이진 트리 증명에는 최대

n 개의 노드가 있는 이진 트리 가 최대 ⌈ n 임을 증명하려고합니다.$n$잎. 인덕션으로 어떻게하면 좋을까요?$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

힙에 대한 원래 질문을 따르는 사람들을 위해 여기 로 옮겨졌습니다 .

이제 질문이 다음과 같다고 가정합니다.

와 이진 트리 감안할 때 노드가 대부분에 포함되어 있음을 증명 ⌈ $n$잎.$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

우리 트리 정의 작동하자 . 들어 T 와 같은 나무,하자 N T 노드의 수 T 와 L T 에 나뭇잎의 수 T .$\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$$T$$n_T$$T$$l_T$$T$

인덕션으로이를 수행하는 것이 맞지만 트리 구조를 따르는 구조적 인덕션 이 필요합니다 . 나무의 경우, 이것은 종종 나무의 높이 에 대한 완전한 유도로 수행됩니다 .$h(T)$

유도 앵커에는 두 부분이 있습니다. 우선 대한 우리가 T = E m의 P의 t의 Y 와 L T = N T = 0 ; 빈 나무에 대한 주장은 분명합니다. 들면 H ( t ) = 1 , 즉 T = L은 전자 F를 우리가 가지고 마찬가지로 L T = 1 = ⌈ N $h(t)=0$$T=\mathrm{Empty}$$l_T=n_T=0$$h(t)=1$$T = \mathrm{Leaf}$이므로 클레임은 나뭇잎을 유지합니다.$l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

인덕션 가설은 : 제 나무 전체 (바이너리)을위한 보유한다고 가정 과 시간 ( T ) ≤ K , K ≥ 1 임의하지만 고정.$T$$h(T)\leq k$$k\geq 1$

유도 단계의 경우 h ( T ) = k + 1 인 임의의 이진 트리 를 고려하십시오 . 마찬가지로 K ≥ 1 , T = N O D E ( L , R ) 및 N T = N L + N R + 1 . 으로 L 과 R은 이진 트리도 있습니다 (그렇지 않으면 T는 되지 않을 것)과 시간 ( L ) , 시간 $T$$h(T)=k+1$$k\geq 1$$T=\mathrm{Node}(L,R)$$n_T = n_L+ n_R+1$$L$$R$$T$ , 유도 가설이 적용되고$h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

모든 잎으로 에 하나 있습니다 L 또는 R , 우리는이$T$$L$$R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

로 표시된 부등식은 n L , n R ∈ 2 N 인지에 대한 (4 가지 방법) 대소 문자 구분으로 확인할 수 있습니다 . 귀납의 힘으로 증명이 끝납니다.$(*)$$n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$

실습으로 동일한 기술을 사용하여 다음 진술을 증명할 수 있습니다.

• 높이 의 모든 완벽한 이진 트리 에는 2 h - 1 노드가 있습니다.$h$$2^h-1$
• 모든 이진 트리에는 홀수 개의 노드가 있습니다.

나는 그 질문에 약간 혼란스러워한다. Wikipedia가 원하는대로 최대 도의 나무에 관심이 있다면 단일 모서리에 n = 2 개의 노드가 있고 n = 2 개의 잎이 있지만 n / 2 = 1 인 문제가 발생 합니다. 어쨌든, 여기에는 쉬운 주장이있는 가까운 것이 있습니다. $3$$n=2$$n=2$$n/2 = 1$

는 n 개의 노드와 L 개의 잎이 있는 나무로 하자 . 이후 T는 나무입니다,가 N - 1 개 모서리 및 이중 계산 그들, 우리는 볼이 2 N - 2 ≤ L + 3 ( N - L ) 라고 말한다 2 L ≤ N + 2 이 두 가지에 꽉이며, 위의 -vertex 예. 2의 근이 하나이고 n ≥ 3 이라고 가정 하려면이 인수를 구체화하여 2 L 을 줄 수 있다고 생각합니다.$T$$n$$L$$T$$n-1$