인형을위한 Monadic 2 차 로직

저는 오토마타에 관심이 있지만 논리에는 관심이없는 프로그래머입니다.

나는 두 사람이 매우 밀접하게 관련되어 있다는 논문을 읽었습니다. DFA (Deterministic Finite Automata), Tree Automata 및 Visibly Pushdown Automata는 모두 모나 딕 2 차 로직 (MSO)과 관련이 있습니다. 비록 오토마타와 사람들이 (서류에서) MSO와의 관계를 설명하려고 노력했지만, 그들은 항상 논리에 대한 강력한 배경과 MSO에 대한 이해를 가정합니다.

논리에 관한 책과 코스를 볼 때, 그들은 주로 1 차 논리 만 처리합니다 .1 차 논리는 매우 단순하고 몇 가지 개념으로 만 구성되어 있습니다 : 변수 또는 모든 것을 암시하지는 않습니다.

누군가 설명하거나 설명 할 수있는 자료를 알려줄 수 있습니까?

1 차 로직과 달리 2 차 로직은 무엇입니까?
모나 딕과 비 모나 딕 로직은 무엇입니까?
2 차 논리가 결정 가능한 것이 모나 딕 인 것이 중요한 이유는 무엇입니까? 그렇지 않은 이유는 무엇입니까?
모나 딕 2 차 로직을 결정할 수있는 이유는 무엇입니까?
적어도 DFA와의 관계는?

그것이 자원이라면 내가 논리학자가 아니라 프로그래머라고 가정하면 좋을 것입니다. 이것은 내가 코드로 구현하는 방법을 이해하고 싶다는 것을 의미합니다. 그때까지 수학은 나에게 마술처럼 느껴지기 때문입니다.)

도움을 주셔서 감사합니다. 정말 고맙겠습니다.

— 월터 슐츠
소스

"2 차 로직이 결정 가능한 것이 왜 중요한지 또는 왜 이것이 잘못된 질문인가?" 이진 술어에 대한 수량화를 허용하는 경우 (예 :

다음에는 이미 결정 불가능한 단일 2 진 술어를 사용하여 First Order Logic의 성능을 즉시 확보합니다 (arity> 0의 함수가없고 동등 함이 없음) [Kalmar, Suranyi, 1950]

\exists M [. . . M (x, y) . . .]

$\exists M[...M(x,y)...]$

— Vor

1 차 로직과 달리 2 차 로직은 무엇입니까?

모나 딕과 비 모나 딕 로직은 무엇입니까?

모나 딕 2 차 로직은 1 차 로직 + 세트에 대한 정량화입니다. 따라서 일부 속성 ( ) 이있는 도메인 요소가 있다고 말할 수있을뿐만 아니라 일부 속성이있는 도메인 요소 세트 가 있다고 말할 수도 있습니다. 예를 들어, 우리는 $\exists x\dots$

\begin{aligned} \exists R \exists G \exists B [ & \forall x (x \in R \lor x \in G \lor x \in B) \\ \land \neg \exists x ((x \in R \land x \in G) \lor (x \in G \land x \in B) \lor (x \in B \land x \in R)) \\ \land \forall x \forall y (E (x, y) \to \neg ((x \in R \land y \in R) \lor (x \in G \land y \in G) \\ \lor (x \in B \land y \in B)))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\exists G\,\exists B\, \big[&\forall x\,\big(x\in R\lor x\in G\lor x\in B\big)\\ &\land \neg\exists x\,\big((x\in R\land x\in G) \lor (x\in G\land x\in B) \lor (x\in B\land x\in R)\big)\\ &\land \forall x\,\forall y\,\big(E(x,y)\rightarrow \neg \big((x\in R\land y\in R)\lor (x\in G\land y\in G)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\lor (x\in B\land y\in B)\big)\big)\big]\,. \end{align*}$

즉, 빨강, 녹색 및 파랑의 색상이 있습니다.

모든 정점에는 색상이 있습니다
정점에는 두 가지 색상이 없습니다
두 정점 사이에 모서리가 있으면 두 정점의 색상이 동일하지 않습니다.

$k$ $k$ $k=1$ $1$

2 차 논리가 결정 가능한 것이 모나 딕 인 것이 중요한 이유는 무엇입니까? 그렇지 않은 이유는 무엇입니까?

모나 딕 2 차 로직을 결정할 수있는 이유는 무엇입니까?

솔직히 결정적인 문제는 기억 나지 않습니다. 핵심은 완전한 2 차 로직을 사용하여 도메인의 선형 순서를 정량화 할 수 있다는 것입니다

\begin{aligned} \exists R \forall x \forall y \forall z [ & (R (x, y) \lor R (y, x)) \\ ((R (x, y) \land R (y, x)) \to x = y) \\ ((R (x, y) \land R (y, z)) \to R (x, z))] . \end{aligned}

$\begin{align*} \exists R\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,\big[&(R(x,y)\lor R(y,x)\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,x))\rightarrow x=y\big)\\ &\big((R(x,y)\land R(y,z))\rightarrow R(x,z)\big)\big]\,. \end{align*}$

$D$ $D^n$ $n$ $D^n$ $n$

(도메인이 무한한 경우 선형 순서가 불연속적이고 최소 요소를 갖도록 지정해야 할 수도 있습니다. 그러면 자연수와 동형 인 초기 세그먼트가 있음을 알고 있어야합니다. 충분히.)

유한 입력에서 SO의 실존 조각 – 형식의 공식 $\exists R_1\dots \exists R_k\,\varphi$ $R_i$ $\varphi$

적어도 DFA와의 관계는?

$\Sigma$ $\leq$ $R_a$ $a\in\Sigma$ $R_a$

$k$ $Q_1, \dots, Q_k$ $Q_i$ $i$

$j$ $Q_1, \dots, Q_k$
$Q_1$
$j$ $Q_i$ $(j+1)$
최종 위치는 수락 상태입니다.

$j$ $j$ $j'>j$ $j'$

지금은 대화의 증거를 기억하지 못합니다 (MSO에서 정의 할 수있는 모든 것이 적절한 자동 장치로 인식 될 수 있음). 시간이 있으면 찾아보고 스케치를 게시합니다.

$i$ $X$ $1$ $i$ $X$

$R_a(i)$ $i$ $a$ $i\in X$ $i$ $X$ $i<j$ $i$ $j$

$\lor, \lnot$ $\exists i, \exists X$ $\cup$ ${}^c$

— 데이비드 리처 비
소스

대화에 대한 제안을 추가했습니다. @DavidRicherby의 승인 보류

— Hendrik 1

큰 답변 감사합니다. 나는 여전히이 모든 것을 처리하고 그것을 통해 작업하고, 용어를 찾고, 이것을 어떻게 구현할 것인지 등을 생각하고 있습니다. 그 동안 3 번은 잘못된 질문이라고 생각합니다. 아마도 오토마타와 논리 사이의 관계가 왜 그렇게 중요한지, 너무 많은 기사에서 언급 되었습니까?

— Walter Schulze

훌륭한 답변에 감사드립니다!

— 클라스.