경계 정지 문제는 결정 가능합니다. 이것이 왜 쌀 정리와 충돌하지 않습니까?

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라이스 정리의 한 진술은 "전산 복잡성 : 현대적 접근"(Arora-Barak)의 35 페이지에 나와 있습니다.

에서 부분 기능 $\{0,1\}^*$ 에 $\{0,1\}^*$ 모든 입력에 반드시 정의되어있는 것은 아닙니다. 우리는 TM이라고 $M$ 부분 함수를 계산합니다 $f$ 모든 경우에 $x$ 어느 $f$ 정의 $M(x) = f(x)$ 그리고 모든 $x$ 어느 $f$ 정의되지 않았습니다 $M$ 입력시 실행될 때 무한 루프로 들어갑니다. $x$ . 만약 $S$ 부분 함수의 집합입니다. $f_S$ 입력시 부울 함수가됩니다. $\alpha$ 출력 1 iff $M_\alpha$ 에 부분 함수를 계산 $S$ . 라이스 정리에 따르면 모든 사소한 일에 대해 $S$ , 함수 $f_S$ 계산할 수 없습니다.

Wikipedia에 따르면 바운드 튜링 머신의 언어는 EXPTIME 완료되었습니다. 이 언어는 $\{(\alpha,x,n) : M_\alpha$ 받아들이다 $x$ 이하 $n$ 단계 $\}$ . 그래서 보자 $M$ 이 한정 언어를 기하 급수적으로 결정하는 DTM이 될 것입니다. 이 DTM이 모든 튜링 머신에 대한 일부 속성을 결정하는 것처럼 보이므로 내 직감에 따라 라이스 정리가 그러한 결정을 방해한다고 말합니다. 그러나 분명히 $M$ 총 함수를 계산합니다.

이 언어와 라이스 정리 사이의 관계에서 무엇을 놓치고 있습니까?

— ttbo
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언어

$\qquad \{(α,x,n):M_α \text{ accepts } x \text{ in less than } n \text{ steps}\}$

인덱스 집합이 아닙니다. 즉 형식이 아닙니다.

$\qquad L_P = \{ \langle M \rangle \mid M \text{ is TM},\ \exists\, f \in P.\ f_M = f \}$

(부분 재귀) 기능의 일부 집합 와, TM에 의해 계산 (부분) 함수 . 라이스 정리는 그러한 대해서만 진술 한다. 많은 "직관적 인"표현은 도움이되지 않습니다. 여기도 참조 하십시오 . $P$ $f_M$ $M$ $L_P$

여기서는 기술적 세부 사항이 아닙니다. 쌀 정리는 적용되지 않습니다

$\qquad L = \{ \langle M \rangle \mid M \text{ accepts } \langle M \rangle \text{ in less than } \langle M \rangle \text{ steps} \}$ .

어느 한 쪽. 이유를 알 수 있습니까?

모든 기계에 대해 동일한 언어를 허용하지만 단계 이상으로 실행 되므로 이 아닌 많은 기계를 쉽게 구성 할 수 있습니다 . 따라서 은 인덱스 세트가 아닙니다. $L$ $\langle M \rangle$ $L$ $L$

$L$ 은 우리가 논의하고있는 원래 언어와 같은 주장을 사용하여 결정할 수 있습니다.

— 라파엘
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+1. 특히 여기에 적용되는 하이퍼 링크의 경우. 그러나 어쨌든 대안적인 답변으로 "직관적 인"분석에 기여하려고했습니다.

— Jirka Hanika

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라이스 정리는 프로그램이 무한대로 실행될 때 프로그램의 궁극적 인 행동에 대해 아무 것도 말할 수 없다고 말합니다. 프로그램을 분류하는 방법에 관계없이 동일한 궁극적 행동에 수렴되는 두 개의 프로그램이 있습니다 (계산 된 기능) )를 다르게 분류했지만

그러나 프로그램을 무한대로 실행시키는 것이 필수적입니다. 그들이 처음에 할 찾으려면 방금 처음 그들을 시뮬레이션 할 수있는 단계 단계 한 다음 프로그램이 동작하는 방법에 대한 평결을주고 종료합니다. 시뮬레이션 된 프로그램이 시뮬레이션 된 입력에서 종료되지 않으면 분류 기가 제공되지 않고 분류자가 분기되기 때문에 무한대까지 유사한 시뮬레이션이 작동하지 않습니다. $n$ $n$

— 지르 카하니 카
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첫째, 귀하의 언어로 된 단어는 기계의 인코딩이 아니며 더 많은 정보가 포함되어 있으므로 쌀 정리를 직접 적용 할 수 없습니다. 즉, 라이스 정리는 튜링 머신에 의해 계산 된 함수 (즉, 일부 세트 에 있는지 여부)에 대한 추론 불가능에 대해 이야기합니다 . 라파엘이 언급했듯이, 동일한 기능을 계산하는 두 개의 기계 이 있지만, 하나는 당신의 언어에 있고 다른 하나는 그렇지 않습니다 (여기서는 구문 문제를 무시하고 잊어 버렸습니다). 이 입력의 일부 라는 사실 ). 요점은 여기에서보고있는 속성이 기계적이며 의미 론적이지 않다는 것입니다 (기계는 동일한 기능을 계산하지만 다른 방식으로 계산할 수 있음). $S$ $M,M'$ $x,n$

— 아리엘
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첫 번째 주장은 형식적이지만 정확합니다. 두 번째 주장은 저를 혼란스럽게합니다 (로컬 / 글로벌 성을 엄격하게 정의 할 수 있는지 잘 모르겠습니다; "함수 집합에서"함수를 계산하는 것이 무엇을 의미하는지 모르겠습니다).

— Jirka Hanika

라파엘이 그의 대답에서 언급 한 것처럼 첫 번째 주장은 실제로는 구문론적일 뿐이다. 지역 / 글로벌 문제는 단일 입력과 모든 입력에 대한 결과에 대한 추론의 차이를 나타 내기위한 것입니다 (공식적인 의미로 의미하지는 않았으며 다른 맥락에서 다른 것을 의미 할 수도 있음). 주어진 집합에서 함수를 계산한다는 것은 단순히 의해 계산 된 함수 가 있는지 묻는 것 입니다.

M_{α}

$M_\alpha$

S

$S$

— Ariel

라이스 정리는 모든 입력에서 기계의 동작에 대해 추론 할 필요가 없습니다. 예를 들어, 입력 "5"에서 실행될 때 궁극적으로 수락할지 여부에 따라 프로그램을 분류하는 것은 불가능합니다. 또는 대부분의 입력에서 동작을 무시하는 분류를 정의 할 수 있지만 분류는 여전히 재귀 적이 지 않습니다.

— Jirka Hanika

를 일부 고정 입력에서 을 출력하는 함수 세트로 정의 할 수 있기 때문에 이것은 실제로 혼란 스러웠습니다 . 문제를 제기 해 주셔서 감사합니다.

S

$S$

1

$1$

— Ariel

3

쌀의 정리가 말한다, 어떤 사소 세트 언어에서 언어 인식 튜링 기계의 세트 결정 불가능하다. Wikipedia는 특정 언어를 결정할 수 있다고 말합니다. 따라서 모순이 없습니다. $\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$

— 데이비드 리처 비
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