셔-예이츠 셔플은 본질적으로 [0..n에서 난수를 선택하기위한 호출을 변경하고 [i..n)에서 난수를 선택하는 호출을 변경합니다. 그래도 내 질문에 답이 없습니다.)

내가 궁금한 것은 순진한 셔플이 얼마나 '나쁜'것일까 요? 구체적으로는,시키는 $P(n)$ 의 모든 순열들의 집합 및 $C(\rho)$ 결과 생산 순 알고리즘을 통한 경로의 수가 될 순열 $\rho\in P(n)$ 의 함수의 점근 동작 무엇

$\qquad \displaystyle M(n) = \frac{n!}{n^n}\max_{\rho\in P(n)} C(\rho)$

과

$\qquad \displaystyle m(n) = \frac{n!}{n^n}\min_{\rho\in P(n)} C(\rho)$ ?

주요 요인은 이러한 값을 '정규화'하는 것입니다. 순진 셔플이 '무증상'이면

$\qquad \displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n) = \lim_{n\to\infty}m(n) = 1$ 입니다.

실제 컴퓨터 값이 1에서 멀어졌지만 $\lim M(n)$ 이 유한한지 또는 $\lim m(n)$ 이 0? 이 수량의 동작에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

— 스티븐 스타드 니키
소스

좋은 질문. 이 질문에 가장 적합한 곳이 어디인지 모르겠습니다. 다른 포럼이 더 낫다는 것이 확실하지 않으면 1 주일 정도 여기에 두어야하며 만족스러운 답변을 얻지 못하면 다른 포럼 중 하나에 질문하십시오 (두 질문 모두에 링크 포함). ).

— 피터 쇼어

@vzn "왜 알려진 결함 알고리즘에 대한 엄격한 분석을 수행합니까?" 수학 은 흥미롭고 다른 응용 프로그램이 어디에서 발생할 수 있는지 모릅니다. 예를 들어 Knuth의 Bubble Sort 분석을 참조하십시오. Atwood의 차트는 불균일성에 대한 대략적인 정성 분석을 제공하지만 수학적으로 양적 분석과는 거리가 멀습니다. (그리고 Fischer-Yates 셔플의 몇 가지 다른 동등한 공식이 있습니다. 제가 언급 한 것은 잘 작동합니다.)

— Steven Stadnicki

레코드의 경우 OEIS 시퀀스 A192053 은 최대 이며 닫힌 양식을 나열하지 않습니다. 또한 해당 항목에 대한 메모는 min 가 일 수 있으며 암시합니다 .

C(ρ) $C(\rho)$

2n−1 $2^{n-1}$

m(n)→0 $m(n) \rightarrow 0$

— mhum

@vzn 공개 질문에 무슨 문제가 있습니까?

— 유발 Filmus

@vzn 마지막 문장에 동의하지 않으면 "불완전한"셔플에 대한 많은 분석이 있습니다. 예를 들어, 랜덤 전치 (random transposition)를하면 랜덤 성 임계 값이 대략 것으로 알려져 있습니다. 현재의 질문은 어려울 수 있지만, 선험적으로 "매우 어렵다"고 말하기는 어렵습니다. mhum 's와 같은 답변은 이미 매우 만족 스럽기 때문에 질문이 포럼에 적합하고 극복 할 수없는 장벽 (공식 증거는 제외)을 제시하지 않았 음을 보여줍니다.

(1/2)nlogn $(1/2) n\log n$

— 유발 Filmus

답변:

순열 이 인 예제 . 처음 몇 대한 최악의 경우 ( OEIS 시퀀스 A192053에 대한 참고 사항 참조 ) 입니다. 따라서 정규화 된 최대 값과 마찬가지로 정규화 된 최소값은 '지수 적으로 나쁩니다. $\rho_n = (2,3,4,\ldots, n,1)$ $C(\rho_n) = 2^{n-1}$ $n$ $m(n) \approx (2/e)^{n}$

기본 케이스는 쉽습니다. 유도 단계를 위해서는 다음과 같은 정리가 필요합니다.

렘마 : 에서 까지의 경로에서 첫 번째 이동은 위치 과 바꾸거나 마지막 이동은 위치를 교환합니다 과 . $(2,3,4, \ldots, n, 1)$ $(1,2,3, \ldots, n)$ $1$ $n$ $1$ $n$

프루프 스케치 : 그렇지 않다고 가정합니다. 번째 위치와 관련된 첫 번째 움직임을 고려하십시오 . 가 있다고 가정 '번째 이동, 및 . 이 이동은 아이템 을 번째 장소에 배치해야합니다. 이제 항목 닿는 다음 동작을 고려하십시오 . 이 움직임이 번째 움직임 이라고 가정하자 . 이 이동은 와 함께 항목 을 번째 위치 로 이동하여 와 교체해야합니다 . 비슷한 주장에 따르면 항목 은 나중에 오른쪽으로 만 이동할 수 있습니다. 그러나 항목 $n$ $i$ $i\neq 1$ $i \neq n$ $1$ $i$ $1$ $j$ $i$ $j$ $1$ $j$ $i < j$ $1$ $1$ 우선 모순이되어야합니다. $\square$

이제 첫 번째 이동이 위치 과 교체하면 나머지 이동은 순열 을 . 나머지 동작이 첫 번째 위치에 닿지 않으면 위치 의 순열 이며 유도에 의해 $1$ $n$ $(1, 3,4,5, \ldots, n,2)$ $(1,2,3,4, \ldots, n)$ $\rho_{n-1}$ $2 \ldots n$ 경로. Lemma의 증거와 비슷한 주장은 첫 번째 위치에 닿는 경로가 없다는 것입니다. 항목 은 잘못된 위치에 있어야하기 때문입니다. $C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$ $1$

마지막 이동 교환 만약 자리 및 은 제 이동 순열을한다 상기 순열로 . 다시 말하지만, 이러한 움직임이 마지막 위치에 닿지 않으면 순열 이며 유도에 의해 $1$ $n$ $n-1$ $(2,3,4,\ldots, n,1)$ $(n,2, 3,4, \ldots, n-1, 1)$ $\rho_{n-1}$ 경로. 그리고 다시,여기서첫 번째 중 하나가마지막 위치에 닿으면 항목 이 올바른 위치에 도달 할 수 없습니다. $C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$ $n-1$ $1$

따라서, . $C(\rho_n) = 2C(\rho_{n-1}) = 2^{n-1}$

— 피터 쇼어
소스

완벽 함-렘마 뒤에있는 주장은 내가 혁신에 대해 가지고있는 것과 같은 것처럼 보입니다. 아이덴티티 순열을 얻는 유일한 방법이지만 명시 적 스왑에서 재귀 구조를 놓쳤습니다. 고맙습니다!

— Steven Stadnicki

OEIS에 대한 mhum의 포인터 덕분에 일부 파고 들자 마자 나는 훌륭한 분석과 훌륭한 (상대적으로) 기본적인 논쟁 (골드 슈타인과 모우에 [1])이 에서 매우 빠르게 증가합니다 . $M(n)$ $n$

상관 퇴화의 의 알고리즘을 교환하기 때문에, 그 결과로서 식별 순열을 생성하는 '순'셔플 링 알고리즘의 실행에 대응하는 와 이어서 스왑 와 , 둘 다 변경하지 않고 그대로 둡니다. 이것은 신원 순열을 생성하는 알고리즘의 실행 횟수가 적어도 involutions 의 수임을 의미합니다 (사실, 약간의 생각은 대응이 1-1임을 나타내므로 정확히 $\iota$ $\{1\ldots n\}$ $k$ $\iota(k)$ $\iota(k)$ $k$ $Q(n)$ ), 및 최대이므로 에 의해 아래로부터 경계되어 . $Q(n)$ $M(n)$ $Q(n)$

는전화 번호를포함하여 여러 이름으로표시됩니다.http://oeis.org/A000085및http://en.wikipedia.org/wiki/Telephone_number_%28mathematics%29를참조하십시오. 무증상은 잘 알려져 있으며 $Q(n)$ ; 재발 관계로부터 비유도 적으로 나타낼 수있다 $Q(n) \approx C\left(\frac{n}{e}\right)^{n/2}e^\sqrt{n}$ $Q(n) = Q(n-1)+(n-1)Q(n-2)$ 은만족합니다 $R(n) = \frac{Q(n)}{Q(n-1)}$ 과 거기에서 기본 분석은점근선에서선행 항을얻지만 다른 항은 더 신중한 노력이 필요합니다. '스케일 팩터'이후 $\sqrt{n}\lt R(n)\lt\sqrt{n+1}$ $n^{n/2}$ 정의에서 은약 $\frac{n!}{n^n}$ $M(n)$ ,의 선행 항은우세하고 지배하고 산출합니다. $C\sqrt{n}e^{-n}$ $Q(n)$ . $M(n)\geq Cn^{(n+1)/2}e^{-3n/2+\sqrt{n}}$

실제로 Goldstein과 Moews는 [1]에서 항등 순열이 큰 대해 가장 가능성이 높 으므로 는 실제로 이고 의 동작 은 완전히 해결 되었음을 보여줍니다 . 이것은 여전히 의 행동에 관한 문제를 열어 둡니다 . 논문에서도 분석 결과가 나오더라도 놀라지 않을 것입니다. 그러나 그 방법을 제대로 파악할 수있을 정도로 면밀히 읽을 기회는 없었지만 기본적인 결과를 얻을 정도로 충분했습니다. $n$ $\geq$ $\approx$ $M(n)$ $m(n)$

[1] Goldstein, D. and Moews, D .: "아이덴티티는 큰 n에 대한 교환 셔플 일 가능성이 가장 높습니다", http://arxiv.org/abs/math/0010066

— 스티븐 스타드 니키
소스

순열

이

인 예 임을 나타내는 것은 어렵지 않습니다 . 처음 몇위한 이것은, 최악의 경우

, 다음

. $(2,3,4,\ldots,n,1)$

$C(\rho) = 2^{n-1}$

$n$

$m(n) \approx (2/e)^n$

— 피터 쇼어

@PeterShor 당신은 기본 논증을 줄 수 있습니까? 작동하는 involutions 인수의 간단한 버전이 누락 된 것처럼 느껴지지만 실제로는 얻지 못했습니다. 비록 그것이 아주 작지 않아도 충분하다고 생각합니다. 최소 개수는

에서 하위 지수 가 아닌 것처럼 보이며 정규화 된 최대 및 최소가 '지수 적으로 나쁘다'라는 것을 아는 것은 꽤 만족스러운 답변입니다. $n$

— Steven Stadnicki

나는 논쟁에 대한 대답을 추가했다 ... 코멘트가 너무 길다.

— Peter Shor