n 제수로 가장 작은 정수를 효율적으로 계산

이 문제를 해결하기 위해 먼저

$$\phi(p_1^{e_1} \space p_2^{e_2} \cdots \space p_k^{e_k}) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1)$$

여기서 은 제수 (반드시 소수 일 필요는 없음)입니다 . 경우 가장 작은 정수이다되도록 이어서,$\phi(m)$$m$$m$$\phi(m) = n$

$$\phi(m) = n$$ $$(e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1) = n$$

이제 우리는 선택해야 하도록을 최소이다. 에 대한 선택 은 사소합니다. 오름차순의 소수입니다.$e_i$$\prod_{i} p_i^{e_i}$$p$

그러나 를 선택 첫 생각 은 틀 . 내가 생각 당신이 할 수 단순히 요인 , 종류와 작은 정수 예를 들면, 내림차순하고 대부분의 시간을이 작품 벌금 1. 빼기의 요인 의 약수는 다음과 같습니다$e_i$$n$$n = 15$

$$15 = 5 \cdot 3$$ $$15 = (4 + 1)(2 + 1)$$ $$m = 2^4 3^2 = 144$$

그러나 이것은 올바르지 않습니다 .$n = 16$

$$16 = 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2$$ $$16 = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^1 3^1 5^1 7^1 = 210$$

정답은 다음과 같습니다.

$$16 = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^3 3^1 5^1 = 120$$

따라서 때때로 요소를 병합해야한다는 것이 분명합니다. 이때 인해 . 그러나 나는 깨끗하고 직접적인 병합 전략을 정확히 보지 못한다. 예를 들어, 항상 힘 으로 합쳐야한다고 생각할 수도 있지만, 이것은 사실이 아닙니다.$7^1 > 2^2$$2$

$$1552 = (96 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^{96} 3^1 5^1 7^1 11^1 > 2^{96} 3^3 5^1 7^1$$

나는 즉시 예를 생각할 수는 없지만 내 본능에 따르면 욕심 많은 접근 방식이 잘못된 힘을 먼저 합치면 실패 할 수 있다고 말합니다.

정답을 얻기 위해 이러한 권한을 병합하는 간단한 최적의 전략이 있습니까?

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추가. 가능한 모든 병합을 확인하고 병합별로 최선을 수행하는 탐욕스러운 알고리즘은 에서 실패합니다 . 일련의 일대일 병합은 다음과 같습니다.$n = 3072$

$$2^2 3^1 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1 31^1$$

$$2^3 3^2 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1$$

$$2^5 3^3 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1$$

그러나 최적의 솔루션은 다음과 같습니다.

$$2^7 3^3 5^2 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1$$

위의 의견을 기반으로 한 해결책이 있습니다. 나는 이것이 최적이라고 주장하지 않습니다.

아이디어는 을 고려하는 것이며 , 이는 "정확히 제수와 개의 고유 한 소수를 가진 가장 작은 양의 정수"로 정의됩니다 . 우리는 쉽게 관찰합니다 :$T(n,m)$$n$$m$

$$\begin{align} T(n, 1) &= 2^{n-1}\\ T(2^m, m) &= p_1p_2\cdots p_m \end{align}$$

그리고 우리는 또한 재발이 있습니다.

$$\begin{equation} T(n,m) = \min_{d|n} [T\left(\frac{n}{d}, m-1\right)\cdot p_m^{d-1}] \end{equation}$$

마지막으로, 찾고자하는 수량은

$$\begin{equation} \min_{1\le i\le\lceil\log(n)\rceil} T(n, i) \end{equation}$$

이를 위해 여기에 주어진 모든 숫자와 일치하는 Python 코드가 있습니다. 로그와 함께 작동하여 숫자를 작게 유지합니다. 따라서 실제 정수는 round(2**smallest(n))입니다.

import functools
import itertools
import math

# All primes less than 100.
PRIMES = [
  2, 3, 5, 7, 11,
  13, 17, 19, 23, 29,
  31, 37, 41, 43, 47,
  53, 59, 61, 67, 71,
  73, 79, 83, 89, 97,
]

LOG_PRIMES = [math.log2(p) for p in PRIMES]

def smallest(n):
  max_factors = math.ceil(math.log2(n))
  min_so_far = float('Infinity')
  factors = factorize(n)
  memo = {}
  for i in range(1, max_factors+1):
    t = T(n,i, factors, memo)
    if 0.0 < t < min_so_far:
      min_so_far = t
  return min_so_far

def T(n, m, factors=None, memo=None):
  if memo is None:
    memo = {}
  if n < 2 or m < 1:
    return 0
  elif m == 1:
    # Everything on the smallest prime.
    return (n-1) * LOG_PRIMES[0]
  elif n < 2**m:
    return 0
  elif n == 2**m:
    # Product of first m primes, in log.
    return sum(LOG_PRIMES[:m])
  elif (n,m) in memo:
    return memo[(n,m)]

  if factors is None:
    factors = factorize(n)
  if len(factors) < m:
    return 0

  smallest = float('Infinity')  
  for factor_list in powerset(factors):
    divisor = product(factor_list)
    first = T(divisor, m-1, factor_list, memo)
    # No such product.
    if first < 1.0:
      continue
    second = (n/divisor - 1) * LOG_PRIMES[m-1]
    total = first + second
    if total < smallest:
      smallest = total

  memo[(n,m)] = smallest
  return smallest

def product(nums):
  return functools.reduce(lambda x,y: x*y, nums, 1)

def factorize(n):
  prime_factors = []
  for p in PRIMES:
    while n%p == 0:
      n //= p
      prime_factors.append(p)
    if n == 1:
      break
  return prime_factors

def powerset(lst):
  # No empty set.
  return itertools.chain.from_iterable(itertools.combinations(lst, r) 
                                       for r in range(1, len(lst)+1))

"n 제수를 갖는 가장 작은 정수"에 대한 가능한 후보는 다음 형식의 정수입니다. $2^a·3^b·5^c...$ 여기서 a ≥ b ≥ c ... 및 (a + 1) (b + 1) (c + 1) ... = n입니다.

따라서 n을 오름차순으로 정수 ≥ 2의 곱으로 표현하는 모든 방법을 찾아 해당 후보를 계산하고 확인해야합니다. 예를 들어, n = 16, 16 = 8 · 2 = 4 · 4 = 4 · 2 · 2 = 2 · 2 · 2 · 2 인 경우 가능성은 다음과 같습니다.$2^7·3$, $2^3·3^3$, $2^3·3·5$, $2·3·5·7$가장 작은 $2^3·3·5 = 120$.

n이 2 개의 소수 p · q, p ≥ q의 곱이면 유일한 후보는 $2^{pq-1}$ 과 $2^{p-1}·3^{q-1}$후자는 항상 더 작습니다.

요인이있을 수있는 상태를 파악할 수 있습니다 $2^{ab-1}$ 예를 들어 $2^{ab-1} > 2^{a-1}·x^{b-1}$소수가 아닌 중요한 x의 경우. 예제 n = 16에는 요인이 있습니다.$2^3$ 때문에 $2^3 < 2·7$.