허수의 특징적 다항식을 통한 재귀 해결

알고리즘 분석에서 종종 재발을 해결해야합니다. 마스터 정리, 치환 및 반복 방법 외에도 특성 다항식을 사용하는 방법이 있습니다.

특성 다항식이라고 결론을 내렸다고 가정 해 봅시다. $x^2 - 2x + 2$ 이 가상 즉, 뿌리를 $x_1 = 1+i$ 과 $x_2 =1-i$ . 그런 다음 사용할 수 없습니다

$\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n$

해결책을 얻으려면? 이 경우 어떻게 진행해야합니까?

algorithms algorithm-analysis recurrence-relation

— 코레이
소스

어서 오십시오! LaTeX by를 사용할 수 있습니다 $...$ .

— Raphael

혼란 스러워요. 나는 당신이 방정식이 아닌 characteristc polynomials를 사용하는 방법을 의미한다고 확신합니다 . 뭐가

j

$j$ ? 여러분이 제공하는 방정식의 해는 상상이 아니라 단지 비이성적입니다. "[다항식]을 적용하다"는 무슨 뜻입니까?

— Raphael

그는 물리학 자의 철자가 틀린 습관을 채택했습니다

i

$i$ .

— JeffE

물론 가능합니다. 첫째, 솔루션은 재발을 만족시킵니다. 둘째, 솔루션 공간의 크기는 2입니다.

— Strin

예, 해결책은 실제로 $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ 일부 상수 $\alpha$ 과 $\beta$ 기본 사례에 의해 결정됩니다. 기본 사례가 실제 사례 인 경우 (유도법으로) $T(n)$ 모든 정수에 대해 취소됩니다. $n$ .

예를 들어, 재발을 고려하십시오 $T(n) = 2T(n-1) - 2T(n-2)$ 기본 사례 $T(0)=0$ 과 $T(1)=2$ . 이 반복의 특징적인 다항식은 $x^2-2x+2$ 솔루션은 $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ 일부 상수 $\alpha$ 과 $\beta$ . 기본 사례를 연결하면

T (0) = α (1 + i)^{0} + β (1 - i)^{0} = α + β = 0 T (1) = α (1 + i)^{1} + β (1 - i)^{1} = (α + β) + (α - β) i = 2

$T(0) = \alpha(1+i)^0 + \beta(1-i)^0 = \alpha+\beta = 0\\ T(1) = \alpha(1+i)^1 + \beta(1-i)^1 = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)i = 2$ 이것은 암시

α + β = 0 α - β = - 2 i

$\alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = -2i$ 이것은 암시

α = - i

$\alpha = -i$ 과

β = i

$\beta = i$ . 그래서 해결책은

T (n) = i \cdot ((1 - i)^{n} - (1 + i)^{n}) .

$T(n) = i\cdot ((1-i)^n - (1+i)^n).$

이 기능은 $\sqrt{2}^n$ 과 $-\sqrt{2}^n$ "기간"이 4입니다. 특히 $T(4n) = 0$ 모든 $n$ , 때문에 $(1-i)^4 = (1+i)^4 = -4$ (그리고 기본 사례를 선택했기 때문에 $T(0)$ 조심스럽게).

— JeffE
소스

나는 특징적인 다항식의 가상의 뿌리 (정확하게 기억한다면, 시퀀스의 생성 함수의 지배적 인 특이점)가 어딘가에 부정적인 요소를 암시한다는 것을 기억하는 것 같습니다. 그게 사실입니까? 그렇다면 알고리즘 분석에서이 사례가 발생하지 않아야한다는 것이 안전합니다.

— Raphael

반드시 그런 것은 아닙니다. 특성 함수의 근이

2

$2$ ,

1 + i

$1+i$ ,

1 - i

$1-i$ 예를 들어, 함수가 진동합니다

α 2^{n}

$\alpha 2^n$ 일부

α

$\alpha$ 그러나 (적절한 기본 사례가있는 경우) 항상 긍정적입니다.

— JeffE