coq로 타우 톨 로지 증명

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현재 나는 Coq를 배워야하고 or: 을 처리하는 방법을 모른다

예를 들어, 간단하게 증명하는 방법을 모르겠습니다.

Theorem T0: x \/ ~x.

누군가 나를 도울 수 있다면 정말 감사하겠습니다.

참고로이 치트 시트를 사용합니다 .

또한 내가 생각하는 증거의 예 : 이중 부정의 경우 :

Require Import Classical_Prop.

Parameters x: Prop.

Theorem T7: (~~x) -> x. 
intro H. 
apply NNPP. 
exact H. 
Qed.

logic coq

— 성충
소스

NNPP의 타입은 forall p:Prop, ~ ~ p -> p.증명하기 위해 그것을 사용하는 것을 속이는 것 T7입니다. 수입 Classical_Prop하면Axiom classic : forall P:Prop, P \/ ~ P.

— Anton Trunov

따라서 apply classic.의 목표를 해결합니다 T0.

— Anton Trunov

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직관적 인 논리를 기반으로하기 때문에 "vanilla"Coq에서는이를 증명할 수 없습니다 .

증명 이론적 관점에서, 직관 논리는 제외 된 중간 및 이중 부정 제거 의 법칙이 유효한 논리 규칙이 아닌 고전 논리의 한계입니다 .

이와 같은 상황을 처리 할 수있는 몇 가지 방법이 있습니다.

제외 된 중간의 법칙을 공리로 소개하십시오.
```
Axiom excluded_middle : forall P:Prop, P \/ ~ P.
```
이 시점 이후에는 더 이상 아무것도 증명할 필요가 없습니다.
배제 된 중간의 법칙과 동등한 공리를 도입하고 그들의 동등성을 입증하십시오. 다음은 몇 가지 예입니다.
- 이중 부정 제거 는 그러한 공리 중 하나입니다.
```
Axiom dne : forall P:Prop, ~~P -> P.
```
- 피어스의 법칙 은 또 다른 예입니다.
```
Axiom peirce : forall P Q:Prop, ((P -> Q) -> P) -> P.
```
- 또는 De Morgan의 법률 중 하나를 사용하십시오 .
```
Axiom de_morgan_and : forall P Q:Prop, ~(~P /\ ~Q) -> P \/ Q.
```

— 안톤 트루 노프
소스

지금까지 감사합니다. 나는 당신이 쓴 모든 것에 익숙하지 않지만 그래도 확인할 것입니다. 나는 coqIde를 사용하고 실제로 이중 부정에 대한 증거를 얻었고 나중에 더 명확하게하기 위해 문제 설명에 추가했습니다. 위에서 언급 한 문제와 비슷한 방법이있을 것으로 기대했습니다. 아마도 하나의 예를 포함했을 것입니다.

— Imago

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@AntonTrunov 당신은 당신의 괄호를 추가해야합니다 Axiom peirce: 그것은 Peirce의 법칙이 아니며 실제로 trivial증명됩니다.

— gallais

@gallais 그것을 발견해 주셔서 감사합니다! 결정된.

— Anton Trunov

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다른 사람들이 알려 주었 듯이 고전적인 논리를 가정하지 않으면 타우 톨 로지가 타우 톨 로지가 아닙니다. 그러나 결정 가능한 진리 값에 대한 타투로지를 수행하고 있기 때문에 bool대신 사용할 수 있습니다 Prop. 그런 다음 당신의 타우 톨 로지에는 다음이 포함됩니다.

Require Import Bool.

Lemma how_about_bool: forall (p : bool), Is_true (p || negb p).
Proof.
  now intros [|].
Qed.

— 안드레이 바우어
소스