점근 표기법 사용 오류

다음과 같은 재발의 다음 증거로 무엇이 잘못되었는지 이해하려고합니다.

설명서에 유도 귀무 가설 때문에 잘못 되었다고 나와 있습니다.

최종 목표는 을 증명하는 것 입니다. 귀납 가설로 시작합니다.$T(n) = \mathcal{O}(n)$

모든 i < n에 대해 T ( i ) ≤ c i .$T(i) \leq ci$$i < n$

그리고 증거를 완료하기 위해, 당신은 보여 주어야 뿐만 아니라입니다.$T(n) \leq cn$

그러나 추론 할 수있는 것은 이며 증명을 완료하는 데 도움이되지 않습니다. (거의) 모든 n에 대해 하나의 상수 c 가 필요합니다 . 따라서 우리는 아무것도 결론을 내릴 수 없으며 T ( n ) = O ( n ) 은 증명되지 않습니다.$T(n) \leq (c+1)n$$c$$n$$T(n) = \mathcal{O}(n)$

결과와 증명 프로세스가 혼동됩니다. 그리고이 경우 은 실제로 Θ ( n log n ) 이므로이를 증명할 수있는 적절한 유도 가설을 고려할 수 있습니다.$T(n)$$\Theta(n \log n)$

몇 단계를 생략했습니다. 임을 유도하여 증명하려고 시도하는 것처럼 보이고 증거는 다음과 같습니다.$T(n) = O(n)$

k < n에 대해 라고 가정하십시오 . 이것은 T ( k ) ≤ $T(k) = O(k)$$k<n$일부 c의 경우 k . 그런 다음 T ( n ) = 2 T ( ⌊ n / 2 ⌋ ) + n ≤ 2 c ⌊ n / 2 ⌋ + n ≤ ( c + 1 $T(k) \le c \, k$$c$ 이므로 T ( n ) = O ( n ) 입니다.$T(n) = 2 T(\lfloor n/2\rfloor) + n \le 2 c \lfloor n/2\rfloor + n\le (c+1) \,n$$T(n) = O(n)$

이 증명은 처음부터 잘못되었습니다.“ k < n ”에 대한 는 의미가 없습니다. 큰 오 점근선 개념이다 : T ( K ) = O ( K ) 일부의 일정이 있음을 의미 C 및 문턱 N 되도록 ∀ K ≥ N , T ( K ) ≤ $T(k) = O(k)$$k \lt n$$T(k) = O(k)$$c$ . 그리고 마지막으로,“ T ( n ) = O ( n ) ”이라고 결론 지을 수 없습니다. 왜냐하면 함수 T 에 대한 내용이 전체적으로 나타나고 특정 값 T ( n ) 에 대해서만 무언가를 증명했기 때문입니다..$\forall k \ge N, T(k) \le c \, k$$T(n)=O(n)$$T$$T(n)$

의미 에 대해 명시해야합니다 . 아마도 당신의 증거는 다음과 같습니다.$O$

T ( k ) ≤ c 라고 가정하자 모든 K < N . 그런 다음 T ( n ) = 2 T ( ⌊ n / 2 ⌋ ) + n ≤ 2 c ⌊ n / 2 ⌋ + n ≤ ( c + 1 $T(k) \le c \, k$$k < n$ .$T(n) = 2 T(\lfloor n/2\rfloor) + n \le 2 c \lfloor n/2\rfloor + n\le (c+1) \,n$

이것은 유도 단계를 증명하지 못합니다 : 이고 k = n의 경우 T ( k ) ≤ ( c + 1 $T(k) \le c \, k$$k=n$ . 이것은 약한 경계입니다. 이것이 무엇을 의미하는지보십시오 : T ( k ) ≤ $T(k) \le (c+1) \, k$ 는 c 가 T 의 성장 속도에 대한 경계임을 의미한다. 그러나 k가 커지면 c 가증가합니다. 그것은 선형적인 성장이 아닙니다!$T(k) \le c \, k$$c$$T$$c$$k$

자세히 보면 k가 두 배가 될 때마다 비율 가 1 씩 증가 한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 비공식적으로 m = 2 p k 이면 c m = c k + p ; 즉, c k = c 0 log 2 k 입니다.$c$$1$$k$$m=2^p k$$c_m = c_k + p$$c_k = c_0 \log_{2} k$

이것은 정확하게 할 수 있습니다. , T ( k ) ≤ c log 2 ( k )의 유도로 증명합니다 .$k \ge 1$$T(k) \le c \log_2(k)$

재귀 관계는 데이터를 선형 시간에 두 개의 동일한 부분으로 분할하는 분할 및 정복 알고리즘에 일반적입니다. 이러한 알고리즘은 시간 ( O ( n ) 아님).$\Theta(n\,\mathrm{log}(n))$$O(n)$

예상 결과가 무엇인지 보려면 마스터 정리 에 대한 반복 관계를 확인할 수 있습니다 . 나눗셈은 이고 추가 작업은 n입니다 . log 2 ( 2 ) = 1 이므로 성장이 Θ ( n 인 두 번째 경우 입니다.$2T(n/2)$$n$$\log_2(2) = 1$ .$\Theta(n\,\log(n))$

나는 이미 내 의견을 더 자세히 설명함으로써 이미 주어진 대답을 확장하고 있습니다.

추측하기가 어렵고 지루할 수 있으므로 때로는 더 나은 방법이 존재합니다. 그러한 방법 중 하나는 마스터 정리 입니다. 우리의 되풀이는 이제 . 여기서 a ≥ 1 및 b > 1 은 상수이고 f ( n ) 는 함수입니다. 우리의 경우 ⌊ n / 2 ⌋ 는 n / 2 를 의미하는 것으로 해석 될 수 있습니다.$T(n) = a T(n/b) + f(n)$$a \geq 1$$b > 1$$f(n)$$\lfloor n/2 \rfloor$$n/2$. 기술적으로 정확히 말하면, 가 정수가 아니기 때문에 재귀가 잘 정의되어 있지 않을 수 있습니다. 그러나 이것은 재발의 점근 적 행동에 영향을 미치지 않기 때문에 허용됩니다. 따라서 바닥과 천장을 떨어 뜨리는 것이 편리한 경우가 많습니다. 이것의 공식적인 증거는 약간 지루하지만 관심있는 독자는 예를 들어 Cormen et al. 책 .$n/2$

우리의 경우에는 , b = 2 , f ( n ) = Θ ( n ) 입니다. 이것은 우리가 n log b a = n log 2 2 = n 임을 의미합니다 . 마스터 정리 의 두 번째 경우 는 f ( n ) = Θ ( n ) 이후에 적용되며 , 해는 T ( n ) = Θ ( n $a = 2$$b = 2$$f(n) = \Theta(n)$$n^{\log_b a} = n^{\log_2 2} = n$$f(n) = \Theta (n)$ .$T(n) = \Theta (n \log n)$