HoTT의 제품을 교회 / scott 인코딩으로 줄이기

그래서 저는 현재 일부 사람들과 HoTT 책을 통해 가고 있습니다. 나는 우리가 보게 될 대부분의 귀납적 유형은 동등한 유형에 대한 영감으로 되풀이 유형을 취함으로써 종속 함수 유형과 유니버스 만 포함하는 유형으로 줄일 수 있다고 주장했다. 나는 이것이 어떻게 작동 할 것이라고 생각했는지 스케치하기 시작했고 약간의 걸림돌이 나는 대답이라고 생각한 것에 도달했습니다.

\cdot \times \cdot \equiv \prod_{ㅏ, 비, 씨 : 유} (ㅏ \to 비 \to 씨) \to 씨

$\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : \mathcal{U}} (A \to B \to C) \to C$

(\cdot, \cdot) \equiv λ ㅏ : ㅏ . λ 비 : 비 . λ 씨 : 유 . λ 지 : ㅏ \to 비 \to 씨 . 지 (ㅏ) (비)

$(\cdot, \cdot) \equiv \lambda a : A. \lambda b : B. \lambda C : \mathcal{U}. \lambda g : A \to B \to C. g(a)(b)$

나는 엔 디_{ㅏ \times 비} \equiv λ 씨 . λ 지 . λ 피 . 지 (피 {아르 자형}_{1} (피)) (피 {아르 자형}_{2} (피))

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. g(pr_1(p))(pr_2(p))$

이는 올바른 정의 방정식 ( 및 대한 정의 방정식 생략)을 제공하지만 이는 유형이 잘못되었음을 의미합니다. $pr_1$ $pr_2$ $ind_{A \times B}$

{산업}_{ㅏ \times 비} : \prod_{씨 : ㅏ \times 비 \to 유} (\prod_{ㅏ : ㅏ} \prod_{비 : 비} 씨 ((ㅏ, 비))) \to \prod_{피 : ㅏ \times 비} 씨 ((피 {아르 자형}_{1} (피), 피 {아르 자형}_{2} (피)))

$\text{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to \mathcal{U}} (\prod_{a:A} \prod_{b:B} C((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C((pr_1(p), pr_2(p)))$

그리고 이것에 대한 간단한 해결책은없는 것 같습니다. 나는 또한 다음 정의에 대해 생각했다.

나는 엔 디_{ㅏ \times 비} \equiv λ 씨 . λ 지 . λ 피 . 피 (씨 (피)) (지)

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. p(C(p))(g)$

그러나 이것은 단지 typecheck하지 않습니다.

내가 가진 또 다른 아이디어는 를 사용하는 것입니다. $uniq_{A \times B}$ $C((pr_1(p), pr_2(p)))$ $C(p)$ $uniq_{A \times B}$ 적절한 형태의 귀납법 없이는 정의 할 수없는 것처럼 보이므로, 책에 제시된 바와 같이 신원 유형을 허용하더라도 의 정의에 더 가까울 수는 없습니다. $uniq_{A \times B}$

그래서 여기서는 리 커서를 정의 할 수 있지만 인덕터는 정의 할 수없는 것 같습니다. 우리는 인덕터처럼 보이는 것과 거의 비슷하지만 그것을 만들지 못하는 것을 정의 할 수 있습니다. 재귀는이 유형을 논리적 인 결합의 의미로 받아들이는 논리를 수행 할 수있게하지만 부족한 것처럼 보이는 제품에 대해서는 증명할 수 없습니다.

내가 주장한 일종의 감축을 할 수 있습니까? 즉, 종속 함수 유형과 제품과 동일한 정의 방정식 및 유형을 가진 쌍 함수 및 인덕터가있는 유니버스 만 사용하여 유형을 정의 할 수 있습니까? 내가 거짓 주장을했다는 의심이 커지고 있습니다. 우리가 너무 실망스럽게 접근 할 수는 있지만 그렇게하지는 못하는 것 같습니다. 우리가 그것을 정의 할 수 없다면 어떤 종류의 논쟁이 왜 우리가 할 수 없는지를 설명합니까? HoTT 책에 제시된 제품이 시스템의 강도를 높이는가?

— 제이크
소스

내가 이해하는 한, 일반적인 교회 인코딩은 우리에게 비 의존적 제거 (재귀)를 인정하지만 의존적 인 제거 (인덕터)는 인정하지 않는 유형을 제공합니다. 귀하의 질문은 이것 과 관련 이 있을 수 있습니다 . HoTT가 이와 관련하여 무언가를 변경하는지 확실하지 않습니다.

— chi

도움이 될 것 같습니다. 그것을 이해함에 따라 내 질문은 건축의 예측 미적분학 (Coq- (co) -inductive) 유형에 대해 대답 할 것입니다. 이 모델 (CiC 모델이 아닌 CoC 모델)을 다루지 만 찾을 수없는 논문을 찾고 있습니다. 우연히 소스가 있습니까?

— Jake

불행히도 공유 할 참조가 없습니다. 나는 또한이 민속 사실을 인용 할 수있는 자료를 얻는 데 관심이 있습니다.

— chi

나는 또한이 사실에 대한 민속 참조를 계속 찾고 있지만 설명을 찾을 수없는 것 같습니다.

— Jake

좋은 질문이지만 cstheory.stackexchange.com

— Martin Berger

내가 종종주는 표준 참조는 Herman Geuvers 가 유도가 2 차 종속 유형 이론에서 도출 할 수 없다는 것입니다.

엔 : 티 와이 피 이자형

$N : \mathrm{Type}$

기능

지 : 엔 에스 : 엔 \to 엔

$Z:N\qquad S:N\rightarrow N$

그런

나는 엔 디 : Π 피 : 엔 \to 티 와이 피 이자형 . 피 지 \to (Π 미디엄 : 엔 . 피 미디엄 \to 피 (에스 미디엄)) \to Π 엔 : 엔 . 피 엔

$\mathrm{ind}:\Pi P:N\rightarrow \mathrm{Type}.P\ Z\rightarrow (\Pi m:N.P\ m\rightarrow P\ (S\ m))\rightarrow \Pi n:N. P\ n$

증명할 수 있습니다. 이것은 실제로 이러한 인코딩은 설명 된대로 쌍을 사용할 수 없음을 나타냅니다.

이것이 입증 된 시스템은 강력한 제품 유형과 우주를 포함하는 건축 미적분학의 하위 집합입니다. 나는이 결과가 당신이 관심있는 시스템으로 확장 될 수 있다고 생각합니다.

슬프게도, 나는 당신의 질문에 대한 완전한 답을 모른다. 필자는 특정 파라 메트릭 원칙을 "내부"로 추가하는 것이 이러한 인코딩이 완전한 유도 원리와 함께 작동하도록하는 데 필요한 것이라고 생각합니다. 자신의 지식을 엄밀히 알고있는 닐 크리슈나 스와미 (Neel Krishnaswami)는 데릭 드레 이어 (Derek Dreyer)와 함께이 라인을 따라 논문을 썼습니다.

건축의 확장 미적분학에 관계형 매개 변수를 내재화

Bernardy, Jansson, Patterson (버나 디는이 주제들에 대해 깊이 생각했다)

파라 메트릭 및 종속 유형

분명히 매개 변수는 일반적으로 HoTT와 강한 관계가 있지만 세부 사항이 무엇인지 모르겠습니다. Steve Awodey는 이러한 질문을 고려했다고 생각합니다. 인코딩 트릭은 제거기가 어떻게 생겼는지 모르는 상황에서 유용하기 때문입니다.

— 코디
소스

아이디어를 작동 시키려면 @cody의 답변에서 지적했듯이 추가 항목이 필요합니다. 샘 Speight는 impredicative 우주를 사용 HOTT 달성 될 수 있는지 볼 스티브 아워 디의 감독하에 일 HOTT의에서 유도 유형의 Impredicative 인코딩을 블로그 게시물.

— 안드레이 바우어
소스